专题3.16 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·全国·高三专题练习）点是椭圆的左右顶点若直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上．
【解题思路】联立直线与椭圆方程，联立直线的方程与直线的方程，结合韦达定理，化简可求得直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．
【解答过程】由题意得，，，设，
联立，化简得(，
所以，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，即，解得
原式
，
故直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．
2．（2022·河北省高二阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.
【解题思路】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0.
【解答过程】（1）
由题意可得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）
依题意，点，设，
因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为点是椭圆上一点，即，
则，
所以，即
因为
，
所以，此时，
故直线：恒过x轴上一定点．
3．（2022·江西·模拟预测（理））已知抛物线，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10．
(1)求C的方程；
(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据当l垂直于y轴时， OAB的面积为10，由y=5与抛物线方程联立求解；
（2）设l的方程为，与抛物线方程联立，根据P在以AB为直径的圆上，由求解.
【解答过程】(1)
解：因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10，
联立，得．
所以 OAB的面积为，
解得，
所以C的方程为．
(2)
由题知l的斜率存在，设l的方程为，，，
假设存在点P（，），使得，
联立，得，
则，
．
又，
所以，
，
又且，所以，
所以，
则，即，
所以当时，无论k取何值等式都成立，
将代入得，
所以存在定点P（－2，1）符合题意．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．
【解题思路】设，，得到，两式作差，结合斜率公式，即可求解.
【解答过程】设，，则，可得，，
点和点P在双曲线上，则有，
两式作差得，
可得，即．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．
【解题思路】（1）由双曲线的对称性可取渐近线，则可求出交点的坐标，结合与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案；
（2）设，讨论当时求出点；当，设出点，由可知，化简利用恒成立，即可求出点的坐标.
【解答过程】（1）
根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为，
由，得，
因为，
所以，即，
又离心率为2，所以，故．
所以双曲线的标准方程为．
（2）
由（1）知双曲线的右焦点为．
设，则．
①当时，．
因为，
所以，
所以，
所以，符合题意．
②当时，设．
，，
因为，
所以（结合正切倍角公式）．
（i）当时，上式化简为，
又，所以，对任意恒成立.
所以，解得，即．
（ii）当，时，即也能满足．
综上，在轴的负半轴上存在定点，使得．
6．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.
【解题思路】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解；
（2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上.
【解答过程】(1)
设直线l的方程为，，.
由得.
所以，.由抛物线定义，得
.
当直线l的倾斜角为30°时，，
.
所以，即抛物线C的标准方程为.
(2)
由（1），得，.
因为的垂心为原点O，所以，.
因为，所以.
所以直线AP的方程为，即.
同理可得，直线BP的方程为.
联立方程解得
即.所以点P在定直线上.
7．（2022·黑龙江·高三开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.
【解题思路】（1）根据渐近线方程得到，结合点到直线距离公式求出，利用求出，写出双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足.
【解答过程】（1）
双曲线的渐近线方程为，所以.
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）
证明：联立方程组消去y，并整理得.
设，，则，.
设，（），则得直线AM的方程为，
直线BN的方程为，
两个方程相减得，①
因为，
把上式代入①得：，
所以，
因此直线AM与BN的交点在直线上.
8．（2022·甘肃·高二期末（文））已知抛物线上一点到焦点的距离．
(1)求C的方程；
(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【解题思路】（1）利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可．
（2）①直线斜率不存在时，满足题意，
②直线斜率不存在时，设直线，联立直线与抛物线方程，设，，，，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，推出结果．
【解答过程】(1)
解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得
所以抛物线的方程为．
(2)
证明：①直线斜率不存在时，
可设，，
，
，，
又 ，，
，解得，
，为垂足，
，
故存在定点，使得为定值，
②直线斜率存在时，设直线，解得，
设，，，，则，，
因为，所以，
得，
所以，
得，即，
当时，过定点，不符合题意；
当时，直线过点，
所以点在以为直径的圆上，
故当为的中点时，定值．
9．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
【解题思路】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线的标准方程为，代入点坐标求解.
（2）（i）当直线斜率存在时，设，与双曲线联立，根据且，结合韦达定理求解；（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，同上求解.
【解答过程】（1）
解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）
（i）当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，
综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
10．（2022·福建泉州·模拟预测）已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
【解题思路】（1）设点，其中，则，由已知条件求出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线过轴上的定点，设点，求出点的坐标，写出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可证得结论成立.
【解答过程】（1）
解：设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）
证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，
设点，则，
所以，直线的垂线的斜率为，
故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，，
即，①
又因为，所以，，②
将②代入①可得，即，
，则，所以，直线过定点.
11．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）根据两点间斜率公式以及题中条件斜率之积即可列方程求解，
（2）由面积相等可得长度的比例关系，由相似转化为长度关系，即可列式子求解.
【解答过程】（1）
因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为
设点P的坐标为，由题意得，化简得
故动点P的轨迹方程为；
（2）
若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，
则
因为，所以，所以
即，解得，因为，所以，
故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.
12．（2022·上海市高二期末）已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于两点．
(1)当直线垂直于轴时，求弦长；
(2)当时，求直线的方程；
(3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
【解题思路】（1）将代入椭圆方程求解即可；
（2）由（1）知当直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程，得出，设可得韦达定理，代入计算可得斜率；
（3）分析当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在轴上，再以CD为直径的圆的方程，令，代入韦达定理化简可得定点
【解答过程】(1)
由题知，将代入椭圆方程得
(2)
由（1）知当直线的斜率不存在时，此时，不符合题意，舍去
直线的斜率存在，设直线的方程为：，
联立得，设，则，
由，解得
直线的方程为．．
(3)
①当直线的斜率不存在时，
直线AT的方程为，C点坐标为，
直线BT的方程为，D点坐标为，以CD为直径的圆方程为，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在轴上，令，得即圆过点．
②当直线的斜率存在时，同（2）联立，直线AT的方程为，
C点坐标为，同理D点坐标为，以CD为直径的圆的方程为，
令，得，
由，
得，解得，即圆过点．
综上可得，以CD为直径的圆恒过定点．
13．（2022·重庆高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【解题思路】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程.
（2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值.
【解答过程】（1）
由已知设椭圆方程为：，
代入，得，
故椭圆方程为.
（2）
设直线，
由得，
，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左 右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
【解题思路】（1）写出直线方程，取求得值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于，的方程组，求解，的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，横纵坐标的和与积，分别写出，的方程，求得与的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得与的面积之积为定值．
【解答过程】（1）
由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，
令，得，由题意可得，解得，．
求椭圆的方程为；
（2）
证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，
，，，，
联立，得．
，，
由，得，
，
，
直线的方程为，令，解得，
则，，同理可得，，
.
15．（2022·江苏南通·模拟预测）已知分别是椭圆的左 右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解题思路】（1）根据可设，根据，利用斜率相等且在椭圆上列式可得椭圆基本量的关系，再根据求解基本量即可；
（2）由题意设：，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理，再表达出，结合韦达定理求解即可.
【解答过程】（1）
因为，故可设，因为，故，即，解得.
又在椭圆上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程为.
（2）
因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.
联立可得，设，则.
故
，
故定值为.
16．（2022·山西高三阶段练习）如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点 是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由已知列出关于的方程组解之可得椭圆方程；
（2）假设存在满足题意，设，，当直线斜率存在时，设方程为，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，，代入化简可得常数，再验证直线斜率不存在时，也有此结论即得．
【解答过程】（1）
由已知知，解得，
所以椭圆方程为；
（2）
假设存在满足题意，
设，，，
①当直线与轴不垂直时，设：，
代入并整理得
∴，
（*），
（*）式是与无关的常数，则，
解得，此时为定值；
②当直线与垂直时，，，，
也成立，
所以存在定点，使得为定值．
17．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.
【解题思路】（1）由三角形重心的性质与椭圆的定义求解即可；
（2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆，再表示出直线又直线与的方程，联立求出交点，即可求解
【解答过程】(1)
因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以,
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为；
(2)
设直线的方程为：，，
联立方程得：，
则，
所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程得：，
把代入上式得：
，
所以当点运动时，点恒在定直线上.
18．（2022·湖南·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由离心率得出，再代入已知点坐标求得得双曲线方程；
（2）设，直线的方程为，代入双曲线方程，消去得的一元二次方程，由相交可得的范围，由韦达定理得，设存在符合条件的定点，计算出并代入化为关于的分式，由它是常数可求得，得定点坐标．
【解答过程】（1）
因为双曲线的离心率为，
所以，化简得.
将点的坐标代入，可得，
解得，
所以的方程为.
（2）
设，直线的方程为，联立方程组消去得（1- ，
由题可知且，即且，
所以.
设存在符合条件的定点，则，
所以.
所以，
化简得.
因为为常数，所以，解得.
此时该常数的值为，
所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.
19．（2022·全国·高三专题练习）设为双曲线的左 右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【解题思路】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；
（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，求出以为直径的圆的圆心和半径，得到以为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线的斜率不存在时，是否满足.
【解答过程】（1）
由已知得：，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2
（2）
因为，所以，解得：，
故，，所以双曲线方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，
则，，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，
同理可求得：，
则
，
，
其中，
所以，
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，所以以为直径的圆过定点，，
当直线的斜率不存在时，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，
综上：以为直径的圆过定点，.
20．（2022·安徽·模拟预测）已知双曲线过点，且离心率为．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．
【解题思路】（1）根据双曲线的基本量关系求解即可；
（2）解法1：先求得圆在点处的切线方程为，再代入双曲线方程化简可得，再设，根据韦达定理代入求得证明即可；
解法2：同解法1，联立直线与双曲线的方程得，再结合韦达定理计算可得证明即可.
【解答过程】（1）
由题意得：，故，故.
又过点可得，即，解得，则双曲线C的方程为
（2）
解法1：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，
化简得．
则直线l的方程为，代入双曲线C的方程，
变形为，
整理得等号两边同除以，
得到．
设，则，
故，即以为直径的圆过坐标原点．
解法2：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，化简得
由及得，
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
则，
，即以为直径的圆过坐标原点．
21．（2022·福建·高三阶段练习）已知两点，，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程.
(2)过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）设，利用列方程，化简求得曲线的方程.
（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得线段的垂直平分线的方程，进而求得点的坐标，结合弦长公式求得为定值.
【解答过程】（1）
设，则，，，.
因为，所以，
故的方程为.
（2）
由题可知直线的斜率一定存在，且不为0，
不妨设直线的方程为，，.
联立方程组，消去整理得，
则，整理得.
，，
则线段的垂直平分线的方程为，
令，得，则，
.
，
则.
故是定值，该定值为.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
(1)求的方程.
(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【解题思路】（1）利用点到直线的距离求出，再根据通径求出，即可得解；
（2）设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到，即可得到，从而得解；
【解答过程】（1）
解：根据对称性，不妨设到直线的距离为，
则，
令，则，解得，
所以当轴时，，则.
故的方程为.
（2）
解：设.
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立方程组，化简得，
由，得，则
设，因为三点共线，所以，整理得.
因为，
所以，即直线AN的斜率为定值0.
当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上， 则直线AN的斜率为定值.
综上所述，直线AN的斜率为定值0.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【解题思路】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
【解答过程】（1）
设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．
(1)求实数的值；
(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.
（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解.
【解答过程】（1）
抛物线：化为标准方程为：，其焦点，因为斜率一定存在，设其方程为，
联立方程得：，整理得：，恒成立．
其中，，，，
因为焦点弦长，所以当时，弦长．
所以，实数的值为．
（2）
由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．
联立方程得：，整理得：，．
其中，，，，
因为以为直径的圆经过点，所以．
又因为，
∵，∴．
所以直线过定点，
又因为，所以为直角三角形，
所以当为斜边中点时，为定值，
此时．
所以定点为，为定值1．
25．（2022·全国·高三专题练习）已知圆过点，且与直线相切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）设出点M的坐标，利用给定条件列式化简作答.
（2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，探求出直线所过定点，再推理计算作答.
【解答过程】(1)
设圆心，依题意，，化简整理得：，
所以圆心的轨迹的方程是：.
(2)
依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，，则，，
由抛物线对称性知，点在轨迹C上，直线的斜率为，
直线的方程为：，化简整理得：，
由消去x并整理得：，则有，
直线的方程化为：，因此直线恒过定点，
因于点Q，于是得是直角三角形，且点是斜边的中点，则恒有，
令点为E，从而有，
所以存在定点，使得为定值，点E坐标为.
26．（2022·江西·高二期末（文））已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出；
（2）假设存在点，满足题设条件，设直线的方程，根据韦达定理即可求出点的坐标．
【解答过程】(1)
设动圆的圆心，依题意：
化简得：，
即为动圆的圆心的轨迹的方程．
(2)
假设存在点，满足条件，使①，
显然直线斜率不为0，
所以由直线过点，可设，
由得．
设，，，，则，．
由①式得，
，
即．
消去，，得，
即，
，
，
存在点使得．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点，且 (m为常数)，直线与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.
【解题思路】（1）由题意得，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；
（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到轴，结合以及求得即可求解.
【解答过程】(1)
由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，
直线y＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；
(2)
由题意知，直线AB的斜率存在，设其方程为，由消去y整理得，
则，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为，由条件设切线方程为，
由消去y整理得，∵直线与抛物线相切，∴，∴，
∴切点C的横坐标为，∴点C的坐标为，∴轴，∵，
∴，∴，
∴，∵m为常数，∴的面积为定值.
28．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
【解题思路】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.
（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.
【解答过程】（1）
抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得，，设点，，则，，
矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，
所以．
（2）
由（1）得，，，，
于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，
由消去y并整理得：，而，
因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.
所以线MN与直线CD交点在定直线上.
29．（2022·宁夏·三模（理））在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．
(1)求的轨迹的方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据动点G到点的距离比它到直线的距离小2和抛物线的定义可知点G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，进而得出结果；
（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，从而表示出AB的方程，说明其过定点，由可说明点D点在一个圆上，由此可得结论.
【解答过程】(1)
由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，
则动点到点的距离与到直线的距离相等，
故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
设抛物线方程为 ，
则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ；
(2)
由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，
由 ，消去y得： ，
，
设 ，则，
故 ，同理可求得，
所以直线AB的斜率，
故直线AB的方程为：
，
故直线AB过定点 ，设该点为,
又因为，所以点D在以EF为直径的圆上，
由于 , ,
故以EF为直径的圆的方程为，
故存在定点，使得线段的长度为定值2.
30．（2022·河北保定·二模）已知抛物线.
(1)直线与交于、两点，为坐标原点.
从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.
①证明：.
②若，求的值；
(2)已知点，直线与交于、两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）选①，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用两点间的距离公式以及抛物线的焦点弦长公式、韦达定理可证明等式成立；
选②，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出、，利用平面向量数量积的坐标运算可出关于的等式，即可求得的值；
（2）分析可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合已知条件可得出、所满足的关系式，可求得直线所过定点的坐标，再由，结合直角三角形的性质可知当为线段的中点时，为定值，即可得出结论.
【解答过程】(1)
解：选①：设点、，
联立可得，（*）
当时，方程（*）即为，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，，，
则，，
所以
.
因为经过抛物线的焦点，
所以，
故.
选②：设点、，
联立可得，（*）
当时，方程（*）即为，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，，，
则，，
.
因为
，
所以，解得.
(2)
解：若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立得，，
由韦达定理可得，.
因为，所以，
所以，即.
所以直线的方程为，则直线过定点.
因为，所以当点为的中点时，为定值，
故存在定点，使得为定值.专题3.16 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·全国·高三专题练习）点是椭圆的左右顶点若直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上．
2．（2022·河北省高二阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.
3．（2022·江西·模拟预测（理））已知抛物线，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10．
(1)求C的方程；
(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．
6．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.
7．（2022·黑龙江·高三开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.
8．（2022·甘肃·高二期末（文））已知抛物线上一点到焦点的距离．
(1)求C的方程；
(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
9．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
10．（2022·福建泉州·模拟预测）已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
11．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
12．（2022·上海市高二期末）已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于两点．
(1)当直线垂直于轴时，求弦长；
(2)当时，求直线的方程；
(3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
13．（2022·重庆高三阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左 右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
15．（2022·江苏南通·模拟预测）已知分别是椭圆的左 右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
16．（2022·山西高三阶段练习）如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点 是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.
17．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.
18．（2022·湖南·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
19．（2022·全国·高三专题练习）设为双曲线的左 右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
20．（2022·安徽·模拟预测）已知双曲线过点，且离心率为．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．
21．（2022·福建·高三阶段练习）已知两点，，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程.
(2)过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
(1)求的方程.
(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．
(1)求实数的值；
(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．
25．（2022·全国·高三专题练习）已知圆过点，且与直线相切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
26．（2022·江西·高二期末（文））已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点，且 (m为常数)，直线与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.
28．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
29．（2022·宁夏·三模（理））在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．
(1)求的轨迹的方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．
30．（2022·河北保定·二模）已知抛物线.
(1)直线与交于、两点，为坐标原点.
从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.
①证明：.
②若，求的值；
(2)已知点，直线与交于、两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.
