第21章二次根式全章导学稿
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文档简介
21．1．1 二次根式导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标： 1. 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
学习重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
学习过程：
一、知识回顾
１.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。 a的平方根是±
２.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根。
0的算术平方根平方根是0。
用(a≥0)表示。
3、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
4运用所学知识回答：
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？
3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
二、探究新知：
1.塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米。
2.圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.
3.（b-3 ）表示正方形的面积，则正方形的边长是____________.
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
表示一些正数的算术平方根．
形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫被开方数
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！
三、学以致用：
1.说一说:下列各式是二次根式吗?
注意：在实数范围内,负数没有平方根
2、判断下列代数式中哪些是二次根式？
（1） （2） （3） （4） （ ） （5）
探究新知（二）
指导学生思考例1：
跟踪练习
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
学以致用2：（快速口答）
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
四、知识小结：
1. 形如____________的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是____________．
2.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
（1）
（2）
五、诊断检测
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．当x是多少时，在实数范围内有意义？
2．若+有意义，则=_______．
3．使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
4.若 =0， 则ab=_______．
21．1．2 二次根式导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
学习重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
学习过程：
一、知识回顾
二次根式的定义与性质:
针对练习：
1.求下列二次根式中字母的取值范围：
2.已知a.b为实数，且满足 ，你能求出a及a+b 的值吗？
二、探究新知
根据算术平方根的意义填空
三、学以致用
计算:
探究新知二
1.利用算术平方根的意义填空:
深化提高：有比较才有见解
(a≥0) (a＜0)
a (a≥0)
-a (a＜0)
学以致用2
例3：化简:
四、巩固提高：
1:从运算顺序来看 _______,2.从取值范围来看 _______,3.从运算结果来看 _______:
五、知识小结
1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．
诊断检测
一、选择题
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
3．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 = （2）x4-9 =
二、填空题
1．（-）2=________． 2．已知有意义，那么是一个_______数．
三、综合提高题
1．计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2
(5)
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
3．已知+=0，求xy的值．
21．2．1 二次根式的乘除导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2、由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
学习重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．
学习内容：
一、复习引入
填空（学生活动）请同学们完成下列各题．
（1）×=____，=____； （2）×=____，=____．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____
二、探索新知（一）
1．用你发现的规律填空，并用计算器进行验算。
（1）×______，（2）×______，
（3）×______，（4）×______，
（5）×______．
比较左右两边的等式,你有什么发现?能用字母表示你所发现的规律吗?
一般地，对二次根式的乘法规定为 ·＝．（a≥0，b≥0）
根据上面的学习，总结二次根式的乘法规定注意事项：
（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
三、学以致用（一）
1、计算 （1）× （2）× （3）× （4）×
2、化简：
探索新知（二）
一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0）
反过来: 积的算术平方根，等于积中_______的算术平方根的_______。
用字母表示 二次根式乘法的逆向规定为______________________________ 。
学以致用（二）
1、判断 ⑴ （ ） ⑵ （ ）
⑶ （ ）
注意： （ ）
2、化简
3、计算
（2）
友情提示：1、化简计算要求：被开方数中不含能开得尽方的因数和因式
2、利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．
四、应用拓展
1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）2=
验证：2=×====
（2）3=
验证：3=×====
同理可得：4 5，……
通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．
五、归纳小结
1、用字母表示二次根式的乘法规定______________________________，
反过来: 积的算术平方根，等于积中_______的算术平方根的_______。
用字母表示 二次根式乘法的逆向规定为______________________________ 。
2、在利用二次根式的乘法规定时，被开方数都是_______。
3、化简计算时，被开方数中不含____________的因数和因式。
4、乘法规律公式推广式：
六、诊断检测
（一）、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．
A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
（二）、填空题
自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．
（三）、化简
、
.
21．2．2 二次根式乘除导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：1、理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及进行运算．
2、利用具体数据，通过练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
3、培养利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展观察、分析、发现问题的能力．
学习重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
学习内容：
一、学生活动：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式 ．
2．填空
（1）=________，=________；（2）=________，=________．
规律： ____； _____．
3．填空:
（1）=______，（2）=________，（3）=______，（4）=________．
规律：______；_______；_____；_____。
二、探索新知
根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）， 反过来，=（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1．计算：（1） （2）
例2．化简：
（1） （2） （3） （4）
巩固练习：计算 （1）， （2）， （3）
现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是 ．
三、应用
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
四、发散思维
例4．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
五、归纳小结
本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．
六、布置作业
教材P15 习题21．2 2、7、8、9．
诊断检测题1：
判断：判断:(对的打√,错的打×)
（ ）
化简：
填空：
21．3．1 二次根式加减导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：1、理解和掌握二次根式加减的方法．
2、较熟练地进行二次根式加减的计算.
3、学生经历由实际问题引入数学问题的过程、发展学生的抽象概括能力.
学习重点：合并被开方数相同的二次根式．
学习过程：
一、知识回顾
1、 学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x= （2）x+2x+3y=
上面题目的结果，实际上是我们以前所学的 ． 就是字母不变，系数相加减．
最简二次根式满足的两个条件是（1）
（2）
二、探究新知（一）
（1）2+3=（ ）（ ）=（ ）
（2）2-3+5=（ ）（ ）=（ ）
（1）如果我们把当成 ，
（2）如果我们把当成 ；不就转化为上面的问题吗？
阅读课本17页思考完成下列题目
计算（1）+
= （化成 ）
= （合并 ）
=
根据上面的学习，总结二次根式加减计算的步骤
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数 的二次根式进行 ．
三、学以致用（一）
（1） + （2）+=
（3）3-9+3 （4）（+）+（-）
学以致用（二）：要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
四、知识小结
本节学习的二次根式加减的方法是（1）先将
（2）再把
五、诊断检测（一）
一、选择题
1．二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3、．化简的结果是（ ） A．- B．- C．- D．-
4、下列属于最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
三、计算 （1）3-2+ （2）+2+
四、 先化简，再求值．
（6x+）-（4y+），其中x=，y=27．
21．3．2 二次根式加减导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：
1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
3、深化学生逻辑思维能力和综合运用能力，培养学生独立思考，勇于探索的精神
学习重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
学习过程：
一、知识回顾
1．计算
①（2x+y）·zx ②（2x2y+3xy2）÷xy ③（2x+3y）（2x-3y） ④（2x+1）2+（2x-1）2
这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1） × ；（2） ÷单项式；（3） 公式；（4） 公式的运用．
2、二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数 的二次根式进行 ．
二、探究新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
例1．计算:（1）（+）× （2）（4-3）÷2
= =
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表 ，所以， 仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
三、学以致用（一）计算、
四、探究新知（二）
例2．计算
（1）（+3）（-5） （2）（+）（）-）
由以上可知，
（1）应用了 法则
（2）应用了 乘法公式
二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
五、学以致用（二）
1、计算、（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
2、．若的整数部分是a，小数部分是b，则 。
六、知识小结
1、整式的运算规律同样适用于 的计算中
2、整式的乘法公式有 ， ，也适用于二次根式的计算中.
七、诊断检测（一）
一、选择题
1．（-3+2）×的值是（ ）．
A．-3 B．3- C．2- D．-
2．计算（+）（-）的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=-1，则x2+2x+1=________．
八、诊断检测（二）
1、若，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下面的式子总能成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若，则 。
4、 =
5．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
21．4 二次根式导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：复习课
复习目标：1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简。
2、能过比较熟练进行二次根式的运算。
3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题。
4、培养学生善于思考，认真细致、一丝不苟的科学精神。
学习重点：1、二次根式的概念和性质的应用。
2、二次根式的运算及实际应用。
一、知识链接
[针对练习]：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
[知识点击]： 叫做二次根式
[针对练习]：当x是多少时，在实数范围内有意义？ 答：
[知识点击]：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是 数．
[针对练习]：计算（）2=_____；（）2=_____；（）2=_____；（）2=_____
[知识点击]：（）2 = （a≥0）
[针对练习]：化简（1） = （2）= （3）= （4）=
[知识点击]： 当a≥0时，=____ ； 当a<0时，=_______
[针对练习]：（1）×= （2）×=
（3） = （4） =
[知识点击]：
·＝ ．（a≥0，b≥0）；= （a≥0，b≥0）
[针对练习]：计算：（1） = （2）=
[知识点击]：一般地，对二次根式的除法规定：
= （a≥0，b>0）， 反过来，= （a≥0，b>0）
[针对练习]：在下列各式中，化简正确的是（ ）
A．=3 B．=± C．=a2 D． =x
[知识点击]：．最简二次根式满足的两个条件是：（1）
（2）
[针对练习]计算：（1） 3+3= (2)=
[知识点击]：二次根式加减的方法是；二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行
二、知识网络：
三、典型例题解析
（一）二次根式有关概念的应用
例1、已知x、y为实数，y＝＋4，则yx的值等于（ ）
A．8 B．4 C．6 D．16
（二）二次根式的综合计算
例2、 (1)、 （2）
（三）二次根式解题中的技巧
例3、．若x，y是实数，且，求的值。
四、知识应用与迁移
例、已知a，b，c为三角形的三边，则
解：
五、自我思考与总结
在此写出你对本单元的心得
六、诊断检测
（一）诊断检测一
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则a<0 B．
C． D． 5的平方根是
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3已知aA． B．
C． D．
4、．若不是二次根式，则x的取值范围是 。
5、当x= 时，二次根式取最小值，其最小值为 。
6、（1） （2）
（二）诊断检测二
1．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）
A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．
2．把根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
3．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a<2， 。
5．若，则m的取值范围是 。
6．已知：
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标： 1. 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
学习重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
学习过程：
一、知识回顾
１.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。 a的平方根是±
２.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根。
0的算术平方根平方根是0。
用(a≥0)表示。
3、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
4运用所学知识回答：
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？
3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
二、探究新知：
1.塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米。
2.圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.
3.（b-3 ）表示正方形的面积，则正方形的边长是____________.
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
表示一些正数的算术平方根．
形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫被开方数
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！
三、学以致用：
1.说一说:下列各式是二次根式吗?
注意：在实数范围内,负数没有平方根
2、判断下列代数式中哪些是二次根式？
（1） （2） （3） （4） （ ） （5）
探究新知（二）
指导学生思考例1：
跟踪练习
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
学以致用2：（快速口答）
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
四、知识小结：
1. 形如____________的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是____________．
2.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
（1）
（2）
五、诊断检测
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．当x是多少时，在实数范围内有意义？
2．若+有意义，则=_______．
3．使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
4.若 =0， 则ab=_______．
21．1．2 二次根式导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
学习重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
学习过程：
一、知识回顾
二次根式的定义与性质:
针对练习：
1.求下列二次根式中字母的取值范围：
2.已知a.b为实数，且满足 ，你能求出a及a+b 的值吗？
二、探究新知
根据算术平方根的意义填空
三、学以致用
计算:
探究新知二
1.利用算术平方根的意义填空:
深化提高：有比较才有见解
(a≥0) (a＜0)
a (a≥0)
-a (a＜0)
学以致用2
例3：化简:
四、巩固提高：
1:从运算顺序来看 _______,2.从取值范围来看 _______,3.从运算结果来看 _______:
五、知识小结
1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．
诊断检测
一、选择题
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
3．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 = （2）x4-9 =
二、填空题
1．（-）2=________． 2．已知有意义，那么是一个_______数．
三、综合提高题
1．计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2
(5)
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
3．已知+=0，求xy的值．
21．2．1 二次根式的乘除导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2、由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
学习重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．
学习内容：
一、复习引入
填空（学生活动）请同学们完成下列各题．
（1）×=____，=____； （2）×=____，=____．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____
二、探索新知（一）
1．用你发现的规律填空，并用计算器进行验算。
（1）×______，（2）×______，
（3）×______，（4）×______，
（5）×______．
比较左右两边的等式,你有什么发现?能用字母表示你所发现的规律吗?
一般地，对二次根式的乘法规定为 ·＝．（a≥0，b≥0）
根据上面的学习，总结二次根式的乘法规定注意事项：
（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
三、学以致用（一）
1、计算 （1）× （2）× （3）× （4）×
2、化简：
探索新知（二）
一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0）
反过来: 积的算术平方根，等于积中_______的算术平方根的_______。
用字母表示 二次根式乘法的逆向规定为______________________________ 。
学以致用（二）
1、判断 ⑴ （ ） ⑵ （ ）
⑶ （ ）
注意： （ ）
2、化简
3、计算
（2）
友情提示：1、化简计算要求：被开方数中不含能开得尽方的因数和因式
2、利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．
四、应用拓展
1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）2=
验证：2=×====
（2）3=
验证：3=×====
同理可得：4 5，……
通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．
五、归纳小结
1、用字母表示二次根式的乘法规定______________________________，
反过来: 积的算术平方根，等于积中_______的算术平方根的_______。
用字母表示 二次根式乘法的逆向规定为______________________________ 。
2、在利用二次根式的乘法规定时，被开方数都是_______。
3、化简计算时，被开方数中不含____________的因数和因式。
4、乘法规律公式推广式：
六、诊断检测
（一）、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．
A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
（二）、填空题
自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．
（三）、化简
、
.
21．2．2 二次根式乘除导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：1、理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及进行运算．
2、利用具体数据，通过练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
3、培养利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展观察、分析、发现问题的能力．
学习重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
学习内容：
一、学生活动：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式 ．
2．填空
（1）=________，=________；（2）=________，=________．
规律： ____； _____．
3．填空:
（1）=______，（2）=________，（3）=______，（4）=________．
规律：______；_______；_____；_____。
二、探索新知
根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）， 反过来，=（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1．计算：（1） （2）
例2．化简：
（1） （2） （3） （4）
巩固练习：计算 （1）， （2）， （3）
现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是 ．
三、应用
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
四、发散思维
例4．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
五、归纳小结
本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．
六、布置作业
教材P15 习题21．2 2、7、8、9．
诊断检测题1：
判断：判断:(对的打√,错的打×)
（ ）
化简：
填空：
21．3．1 二次根式加减导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：1、理解和掌握二次根式加减的方法．
2、较熟练地进行二次根式加减的计算.
3、学生经历由实际问题引入数学问题的过程、发展学生的抽象概括能力.
学习重点：合并被开方数相同的二次根式．
学习过程：
一、知识回顾
1、 学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x= （2）x+2x+3y=
上面题目的结果，实际上是我们以前所学的 ． 就是字母不变，系数相加减．
最简二次根式满足的两个条件是（1）
（2）
二、探究新知（一）
（1）2+3=（ ）（ ）=（ ）
（2）2-3+5=（ ）（ ）=（ ）
（1）如果我们把当成 ，
（2）如果我们把当成 ；不就转化为上面的问题吗？
阅读课本17页思考完成下列题目
计算（1）+
= （化成 ）
= （合并 ）
=
根据上面的学习，总结二次根式加减计算的步骤
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数 的二次根式进行 ．
三、学以致用（一）
（1） + （2）+=
（3）3-9+3 （4）（+）+（-）
学以致用（二）：要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
四、知识小结
本节学习的二次根式加减的方法是（1）先将
（2）再把
五、诊断检测（一）
一、选择题
1．二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3、．化简的结果是（ ） A．- B．- C．- D．-
4、下列属于最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
三、计算 （1）3-2+ （2）+2+
四、 先化简，再求值．
（6x+）-（4y+），其中x=，y=27．
21．3．2 二次根式加减导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：新授课
学习目标：
1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
3、深化学生逻辑思维能力和综合运用能力，培养学生独立思考，勇于探索的精神
学习重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
学习过程：
一、知识回顾
1．计算
①（2x+y）·zx ②（2x2y+3xy2）÷xy ③（2x+3y）（2x-3y） ④（2x+1）2+（2x-1）2
这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1） × ；（2） ÷单项式；（3） 公式；（4） 公式的运用．
2、二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数 的二次根式进行 ．
二、探究新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
例1．计算:（1）（+）× （2）（4-3）÷2
= =
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表 ，所以， 仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
三、学以致用（一）计算、
四、探究新知（二）
例2．计算
（1）（+3）（-5） （2）（+）（）-）
由以上可知，
（1）应用了 法则
（2）应用了 乘法公式
二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
五、学以致用（二）
1、计算、（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
2、．若的整数部分是a，小数部分是b，则 。
六、知识小结
1、整式的运算规律同样适用于 的计算中
2、整式的乘法公式有 ， ，也适用于二次根式的计算中.
七、诊断检测（一）
一、选择题
1．（-3+2）×的值是（ ）．
A．-3 B．3- C．2- D．-
2．计算（+）（-）的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=-1，则x2+2x+1=________．
八、诊断检测（二）
1、若，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下面的式子总能成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若，则 。
4、 =
5．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
21．4 二次根式导学稿
年级：九年级 主备人：范广旭 审核：初三年级组 课型：复习课
复习目标：1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简。
2、能过比较熟练进行二次根式的运算。
3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题。
4、培养学生善于思考，认真细致、一丝不苟的科学精神。
学习重点：1、二次根式的概念和性质的应用。
2、二次根式的运算及实际应用。
一、知识链接
[针对练习]：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
[知识点击]： 叫做二次根式
[针对练习]：当x是多少时，在实数范围内有意义？ 答：
[知识点击]：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是 数．
[针对练习]：计算（）2=_____；（）2=_____；（）2=_____；（）2=_____
[知识点击]：（）2 = （a≥0）
[针对练习]：化简（1） = （2）= （3）= （4）=
[知识点击]： 当a≥0时，=____ ； 当a<0时，=_______
[针对练习]：（1）×= （2）×=
（3） = （4） =
[知识点击]：
·＝ ．（a≥0，b≥0）；= （a≥0，b≥0）
[针对练习]：计算：（1） = （2）=
[知识点击]：一般地，对二次根式的除法规定：
= （a≥0，b>0）， 反过来，= （a≥0，b>0）
[针对练习]：在下列各式中，化简正确的是（ ）
A．=3 B．=± C．=a2 D． =x
[知识点击]：．最简二次根式满足的两个条件是：（1）
（2）
[针对练习]计算：（1） 3+3= (2)=
[知识点击]：二次根式加减的方法是；二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行
二、知识网络：
三、典型例题解析
（一）二次根式有关概念的应用
例1、已知x、y为实数，y＝＋4，则yx的值等于（ ）
A．8 B．4 C．6 D．16
（二）二次根式的综合计算
例2、 (1)、 （2）
（三）二次根式解题中的技巧
例3、．若x，y是实数，且，求的值。
四、知识应用与迁移
例、已知a，b，c为三角形的三边，则
解：
五、自我思考与总结
在此写出你对本单元的心得
六、诊断检测
（一）诊断检测一
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则a<0 B．
C． D． 5的平方根是
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3已知a
C． D．
4、．若不是二次根式，则x的取值范围是 。
5、当x= 时，二次根式取最小值，其最小值为 。
6、（1） （2）
（二）诊断检测二
1．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）
A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．
2．把根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
3．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a<2， 。
5．若，则m的取值范围是 。
6．已知：