第六章 6.2.4 向量的数量积（第二课时） 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第六章
6.2平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积（第二课时）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1进一步理解向量数量积的概念及性质，掌握平面向量数量积的运算律. 1.数学抽象素养、运算素养.
2.能运用向量数量积的性质和运算律解决模、夹角、垂直 及证明问题. 2.逻辑推理素养、运算素养.
温故知新
1.向量的数量积
已知两个非零向量与,它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积（inner product)),记作,即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.即.
2.向量的投影向量
设与方向相同的单位向量为
的夹角为，对于任意,向量在向量上的投影向量.
O
N
M
a
b

温故知新
3.向量数量积的性质
设、是两个非零向量,它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则
⑴;
⑵ ;
⑶当与同向，;当与反向，.
特别地，或.
或
⑷.
新知探究
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积的哪些运算律？你能证明吗？
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量和实数,有
⑴;
⑵;
⑶.
交换律
数乘结合律
分配律
注意：向量数量积不满足结合律和消去律.
①
②
新知探究
⑶.
证明：（方法1）如图，作.
O
A
B
D
C
设向量与的夹角分别为，它们在向量上的射影向量分别为,与方向相同的单位向量为,则
,
,
∵,∴,
则
即，
整理，得，
∴，
即，
∴，
因此 .
新知探究
⑶.
证明：（方法2）如图，作.
,
,
∵
∴
∴，
因此 .
新知讲解
【例1】我们知道,对任意，恒有
.
对任意向量,是否也有下面类似结论？
⑴;
⑵.
解：
⑴
.
因此，上述结论是成立的.
新知讲解
【例2】已知与的夹角为60°,求.
解：
=-72.
新知讲解
变式：已知与的夹角为60°,求.
解：
.
同理可得
新知讲解
【例3】已知且与不共线.当k为何值时，与互相垂直？
解：
互相垂直的充要条件是
即
∵,.
∴
解得.
也就是说，当时，与互相垂直.
新知探究
变式：已知,且与互相垂直，求证：.
证明：
∵互相垂直
∴
∴.
即.
∵,
∴
而都是非零向量
∴.
新知讲解
【例4】在四边形ABCD中,已知AB=9,BC=6,.
⑴若四边形ABCD是矩形,求的值;
⑵若四边形ABCD是平行四边形,且=6,求与夹角的余弦值.
解：
由，得.
⑵∵.
∴
=18
⑴∵四边形ABCD是矩形,∴
∴.
又∵=6，即=6，
∴
设夹角为，则，即夹角的余弦值为.
初试身手
1.已知平面向量满足，且，则的值为(　　)
A.　　　 B. C.　　 D．
2.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，点D满足,则=
( )
A. B. C.6 D.
1.解：∵，∴,又,∴,即
1+2+1=1,∴,故选A.
2.解：∵AB=AD=2,∠BAD=60°，∴，故选C.
A
C
拓展：条件不变，求的夹角.
拓展：条件不变，求及与夹角的余弦值.
初试身手
3.已知是夹角为的两个单位向量，,若,则
k= .
4.已知是两个互相垂直的单位向量,且的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )
A.（0，+∞） B.（0，1） C.（1，+∞） D.（0，1）∪（1，+∞）
3.解：∵，∴,即,整理，得,解得.
4.解：∵的夹角为锐角,∴,k>0,但当k=1时，，它们得夹角为0，综上，k的取值范围是（0，1）∪（1，+∞），故选D.
D
课堂小结
1.向量数量积的运算律
2.利用向量数量积的求向量的模、夹角及求解垂直问题
对于向量和实数,有
⑴;
⑵;
⑶.
交换律
数乘结合律
分配律
注意：向量数量积不满足结合律和消去律.
①
②
作业布置
作业： P23-24 习题6.2 第10，11，18，19，23题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin