2024年中考数学高频考点突破——实际问题与二次函数（含答案）

2024年中考数学高频考点突破——实际问题与二次函数
1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．
2．某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．
（I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：
原价 每件降价1元 每件降价2元 … 每件降价x元
每件售价（元） 35 34 33 …
每天售量（件） 50 52 54 …
（Ⅱ） （由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
3．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．
4．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为（0,3）、（-1,0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.
5．某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天160元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于260元。
设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）。
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
6．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(单位：件)与每件售价x(单位：元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天销售量为95件.
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获得w元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
7．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．
　 甲 乙 丙
单价（元/棵） 14 16 28
合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．
8．东方甄选是浙东方推出的直播新平台，今年5月，随看“东方甄选山西行”系列直播活动的完美收官，各类“山西好物”的总销售额也突破亿元大关．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒元，同时段每小时的销售量为盒，每小时的销售利润为元．
（1）写出与及与的函数表达式．
（2）直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？
（3）当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．
9．某造纸厂生产甲、乙两种生活用纸的相关信息如下表，其中x（吨）表示甲、乙两种生活用纸的月产量，请根据表中的信息解答后面的问题：
种 品 价 目 出厂价（元/吨） 成本价（元/吨） 排污处理费
甲种生活用纸 4800 2200 200（元/吨） 每月还需支付设备管理、 维护费20000元
乙种生活用纸 7000﹣10x 1600 400（元/吨）
（1）设该造纸厂每月生产甲、乙两种生活用纸的利润分别为y1元和y2元，分别求出y1和y2与x的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；
（2）若某月要生产甲、乙两种生活用纸共300吨，求该月生产甲、乙两种生活用纸各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？
10．如图，抛物线 交x轴于点 和点 ，交y轴于点C.
（1）求这个抛物线的函数表达式；
（2）若点D的坐标为 ，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 面积的最大值.
11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．
12．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在 点正上方 的点 发出一球，羽毛球飞行的高度 与水平距离 之间满足函数表达式： ，已知点 与球网的水平距离为 ，球网的高度 ．
（1）当 ，①求 的值；②通过计算判断此球能否过网；
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 的水平距离为 ，离地面的高度为 的 处时，乙正好接球，求 的值．
13．如图，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括 C点），点 P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s，若点 P、Q 分别从B、C 同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程.
（1）当 t 为何值时，P、Q 两点的距离为 4 cm？
（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
14．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
15．国家支持大学生创新办实业，提供小额无息贷款．学生王亮享受国家政策贷款36000元用于代理某品牌服装销售，已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条线段（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含贷款）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还贷款，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（销售额﹣成本=支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店至少需要多少天能还清所有贷款？此时每件服装的价格应定为多少元？
16．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观，如图①。
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2=4h(H-h)。
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立于地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水而竖直距离hcm处开一个小孔。
（1）写出s2与h的关系式，并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水而的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离。
17．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为： （1≤t≤80，t为整数），日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
答案
1．解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知点A（﹣5，0）、B（5，0）、C（0，5），
设抛物线解析式为y＝ax2+5，
将点A（﹣5，0）代入，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣ ，
则抛物线解析式为y＝﹣ x2+5，
当y＝4时，﹣ x2+5＝4，
解得：x＝ ，
则两盏景观灯之间的水平距离2 m．
2．解：（Ⅰ）35﹣x，50+2x；
（Ⅱ）根据题意，每天的销售额y=（35﹣x）（50+2x），（0＜x＜35）
配方得y=﹣2（x﹣5）2+1800，
∵a＜0，
∴当x=5时，y取得最大值1800．
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
3．（1）解：根据题意，A（12，0），P（6，4），
设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣6）2+4，
将A（12，0）代入y＝a（x﹣6）2+4，得0＝a（12﹣6）2+4，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：
由题意可知，点C，D的纵坐标为y＝4﹣1.5＝2.5，
将y＝2.5代入y＝﹣（x﹣6）2+4，
∴2.5＝﹣（x﹣6）2+4，
解得x＝6±，
∴CD＝6+﹣（6﹣）＝3，
∵3＞5，
∴不需要采取紧急措施．
4．（1）解：∵□A′B′OC′由□ABOC旋转得到，且点A的坐标为（0,3）,
点A′的坐标为（3,0）.
∴抛物线过点C（-1,0），A（0,3），A′（3,0），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，可得
解得
∴过点C，A，A′的抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
（2）解：∵AB//CO，∴∠OAB=∠AOC=90°，
∴OB= ，
又∠OC′D=∠OCA=∠B，
∠C′OD=∠BOA，∴△C′OD~△BOA，
又OC′=OC=1,
∴ ，
又△ABO的周长为4+ ，
∴△C′OD的周长为 .
（3）解：连接OM，设M点的坐标为（m，n），
∵点M在抛物线上，
∴n=-m2+2m+3，
∴ ，
= OA·m+ OA′·n- OA·OA′
= （m+n）-
= (m+n-3)
= (m2-3m)= （m ）2+ .
∵0∴当点M的坐标为（ ， ）时，△AMA′的面积有最大值，且最大值为 .
5．解：（1）y=30-(0≤x≤100，且x是10的整数倍）（2）w=（30-）（160+x-20）=+16x+4200；（3）w=+16x+4200=(x-80)2+4840∴当x=80时，w最大=4840。当x=80时，y=30-=22。
6．（1）解：设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)函数关
系式为：y=kx+b，
9k+b=105，
11k+b=95，
解得k=-5 b=150，
y与x之间的函数关系式为：y=-5x+150.
（2）解：(-5x+150)(x-8)=360，
解得：x1=12，x2=26(舍去)，
，若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为y=-5x+150
（3）解：w=y(x-8)，
=（-5x+150)(x-8)，
=-5x2+190x-1200，
=-5(x-19)2+605，
8≤x≤15，且c为整数，当x<15时，w随x的增大而增大，当x=15时，w有最大值，最大值为525.
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.
7．（1）解：∵AB＝x，
∴BC＝36-2x，
y＝x（36-2x），
∵0＜36-2x≤18，
∴9≤x＜18．
∴y与x之间的函数关系式为y＝-2x2+36x（9≤x＜18）．
（2）解：由题意：-2x2+36x＝160，
解得x1＝10，x2＝8，
∵x2＝8时，36-2×8＝20＞18，不符合题意，舍去，
∴x的值为10．
（3）解：∵y＝-2x2+36x＝-2（x-9）2+162，
∴x＝9时，y有最大值162（m2），
设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意：14（400-a-b）+16a+28b＝8600，
∴a+7b＝1500，
∴b的最大值为214，此时a＝2．
需要种植的面积＝0.4×（400-214-2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，
∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．
8．（1）解：由题意得，即，
∴即
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得，，
要让利顾客，
，
答：销售价应定为每件130元；
（3）解：
，
当时，有最大值，，
答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元．
9．解：（1）依题意得：y1=（4800﹣2200﹣200）x﹣20000=2400x﹣20000
y2=（7000﹣10x﹣1600﹣400）x=﹣10x2+5000x；
（2）设该月生产乙种生活用纸m吨，则生产甲种生活用纸（300﹣m）吨，总利润为W元，
依题意得：W=2400（300﹣m）﹣20000﹣10m2+5000m
=720000﹣2400 m﹣20000﹣10 m2+5000m
=﹣10 m2+2600 m+700000
∵W=﹣10（m﹣130）2+869000．
∵﹣10＜0
∴当m=130时，W最大=869000
即生产甲、乙生活用纸分别为170吨和130吨时总利润最大，最大利润为869000元．
10．（1）解：将A,B两点的坐标代入解析式得， 解得
故抛物线的表达式为： ；
（2）解：连接 ，
设点 ，
由（1）中表达式可得点 ，
则
，
∵ ，故S有最大值，当 时，S的最大值为 .
11．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，
∴C（0，﹣5），
∴OC=5．
∵OC=5OB，
∴OB=1，
又点B在x轴的负半轴上，
∴B（﹣1，0）．
∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），
∴ ，解得 ，
∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．
（2）解：由y=x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．
连接AC，
∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），
又S△ABC= ×4×5=10，S△ACD= ×4×4=8，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．
（3）解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H．
∵S△ABC= ×AB×CH=10，AB=5 ，
∴CH=2 ，
在Rt△BCH中，∠BHC=90°，BC= ，BH= =3 ，
∴tan∠CBH= = ．
∵在Rt△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO= ，
∵∠BEO=∠ABC，
∴ ，得EO= ，
∴点E的坐标为（0， ）
12．（1）解：①当 时，
将点P（0，1）代入解析式得：
解得 ；
②将x=5代入 得：
∵
∴能过网
（2）解：将P（0，1）与（7， ）代入 得：
，
解得
∴
13．（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为4 cm，
ts后，PC=6-t cm，CQ=2t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（6-t）2+（2t）2=（4 ）2；
解得t=2或t= ，
故t为2或 时，P、Q两点的距离为4 cm
（2）解：设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=6-tcm，CQ=2t cm，
S△PCQ= ×PC×CQ= ×（6-t）×2t=-t2+6t
当t=- 时，即t=3s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ=
×PC×CQ= ×（6-3）×6=9（cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大= ×6×8-9=15（cm2），
当点P运动3秒时，四边形BPQA的面积最小为：15cm2
14．（1）解：点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）解：设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1，
∵y1=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），
∴
∴ ，
∴这个一次函数的表达式为；y1=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）解：设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴ ，
解得： ，
∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，
由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
15．（1）解：设y=kx+b（k≠0），
由题意得： ，
解得 ，
∴y=﹣2x+140
（2）解：当x=48时，y=﹣2x+140=44．
设该店员工有a人，
则（48﹣40）×44=82a+106，
解得a=3．
答：该店员工有3人
（3）解：设每天的利润为W（元），由题意，得
W=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣2x+140）
=﹣2（x﹣55）2+450．
设至少需要b天能还清所有贷款由题意，得
450b≥（82×2+106）b+36000．
解得b≥200．
答：该店至少需要200天能还清所有贷款，此时每件服装的价格应定为55元
16．（1）解：∵s2=4h(H-h)，
∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，
∴当h=10时，s2有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20。
∴当h为10 cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm。
（2）解：由题意得
4a(20-a)=4b(20-b)，
∴20a-a2=20b-b2，
∴a2-b2=20a-20b，
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，
∴(a-b)(a+b-20)=0，
∴a-b=0或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20
（3）解：设垫高的高度为m，
则s2=4h(20+m-h)=-4(h- )2+(20+m)2，∴当h= 时，smax=20+m=20+16，
∴m=16，此时h= =18
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18 cm。
17．（1）解：设函数关系式为y＝kt＋b（k≠0），
将（1，198）、（80，40）代入，得： ，
解得： ，
∴日销售量y与时间t的函数关系式为：y＝ 2t＋200（1≤t≤80，t为整数）；
（2）解：设日销售利润为W，
则 ，
∵ ，
∴当t=30时，W最大＝2450；
答：第30天的日销售利润最大，最大利润是2450元；
（3）解：设日销售利润为W，
根据题意得： ，
其函数图象的对称轴为t＝2m＋30，
∵当1≤t≤40时，W随t的增大而增大，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m＋30≥40，
解得：m≥5，
又∵m＜7，
∴5≤m＜7