专题3.15 圆锥曲线中的面积问题大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，求的面积．
2．（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆，以及椭圆内一点.
(1)求以点M为中点的弦所在直线的方程；
(2)若P是椭圆C上的点，为左右焦点，，求的面积.
3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知点在双曲线上，直线l交C于 两点，直线 的斜率之和为.
(1)求l的斜率;
(2)若，求的面积.
4．（2022·陕西·研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.
5．（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
6．（2022·四川·高三学业考试）已知抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积.
7．（2022·江苏南京·高二期末）已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值．
8．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角的取值范围；
(2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．
9．（2023·广东茂名·高三阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点为轴上的一个动点，动点满足，又点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过曲线上的点（）的直线与，轴的交点分别为和，且，过原点的直线与平行，且与曲线交于、两点，求面积的最大值.
10．（2022·陕西·研究室三模（文））已知椭圆的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，P是C上的动点，当时，求面积的最大值．
11．（2022·全国·模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求（O为原点）面积的最大值．
13．（2022·江苏·高二阶段练习）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左 右焦点分别为，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点为椭圆上一点，过点的直线与椭圆交于异于点的两点，若的面积是，求直线的方程.
14．（2022·湖北·高三阶段练习）已知椭圆，过点而不过点的动直线与椭圆交于两点.
(1)求
(2)若直线的斜率之和为0，求的面积.
15．（2021·江苏·高二期中）椭圆经过点，其右焦点为抛物线的焦点；直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围
16．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
19．（2022·江苏镇江·高二阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.
20．（2022·江苏·高二课时练习）已知双曲线C：－＝1(a>0, b>0)经过点(,1)，焦点到渐近线的距离为1.
(1)若直线l：y＝kx－1与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l：y＝kx－1与双曲线C交于A, B两点，O是坐标原点，且三角形AOB的面积为，求实数k的值．
21．（2022·广东·高二期末）已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.
22．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．
(1)求抛物线方程；
(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．
23．（2022·河南·高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1：y＝k1x和l2：y＝k2x与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且．
(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；
(2)求△POQ面积的最小值．
25．（2022·上海静安·二模）如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上.
(1)若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；
(2)设中点为，求证：直线轴；
(3)若是曲线上的动点，求面积的最大值.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，与圆O交于C，D两点（点A，C在第一象限），．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求凹四边形面积的最小值．
27．（2022·青海·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线，记两切线的交点为P，求面积的最小值.
28．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)曲线上一点N，点A、B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
29．（2022·山东泰安·模拟预测）已知抛物线上一点（）到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求与面积之比的最大值.
30．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知抛物线，直线l过点与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线交于C、D两点．
(1)求证：点N是中点；
(2)设的面积分别为，求的取值范围．专题3.15 圆锥曲线中的面积问题大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，求的面积．
【解题思路】由双曲线定义结合已知可得，再利用余弦定理可得，然后由同角三角函数的平方关系和三角形面积公式可得.
【解答过程】∵，是双曲线的两个焦点，
∴不妨设，，∴，
由，可设，则．
由双曲线的定义知，解得，
∴，，
∴，∴．
∴的面积为．
2．（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆，以及椭圆内一点.
(1)求以点M为中点的弦所在直线的方程；
(2)若P是椭圆C上的点，为左右焦点，，求的面积.
【解题思路】（1）设弦的两个端点为，再根据点差法求解即可；
（2）根据椭圆的定义，结合余弦定理与三角形的面积公式求解即可.
【解答过程】（1）
设弦的两个端点为，由题知斜率存在
所以，
由①-②得，，
即，
因为为线段的中点，
所以，所以，
所以：，
即；
（2）
由题意，，且，故，又由余弦定理，故，解得，故的面积.
3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知点在双曲线上，直线l交C于 两点，直线 的斜率之和为.
(1)求l的斜率;
(2)若，求的面积.
【解题思路】（1）利用点的坐标求得双曲线方程，设，联立双曲线方程，得到根与系数的关系式，结合直线 的斜率之和为，进行化简，可得直线斜率；
（2）利用结合题意可求得直线的斜率，进而求得P点坐标，从而求出m的值，确定，，由此表示出，，利用三角形面积公式即可求得答案.
【解答过程】（1）
将点代入中，得，即，
解得 ，故双曲线方程为；
由题意知直线l的斜率存在，设，设，，
则联立直线与双曲线得：，
需满足，
故，，
，
化简得：，
故，
即 ，即，
由题意可知直线l不过A点，即，
故l的斜率
（2）
设直线AP的倾斜角为，由，，
得，（负值舍去），
由直线 的斜率之和为,可知，即，
则，得，即，
联立，及得，，
将，代入中，得，
故，，
而，，
由，得，
故
.
4．（2022·陕西·研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.
【解题思路】（1）由，点代入椭圆，建立方程组求解即可；
（2）当的斜率存在时，先由垂径定理求出圆心到直线l的距离，设：，，，由点线距离公式可得，可得，将方程代入椭圆方程中结合韦达定理、弦长公式可得，则，结合均值不等式讨论最大值即可；当的斜率不存在时，则：，可知直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.
【解答过程】（1）
，，
由椭圆过点得，解得，，
∴椭圆的方程为.
（2）
直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得，
当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点
则有，∴.
将方程代入椭圆方程中整理得：，
∴，，
，
∴，当且仅当，即时取等号.
当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.
∴面积的最大值为2.
5．（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【解题思路】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．
【解答过程】（1）
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）
［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以， ，
同理可得，， ．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
6．（2022·四川·高三学业考试）已知抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积.
【解题思路】（1）将点代入抛物线，即可求出的值，即可得到抛物线的标准方程；
（2）由题意即可写出直线的方程，联立直线与抛物线，结合韦达定理与弦长公式即可求出，利用点到直线的距离公式，即可求出点到边上的高，即可求出其面积.
【解答过程】（1）
因为抛物线过点，
所以，
所以抛物线；
（2）
由题意知：直线的斜率，，
所以直线方程为：，
联立直线与抛物线：消得：，
设，则，
则，
点到直线的距离，
所以.
7．（2022·江苏南京·高二期末）已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值．
【解题思路】（1）将的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：，再根据直线的方程，联立抛物线方程可得的坐标；
（2）设直线的方程：，联立抛物线的方程，结合韦达定理与M为线段AB的中点可得，再代入的面积可得，进而根据二次函数的最值求解即可
【解答过程】(1)
当的坐标为时，则，所以，
所以抛物线的方程为：，
由题意可得直线的方程为：，即，
代入抛物线的方程可得解得（舍）或6，
所以，的坐标为
(2)
法一：设直线的方程：，
即，
设直线与轴的交点为，，，
由
可得，，，
因为为线段的中点，所以
令，，即，所以
则的面积
，
把代入上式，，
当时，，所以的面积的最大值为2．
（2）法二：
可得，，，
因为为线段的中点，所以，
设点到直线的距离为，则，
，
把代入上式，，
所以，当时，的面积的最大值为2.
8．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角的取值范围；
(2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．
【解题思路】（1）由题意设直线l的方程为，设，将直线方程代入双曲线方程，消去，利用根与系数的关系，由题意得，解不等式组可求出的范围，从而可求出直线l倾斜角的取值范围；
（2）由题意可得，由（1）得到的式子代入化简，换元后利用函数的单调性可求得结果
【解答过程】（1）
由双曲线得，
则右焦点，显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，由得，
因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设，
则，
解得，
当时，直线l倾斜角，当时，直线l的斜率或，
综上，直线l倾斜角的取值范围为
（2）
因为O是AB中点，所以
，令，则，
，其中，且，
又在单调减，所以，
当，即时求得，此时直线l的方程为.
9．（2023·广东茂名·高三阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点为轴上的一个动点，动点满足，又点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过曲线上的点（）的直线与，轴的交点分别为和，且，过原点的直线与平行，且与曲线交于、两点，求面积的最大值.
【解题思路】（1）法一：充分利用，由坐标得到坐标之间的关系，进而求得动点的轨迹的方程；法二，利用参数方程的思想，得到坐标的参数写法，进而可求；
（2）结合图像，先由得到，再联系方程得到，接着又联方立直线与曲线的方程，利用弦长公式得到，利用点线距离公式得到，由此得到关于的关系式，最后利用基本不等式求得的最大值.
【解答过程】（1）
法一：由题意，设，，
由得，且，
由得，则，得，
代入整理得，故动点的轨迹的方程为.
法二：设，，，
设，则由得，
消去得，故动点的轨迹的方程为.
（2）
如图，设（），又直线的斜率存在且，
设直线为：，
可得：，，
由，则，故，，
联立，可得：，即，
又，故直线的方程为，联立，得：，
即、的横坐标为，
，
点到直线的距离，
，
当且仅当，即时等号成立，
面积的最大值为2.
.
10．（2022·陕西·研究室三模（文））已知椭圆的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，P是C上的动点，当时，求面积的最大值．
【解题思路】（1）根据题意由求解；
（2）易知斜率存在，由，设，与曲线C方程联立，由结合韦达定理，求得k，再由当P为与平行的切线的切点时，面积最大求解.
【解答过程】（1）
解：由题意得，
解得，
椭圆C的方程为．
（2）
显然斜率不存在时不满足条件，当斜率存在时，，设，
代入C方程整理得，
，
，
解得，
显然时面积最大值相同，，
当P为与平行的切线的切点时，面积最大，
不妨设与平行的切线方程为，代入C方程整理得，
，
解得，
显然时取得最大值，，
．
11．（2022·全国·模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【解题思路】（1）由离心率及联立方程求解即可；
（2）设的直线方程为：，，，联立直线与椭圆方程，由一元二次方程根与系数的关系及可利用向量数量积为0化简求出，据此可得三角形的面积，化简后换元利用均值不等式求最值即可.
【解答过程】（1）
由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）
∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，
，
∴，
令，
则，
由对勾函数单调性知，，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求（O为原点）面积的最大值．
【解题思路】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而求出，从而求出椭圆方程；
（2）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立后得到两根之和，两根之积，表达出弦长和面积，结合基本不等式求出最值.
【解答过程】（1）
根据题意，知，即．
又离心率，所以，
可得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）
由题意，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为．
由，得．
由，得．
设，，
则，，
所以
．
点到直线AB的距离，
所以．
令，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，所以的面积的最大值为．
13．（2022·江苏·高二阶段练习）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左 右焦点分别为，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点为椭圆上一点，过点的直线与椭圆交于异于点的两点，若的面积是，求直线的方程.
【解题思路】（1）根据抛物线的焦点可得椭圆的半焦距，结合离心率即可得出答案.
（2）对直线的斜率进行讨论：①当直线l的斜率为0直接求出的面积；
②当直线l的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l的方程为，，．用“设而不求法”表示出的面积，解得m，即可求出直线l的方程.
【解答过程】（1）
由题意可得，抛物线的焦点为，
所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率为，
所以，
所以椭圆的方程：.
（2）
因为在椭圆C上，所以，解得．
①当直线l的斜率为0时，，
则的面积为．
因为的面积是，所以直线l的斜率为0不符合题意．
②当直线l的斜率不为0或斜率不存在时，
设直线l的方程为，，．
联立整理得．
则，．
故．
因为点P到直线l的距离，
所以．
因为的面积是，所以，
整理得，解得，即．
故直线l的方程为，即．
14．（2022·湖北·高三阶段练习）已知椭圆，过点而不过点的动直线与椭圆交于两点.
(1)求
(2)若直线的斜率之和为0，求的面积.
【解题思路】(1)当直线斜率存在时，设其方程为，联立方程组，利用设而不求法证明，在验证当直线斜率不存在时，由此完成证明；
(2)由(1)可得或，联立直线与椭圆方程求出的坐标，由此可求直线方程，联立方程组求，再由点到直线距离公式求到直线的距离，由此可求的面积.
【解答过程】（1）
若直线斜率存在，设其方程为.
因为点在直线上，所以.
联立直线和椭圆的方程消去得.
设.则
，
，
注意到，
.
则
故.
显然，三点互不相同.所以.
若直线斜率不存在，则两点的坐标为.
容易验证也成立.因此，.
（2）
由（1）知.所以.
又因为，则或，
当时，直线方程为：
联立解得点
又，
则直线方程为：，即
点到直线的距离为
联立，得，
所以弦长
，
同理可得时，.
所以.
15．（2021·江苏·高二期中）椭圆经过点，其右焦点为抛物线的焦点；直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围
【解题思路】（1）求出抛物线的焦点，得到椭圆的半焦距，利点在椭圆上，求解，，得到椭圆方程．
（2）当直线斜率存在时，设其方程为，，，，，联立直线与椭圆方程，利用判别式以及韦达定理，结合向量的数量积，推出，求解三角形的面积，通过，得到点坐标为，，代入椭圆方程，化简然后求解，利用二次函数的性质求解最值，再结合直线斜率不存在时即可得解．
【解答过程】（1）解：抛物线的焦点为，则，点在椭圆上，即，解得，所以椭圆的方程为；
（2）解：当直线斜率存在时，设其方程为，，，，，联立，可得，则①，②，，③以为直径的圆过原点即，化简可得，代入②③两式，整理得，即④，将④式代入①式，得恒成立，则，设线段中点为，由，，，又由，则点坐标为，化简可得，代回椭圆方程可得，即，则，当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴，易得，，，综上，四边形面积的取值范围为．
16．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．
【解题思路】（1）设，，联立直线与椭圆方程，得出韦达定理，再根据弦长公式求解，结合函数的最大值可得，进而求得椭圆方程即可；
（2）设直线方程为，，，记点，到直线的距离分别为，，表达出，，根据求解即可.
【解答过程】（1）
设，，联立直线与椭圆方程得，
消去y得，又，是这个方程的两个实根，
所以 ，由弦长公式得
，
所以当时，取到最大值，即，解得．
所以椭圆C的方程为．
（2）
设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消去y得，
所以，且，
记点，到直线的距离分别为，，又，且，
所以
，
所以，
因为，所以，整理得，所以满足条件，
综上所述直线的方程为，即为．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
【解题思路】（1）由已知条件结合双曲线的性质求得，再由离心率即可求出；
（2）双曲线C和直线l的方程联立，求出原点O到直线l的距离，和，即可得出△OAB的面积
【解答过程】（1）
双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离为．
因为双曲线C的离心率为，
所以，解得，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）
设，，
联立，得，，
所以，．
由，
解得t＝1（负值舍去），
所以，．
直线l：，所以原点O到直线l的距离为，
，
所以△OAB的面积为．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【解题思路】（1）联立直线与双曲线方程后由求解
（2）由弦长公式计算，表示△AOB面积后求解
【解答过程】（1）
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，
当时，直线l与双曲线由两个不同的交点，
即，所以k的取值范围为{x|k，且k≠±1}；
（2）
由（1）可知x1+x2，x1x2，
所以弦长|AB| ，
原点O到直线AB的距离d，所以S△AOB|AB|d ，
由题意，解得：k＝±符合题意，所以实数k的值为．
19．（2022·江苏镇江·高二阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.
【解题思路】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案；
（2）由题设直线的方程为，，，，
进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理，结合弦长公式，距离公式，面积公式得，再还原求解即可得答案.
【解答过程】(1)
解：因为双曲线的一条渐近线方程是，
所以，即
因为焦距为4，所以，即
因为，
所以，
所以双曲线的方程为
(2)
解：由题知双曲线的右焦点为，
故设直线的方程为，
则联立方程得，
设，，
所以，
因为直线与双曲线的右支交于A，B两点，
所以，即且，
所以，解得：且
因为直线与轴交于点，所以，
因为，所以
所以，
点到直线的方程为距离为，
所以面积为，
令，则，
所以，
因为在是单调递减函数，
所以，
所以.
所以面积的取值范围为
20．（2022·江苏·高二课时练习）已知双曲线C：－＝1(a>0, b>0)经过点(,1)，焦点到渐近线的距离为1.
(1)若直线l：y＝kx－1与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l：y＝kx－1与双曲线C交于A, B两点，O是坐标原点，且三角形AOB的面积为，求实数k的值．
【解题思路】（1）由点在双曲线上及点线距离公式列方程组求参数a、b，即可得双曲线方程，再联立双曲线与直线方程得到含参数k的一元二次方程，根据交点个数可得，即可求k的范围.
（2）由（1）应用韦达定理得到，，由三角形面积公式有，可得关于k的方程，进而求实数k的值．
【解答过程】(1)
由题意，，解得，所以双曲线为.
由，消去y整理得：.
所以，解得：且.
因此，实数k的取值范围为．
(2)
设，由(1)得：，.
由题意，直线l恒过点D(0, －1)．
① 若，则S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝，
② 若，则S△AOB＝|S△AOD－S△BOD|＝.
所以，即，解得或.
由(1)知：或均满足题意，故或.
21．（2022·广东·高二期末）已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.
【解题思路】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；
（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算、，从而求得面积的表达式，再求范围即可.
【解答过程】(1)
由：，得，可知，其半径为，
由：，得，可知，其半径为.
设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有
或，即，得，
又，
所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得.
所以动圆圆心的轨迹方程为.
(2)
①当直线的斜率存在时，由题意，，设：，与双曲线联立，
由于其于双曲线有两个不同的交点，
所以，得且，
且.
设：，即.
设圆到直线的距离为，则，
因为交圆于，两点，故，得.
且，
由题意可知,
所以，
因为，可得.
②当直线的斜率不存在时，，，
所以，
所以.
22．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．
(1)求抛物线方程；
(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．
【解题思路】（1）设抛物线方程为或 ，点M代入抛物线方程可得答案；
（2）抛物线方程为，设，根据，得，
设直线， 求出点M到直线的距离为，，可得，令，得，是偶函数，讨论的情况利用导数判断单调性可得答案．
【解答过程】（1）由题意抛物线过点，所以设抛物线方程为：或 ，带入点M得，或，抛物线方程为：或．
（2）由抛物线焦点在x轴上，抛物线方程为，设，因为直线与的倾斜角互补，所以，得，即，整理得，所以则设直线，即，点M到直线的距离为：，，所以，令，由，得，所以．因为是偶函数，所以只需讨论的情况．当时，令，则，所以在上单调递增，所以的最大值为，即的最大值为．
综上可知，的面积的最大值为6．
23．（2022·河南·高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
【解题思路】（1）根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；
（2）分别联立两条直线与抛物线，可得线段与长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值.
【解答过程】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离等于圆的半径，而可化为，即该圆的半径为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，联立，得，恒成立．设，，则，，所以，同理，得，所以四边形的面积 ，（当且仅当时等号成立）所以四边形的面积的最小值是．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1：y＝k1x和l2：y＝k2x与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且．
(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；
(2)求△POQ面积的最小值．
【解题思路】（1）联立方程，求出，，表达出线段AB的中点M的坐标，消去参数，求出轨迹方程；（2）设直线 ，与抛物线联立，求出两根之和，两根之积，表达出弦长，进而表达出面积，换元后，求出最小值.
【解答过程】(1)
联立，解得：，
把代入得：，
所以，
同理可得：，
则线段AB的中点M的坐标为，
因为，
所以，
消去得：
所以线段AB的中点M的轨迹方程为
(2)
设，
则直线 ，与联立得：，
则，所以，
同理可得：，
则，
其中，解得：，
设直线 ，与抛物线联立得：，
则，又，所以，
则，
，
所以，
点O到直线PQ的距离为，
所以△POQ面积为，
令，则，
所以，
当，即时，△POQ面积取得最小值，最小值为.
25．（2022·上海静安·二模）如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上.
(1)若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；
(2)设中点为，求证：直线轴；
(3)若是曲线上的动点，求面积的最大值.
【解题思路】（1）设出点，表示出中点，代入抛物线方程求解即可；
（2）设，求出中点代入抛物线，同理将中点代入抛物线，由一元二次方程及韦达定理得，即可得证；
（3）当轴时，直接求出坐标计算面积即可；当的斜率存在时，用点坐标表示出直线方程，由弦长公式表示出，求出点到直线的距离，表示出面积，结合的范围即可求解.
【解答过程】（1）
设点，则，所以中点坐标为代入，得，
所以，即；
（2）
设，所以中点代入，得，
同理，.所以，是方程的两根，
由韦达定理：，又中点为，所以，所以，即直线轴；
（3）
当轴时，由对称性知，在轴上，则，所以化为，
即，所以；
当的斜率存在时，方程为，即 ，
所以，又由（2）知，，则，
所以 .又点到直线的距离，
故.又，得，故，
由，.综上，，所以的面积的最大值为.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，与圆O交于C，D两点（点A，C在第一象限），．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求凹四边形面积的最小值．
【解题思路】（1）表示出，由两点间的距离公式即可求出，即可得出抛物线的方程.
（2）设直线，直线与抛物线联立，求出的坐标，设圆，圆O与抛物线联立，求出的坐标，由于，则，记凹四边形的面积为S，则
，带入即可求出，再讨论，即可求出答案.
【解答过程】（1）
易知，则，故，抛物线方程是．
（2）
设直线，直线与抛物线联立，得，
又点A在第一象限，故
设圆，圆O与抛物线联立，得，
又点C在第一象限，故
由于，
则，
故，
记凹四边形的面积为S，则
①若，．
②若，．
综上所述，凹四边形面积的最小值是，当时取到．
27．（2022·青海·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线，记两切线的交点为P，求面积的最小值.
【解题思路】（1）根据抛物线的焦半径公式求解即可；
（2）设直线，，，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，利用导数的几何意义求解两切线，进而求得，再得出的面积关于的表达，进而分析最小值即可
【解答过程】(1)
因为点在抛物线C上，所以.
由抛物线的定义可得，则，
从而，解得.
故抛物线C的方程为.
(2)
由（1）可知.由题意可得直线l的斜率存在，设直线，，，联立，整理得，
则，，从而，
故.
因为，所以，
则直线AP的方程为，即.
同理可得直线BP的方程为.
联立，解得，即.
点P到直线l的距离，
则的面积.
因为，所以，
所以，即面积的最小值是4，当且仅当时取等号.
28．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)曲线上一点N，点A、B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
【解题思路】（1）依题意可得，即可得到，根据双曲线的定义可得点的轨迹为以，为焦点，实轴长为8的双曲线，从而求出的轨迹方程；
（2）设，，，且，，根据，即可得到，再表示出、，设的倾斜角为，利用二倍角公式即同角三角函数的基本关系求出，再根据及对勾函数的性质计算可得；
【解答过程】(1)
解：依题意可得点与关于对称，则，
∴.
则点的轨迹为以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
∴，，又，故，，，
所以双曲线方程为；
(2)
解：由题意知，，分别为双曲线：的渐近线，
设，，，且，，
由得，，
∴，.∴，
整理得，即
又，同理，
设的倾斜角为，
则.
∴
因为，易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，；
∴面积取值范围是.
29．（2022·山东泰安·模拟预测）已知抛物线上一点（）到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求与面积之比的最大值.
【解题思路】（1）将点代入抛物线方程，并结合抛物线的定义，求得的值，即可.
（2）设直线的方程为，，，易得和的长，将直线，的方程与圆的方程联立，得到点和点的坐标，进而得到和，再由面积公式可得化简运算，得解.
【解答过程】(1)
依题意可得，因为，所以解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)
设过F点的直线方程为，
联立方程得，则，
所以①，②，
设，，代入①②得③，
则直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
联立方程，解得，同理可得，
则④，
由③得，代入④得，
当且仅当时等号成立，，所以的最大值为.
故与面积之比的最大值为.
30．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知抛物线，直线l过点与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线交于C、D两点．
(1)求证：点N是中点；
(2)设的面积分别为，求的取值范围．
【解题思路】（1）分别求出以A、B为切点的切线方程，联立求出点P，进而求出N的横坐标，利用“设而不求法”得到，即可证明；
（2）设.分别表示出和，得到.利用“设而不求法”分别表示出
， ， ，，得到 ，利用函数求出的取值范围.
【解答过程】(1)
因为点的直线l过与抛物线交于A、B两点，所以直线的斜率存在，可设.
设，则，消去y可得：，
所以.
对抛物线可化为，求导得：，
所以以为切点的切线方程为，整理得：.
同理可求：以为切点的切线方程为.
两条切线方程联立解得：，，所以.
过点P且垂直于x轴的直线为：，所以.
所以，即点N是中点.
(2)
设.
因为点D到MN的距离为，所以.
因为点B到MN的距离为，所以.
所以.
由（1）可知：点N是中点.同理可证：点N是中点.
所以.
设，则，消去y可得：，
所以.所以.
由（1）可知：，，所以.
同理可求：，.
所以
，
因为，所以，所以，所以，所以，所以.
即的取值范围为.
