2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数证明题（线段周长问题）（含简单答案）

2024年人教版九年级数学中考专题训练
二次函数证明题（线段周长问题）
1．已知抛物线交y轴于点B，交x轴于点C，抛物线顶点为A，点P是抛物线上的动点，其横坐标为n．

(1)求证：抛物线与x轴一定有交点．
(2)当时，
①当点P在x轴下方时，结合图象直接写出n的取值范围；
②若点C在如图1位置，当点P位于第四象限时，过点P分别作直线，y轴的垂线段．求当n为何值时，的长度最大．
(3)是否存在一定点D，无论m取何值，抛物线都经过该定点？若存在，则以为边作等腰直角三角形，此时若点G恰好落在此抛物线的对称轴上，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，二次函数的图象F交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，直线l：交图象F于M，N两点（点M在点N左侧）．

(1)求二次函数的解析式；
(2)已知点，当，且时，求k的值；
(3)如图2，设图象F的顶点为P，线段的中点为S，连接，求证：不论k取何值，的值不变．
3．已知抛物线经过、两点（点在点的左侧），与轴交于点，，．
(1)如图1，求此抛物线的表达式；
(2)如图2，直线经过点，交于点，点为线段的中点，过点作轴于点，作于点，连结、．
①求证：是等腰直角三角形；
②当的周长最小时，求直线的表达式．
4．如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A(2,)，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）点P是抛物线L上一动点．
①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；
②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最小时，求点P的坐标；
（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．
5．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，（点在点的左侧）两点．点是该抛物线上任意一点，过点作平行于轴的直线交于，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．
(1)已知：，，．
①如图①，当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，________，________；
②如图②，当点的横坐标为2，直线的解析式为时，________，________．
(2)由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下与之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)若，点，的横坐标分别为，2，点在直线的上方的抛物线上运动（点不与点，重合），在点的运动过程中，利用（2）中的结论求出的最大面积．
6．已知抛物线（a，b，c为常数，a≠0）.抛物线顶点为C，与x轴分别交于点A,B（点A在点B左边），△ABC为等腰直角三角形.
(1)当a＞0，c=0，抛物线经过点M（m，t）和N（6-m，t），求抛物线的解析式；
(2)求的值；
(3)若经过点B的直线l与抛物线只有一个公共点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，与直线l交于点F，求证：点C是线段EF的中点.
7．已知抛物线C：，顶点为．
(1)求b，c的值；
(2)若，抛物线与直线L：相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值；
(3)点为y轴正半轴上一定点，点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若，求证：直线经过一个定点．
8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；
(3)点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长．
9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标；
(3)如图2，若点D是线段的下方抛物线上一点，过点D作于点E，求的最大值．
10．如图，抛物线y=mx+2mx-3m(m≠0)的顶点为H，与轴交于A、B两点（B点在A点右侧），点H、B关于直线l：对称，过点B作直线BK∥AH交直线l于K点．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线I上．
（2）求此抛物线的解析式；
（3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过K点时，设顶点为N，求出NK的长．
11．抛物线与轴交于点A和点B（点A在原点的左侧），与轴交于点C，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，过线段上一点E作轴，在第一象限交抛物线于点P，轴交于点F，当的面积为时，求点P的横坐标；
(3)如图2，D为对称轴右边抛物线上的任意一点，连接，分别交于M、N两点，试证明为定值．
12．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点，点为其对称轴上的一个定点．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)已知直线l是过点且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线l的距离为d，求证：；
(3)已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点Q，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点Q的坐标．
13．在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点的坐标为，点的坐标为，顶点在第一象限内，抛物线（常数）的顶点为正方形对角线上一动点．
（1）当抛物线经过两点时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线相交于另一点（非抛物线顶点，且在第一象限内），求证：长是定值；
（3）根据（2）的结论，取的中点，求的最小值．
14．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；
(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；
(3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，若，求点坐标；
(3)如图2，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点
参考答案：
1．(2)①；②
(3)存在；点G的坐标是或或或
2．(1)
(2)
(3)不论k取何值，的值不变，都是
3．(1)
(2)②
4．（1）y＝x2；（2）①点⊙P与直线l的位置关系为相切；；②点P的坐标为（2，3）；
5．(1)①2，2；②7，7；
(2)
(3)当时，
6．(1)；
(2)；
7．(1)，
(2)m的值是或
8．(1)，D（，﹣）；
(2)△ABC是直角三角形，
(3)M（，﹣），3
9．
(2)
(3)
10．(1) A(-3，0) B(1，0) ； (2)y=-x-x+； (3)NK=4
11．(1)
(2)
12．(1)
(3)的周长的最小值为，此时
13．（1）抛物线解析式为；
（3）最小值为．
14．(1)，；
，该定值为2
(3)在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为或
15．(1)
(2)