6.3 特殊的平行四边形（1）
教学目标
（一）教学知识点
1．能用综合法来证明矩形的性质定理以及相关结论．
2．能运用矩形的性质定理解决实际问题
（二）能力训练要求
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2．能够用综合法证明矩形的性质定理以及相关结论．
3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
（三）情感与价值观要求
通过学习矩形的性质方法，让学生用类比方法体会矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念．
教学重点
能够运用综合法证明矩形的性质定理及相关结论
教学难点
运用矩形的性质定理解决实际问题
教学过程
解决问题
（1）你还记得四边形的不稳定性吗？
（2）如图，做一个平行四边形ABCD的框架，固定它的四条边的长度.如果改变其中一个内角（例如∠B）的大小，所得到的的四边形还是平行四边形吗？为什么？
（3）当∠B的大小变化时，其他三个内角的大小是否也发生变化？如果发生变化，他们与∠B之间保持怎样的数量关系？
（4）当平行四边形的一个角（例如∠B）成为直角时，得到一个怎样的图形？
得到定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
引入
[师]大家想不想解决这些问题呢？想的话，跟着我一起来吧。很显然这节课的主题是矩形，那它和我们前两节探讨的平行四边形有什么联系与区别吗？
[生]：矩形是特殊的平行四边形
[师]平行四边形的定义是什么？那么矩形呢？
[生]有一个角是直角的平行四边形是矩形；
[师]它既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质．又因为它是特殊的平行四边形，所以它又具有各自的独特性质．
今天我们先来研究矩形的特殊性质．
[师]前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗
探究活动
[生]矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
[师]很好，那你能证明它们吗
[生]能．
[师]好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路．
[生甲]已知四边形ABCD是矩形．
求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，四边形ABCD是平行四边形．
∴∠A=∠C，∠B＝∠D．
∠A+∠D＝180°．
∴∠B＝∠C：∠D＝∠A＝90°．
[生乙]已知矩形ABCD，求证：AC＝DB．
证明：在矩形ABCD中，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，(矩形的四个角都是直角)
AB＝DC，(平行四边形的对边相等)
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴AC=DB．
[师]很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形．我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理．即
定理：矩形的四个角都是直角．
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B＝∠C=∠D＝90°．
定理：矩形的对角线相等．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB．
[师]接下来，我们来想一想，议一议．
如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段 它与AC有什么大小关系 为什么
[生]因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD也是平行四边形．因此，对角线AC与BD互相平分．即AE＝EC，BE＝DE．又因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD，因此BE= BD＝ AC．故BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BE＝ AC．
[师]很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗
[生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
[师]这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论．那你能用推理的方法来证明它吗
[生]能．
如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线．
求证：BE＝ AC．
分析：要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形．再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论．
证明：过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD．(如图)
则∠DAE＝∠BCE．
∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴AE＝EC．
又∵∠AED＝∠CEB，
∴△AED≌△CEB．
∴AD＝BC．
∵AD//BC．∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∴AC=BD，BE＝ED＝BD．
∴BE＝AC．
[师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的．那么我们以后就可直接应用了．
∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，
∴BE＝AC．
那这个定理能反过来吗？
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
大家能证明吗？已知BE是△ABC的斜边AC上的中线．且BE=AC．
求证：△ABC是Rt△
（学生证明）
下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质
[例题]如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm．求矩形对角线的长．
分析：欲求对角线的长，由于∠BAD＝90°或∠ABC=90°，AB=2.5cm，则只要再找出Rt△ABD中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD＝120°出发，应用矩形的性质可知
∠ADB＝30°，这样即可求出对角线的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，且OA=OC=AC，
OB＝OD=BD，(矩形的对角线相等且互相平分)
∴OA＝OD．
∵∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝＝30°．
∵∠DAB＝90°．(矩形的四个角都是直角)
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5(cm)．故这个矩形的对角线的长为5 cm．
[师]同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢
[师]小明认为，这个题还可以这样想：
∠AOD＝120°→∠AOB=60°→OA＝OB＝AB→AC＝20A＝2×2．5＝5(cm)．
[师]你能帮小明写出完整的解题过程吗
[生]解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，且OA＝OC＝ AC，
OB＝OD＝ BD．(矩形的对角线相等且互相平分)
∴OA＝OB．
∵∠AOD＝120°，
∴AOB＝60°．
∴OA=OB＝AB．
∴AC＝2OA＝2×2．5＝5(cm)．
[师]已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢
课堂小结
我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳：
对边平行且相等
1．矩形 四个角都是直角
对角线互相平分且相等
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
联系拓展
在△ABC中，CE⊥AB于E，BD⊥AC于点D，G，F分别是BC，DE的中点，求证：FG⊥DE
证明：连接EG，DG．
∵CE⊥B于E，∴ △BCE为直角三角
∵点G为BC的中点， ∴EG＝ BC同理DG＝ BC，∴EG＝DG，即△EGD是等腰三角形，又∵F是ED的中点， ∴FG是△EGD底边DE上的中线，
∴FG⊥DE
当∠B的大小变化时，仍然有AB=DC，AD=BC，所以ABCD仍然是平行四边形
当∠B的大小变化时，仍然有∠A与∠B互补，∠D=∠B6.3 特殊的平行四边形（4）
【教学目标】
1、掌握正方形的概念
2、经历探索正方形有关性质和判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系
3、掌握正方形的性质
4、掌握正方形的判定
5、进一步加深对特殊与一般的认识
【教学重点、难点】
重点：正方形的性质与判定．
难点：正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系．
【教学过程】
一、情景引入
出示一块方巾，它是什么几何图形？(正方形)
中国人对正方形有特殊的感情，如“坦荡方正”，“天圆地方”等词语，还有许多实物都是正方形的形状（教师可以多媒体演示），今天我们就来研究正方形
二、探索新知
这块方巾是否也可以说是平行四边形？矩形？菱形？
与一般的平行四边形相比，它有何特殊性？
与一般的矩形相比，它有何特殊性？
与一般的菱形相比，它又有何特殊性？
三、梳理新知
P26 观察与思考.师生共同归纳出以下几点：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质
正方形的性质：四个角都是直角，四条边相等；
对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
正方形的判定：一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
四、巩固新知
课本练习
五、实践应用
(1)给你一块矩形纸条，如何把它变成正方形纸条？
(2) 请你用最快的速度画一个正方形，然后想一想，你所选择的画法是否经得起推敲？比一比，你周围的同学是否有比你更好的方法？教师等待学生互相交流后，请学生代表发言
六、理论提升
例1：已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E、F
求证：四边形CFDE是正方形
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC
∴∠DEC=∠DFC=900 ∵∠ACB=900
∴四边形CFDE是矩形(为什么？)
∵CD是∠ACB的平分线
∴∠ACD=∠BCD
∴DE=DF
∴四边形CFDE是正方形(为什么？)
例2： 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别是点M,N.求证：AP=MN
证明：连接PC，
∵ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∵PN⊥CD，PM⊥BC，
∴PMCN是矩形，
∴MN=PC，
在△ADP和△CDP中
AD=CD，
∠ADP=∠CDP，
DP=DP，
∴△ADP≌△CDP
∴AP=CP，
∵MN=CP，
∴AP=MN
七、小结
(1)这节课我的收获是什么？
(2)我最感兴趣的是什么？
(3)我想进一步研究的问题是什么？
C
A
D
B
F
E6.3 特殊的平行四边形（3）
【教学目标】
1．经历菱形的概念、性质、判定定理的发现过程．
2．掌握菱形的性质定理 “菱形的四条边都相等” ；“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角” ．
3．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”；“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” ．
4．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想．
【教学重点、难点】
重点：菱形的性质定理和判定定理．
难点：菱形性质和判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间想象力，又要有较强的逻辑思维能力．
【教学方法】
启发诱导、讨论、讲授相结合
【教学过程】
引入：用多媒体显示下面的图形
观察以下由火柴棒摆成的图形
议一议：（1）三个图形都是平行四边形吗
（2）与图一相比,图二与图三有什么共同的特点
目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:
（1）要使学生明确图二、图三都为平行四边形
（2）引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异
二. 新课: 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.
菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.
这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.
菱形的性质定理2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
已知:在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。
求证:AC ⊥ BD ,AC平分∠BAD 和∠BCD ，BD平分∠ABC和∠ADC
分析：由菱形的定义得△ABD是什么三角形？
BO与OD有什么关系？根据什么？
由此可得AO与BD有何关系？∠BAD有何关系？根据什么？
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD（菱形的定义）
BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）
∴AC⊥BD ， AC 平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质）
同理，AC平分∠BCD ，BD平分∠ABC和∠ADC
∴对角线AC和BD分别平分一组对角
由定理2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。另外，还可以从折叠来说明轴对称性。同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。菱形还具有平行四边形的所有共性，比如：菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。
观察与思考：
判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？
定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题）
（1）有菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.反过来，四条边都相等的四边形是菱形吗？证明你的结论？
菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（板书）
（2）由菱形的性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直.反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
（3）怎样适合加强命题“两条对角线互相垂直的四边形是菱形”的条件，使它成为真命题？与同学交流.
交流互动，探求新知：
1、已知：如图，在 ABCD中，BD⊥AC，O为垂足。
求证：ABCD是菱形
启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）。
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD
∴ABCD是菱形（菱形的定义）。
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
例2：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F ，求证：四边形AFCE是菱形。
启发：已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？
——说明是平行四边形
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC（矩形的定义）
∴∠1＝∠2
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO
∴△AOE≌△COF
∴EO＝FO
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
应用新知，巩固练习：
1、 课本 “练习”
2、思考题：如图，△ABC中，∠A=90°, ∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。
课堂小结：
1、本节的主要内容是：
菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：
1）一组邻边相等的平行四边形
2）四条边相等的四边形
3）对角线互相垂直的平行四边形
4）对角线互相垂直平分的四边形
2、想一想：说明平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系．
O
D
C
B
A
16.4 特殊的平行四边形（2）
教学目标
（一）教学知识点
1．能用综合法来证明矩形的判定定理以及相关结论．
2．能运用矩形的判定定理解决实际问题
（二）能力训练要求
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2．能够用综合法证明矩形的判定定理以及相关结论．
3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
（三）情感与价值观要求
通过学习矩形的判定方法，让学生用类比方法体会矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念．
教学重点
能够运用综合法证明矩形的判定定理及相关结论
教学难点
运用矩形的判定定理解决实际问题
教学过程
探究活动二
（1）根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形，如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗？由几个角是直角的四边形是矩形呢？
（2）小亮说的对吗？能证明她的结论吗？
（3）小莹说：“由于四边形的内角和是360 ，因而四个内角只要有三个角是直角，第四个内角一定也是直角.所以可以减少一个条件，有三个角是直角的四边形就是矩形.”小莹的说法正确吗？
已知：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90 .
求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵∠A＝∠B＝90°
∴∠A＋∠B＝180°
∴AD∥BC
同理：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A＝90°
∴四边形ABCD是矩形
（4）比较上面（2）（3）中小亮和小莹的两种说法，你认为哪种说法作为矩形的判定定理更为简洁？
于是，便得到
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（5）由矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等.反过来，两条对角线相等的四边形是矩形吗？
已知：平行四边形ABCD的对角线AC=BD
求证：平行四边形ABCD是矩形
（学生证明并投放）
于是，便得到：
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
解决问题
证明之后，回到我们最初的问题上，如何验证四边形是矩形呢？
1、先量得两组对边是否相等，肯定是否为平行四边行，然后再量对角线长，看能否满足勾股定理
2、先量得两组对边是否相等，肯定是否为平行四边行，再量得两条对角线是否相等
3、对角线是否相等且相互平分
课堂小结
我们这节课主要研究了矩形的判定定理，现在来归纳：
一个角是直角的平行四边形
有三个角是直角的四边形 是矩形
对角线相等的平行四边形
教学反思
