2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值（含简单答案）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值
1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，问题如下：
(1)若获得的利润为1000元，应该如何定价？
(2)如何定价才能使利润最大？
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）；
(2)点，在抛物线上，其中，．
①若的最大值是2，求的最小值；
②若对于，，都有，直接写出的取值范围．
3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)请直接写出不等式组的解集是___________；
(3)点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的最小值．
4．已知抛物线， 请回答下列问题：
(1)写出该抛物线的顶点坐标，对称轴和开口方向；
(2)当时， 求出的最大值和最小值．
5．如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点
(1)求的值；
(2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________．
6．已知代数式．
(1)试说明：不论m取任何实数，代数式的值总是正数；
(2)当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．
7．已知函数是关于x的二次函数.
(1)求k的值；
(2)当k为何值时，抛物线有最低点？
(3)当k为何值时，函数有最大值？
8．春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．
(1)求每个水果礼盒的成本（成本水果成本盒子成本）；
(2)若每个礼盒的售价是元是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
(3)若每个礼盒的售价不超过元是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
9．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式和点B的坐标；
(2)直接写出y的最大值为 　　.
10．在平面直角坐标系中，对于点，如果的纵坐标系满足，那么称点为点的“友好点”，
(1)求点的“友好点”的坐标；
(2)如果点的“友好点”在函数的图象上，当时，求线段的最大值．
11．在平面直角坐标系中，二次函数的图象上两个点，，点、之间的部分（包含点、点）记作图象，图象上的最大值与最小值的差记作．
(1)求这个二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；
(2)当，，时，求的值；
(3)当，时，恒有，求的取值范．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)填空： ， ；
(2)若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交于点E，过点D作于点F，过点F作轴于点G，求出的最大值及此时点D的坐标．
13．在直角坐标系中，已知点（为非零实数），点与点关于原点对称，若抛物线过三点．
(1)当时，求抛物线对应的二次函数解析式；
(2)尝试把的取值分成两类，使抛物线对应的二次函数分别有关于的最大、最小值，并写出最大值和最小值关于的函数解析式．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点与点关于对称轴对称，连接与对称轴交于点，求的面积；
(3)如图，点是抛物线上位于第一象限内的一点，轴，垂足为，与相交于点，
①当时，求点的坐标．
②求的最大值．
15．已知直线（）与抛物线相交于、两点（点在点的左侧）．

(1)不论取何值，直线必经过定点，直接写出点的坐标；
(2)如图，已知、两点关于抛物线的对称轴对称．
①求证：直线必经过一定点；
②当时，的最大值与最小值的差为2，求的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)50元/件或80元/件
(2)65元/件
2．(1)
(2)①的最小值是，②或者
3．(1)；
(2)
(3)最小值是
4．(1)顶点坐标与，对称轴为，抛物线开口向上
(2)的最大值为，最小值为
5．(1)
(2)，
6．，最小值为4
7．(1)k的值为1或；
(2)
(3)
8．(1)40元
(2)
(3)当时，每天的最大利润为2450元；当时，每天的最大利润为
9．(1)；B（3，0）；
(2)4
10．(1)
(2)当时，线段的最大值是12
11．(1)
(2)4
(3)
12．(1)，
(2)有最大值，
13．(1)
14．(1)抛物线的解析式为：；
(2)；
(3)①；②的最大值为．
15．(1)
(2)或
答案第1页，共2页