2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)若函数在其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，顶点坐标为．

(1)若函数图像关于直线对称，求函数的表达式；
(2)求的最大值；
(3)是否存在实数a，使得当时，二次函数的最大值为最小值的3倍，若存在，求出a：若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；
(3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
4．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
　
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．
6．如图1，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，顶点是D．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标D；
(2)如图1，点是线段上的动点（不与B，D重合），轴于F，设四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
(3)如图2，将抛物线向下平移k个单位长度，平移后的顶点为，与x轴的交点是，．若的外心在该三角形的内部，直接写出k的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．
8．已知抛物线经过点、、．
(1)求抛物线解析式和直线的解析式；
(2)如图（1），若点P是第四象限抛物线上的一点，若，求点P的坐标；
(3)如图（2），点M是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、C重合），过点M作垂直于点H，求的最大值．
9．如图，二次函数交x轴于点和点，交y轴于点C，过点C作轴，交抛物线于另一点D．

(1)求该二次函数所对应的函数解析式；
(2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一个动点，轴，轴，求线段的最大值；
(3)如图2，点M是线段上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
10．如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线经过点A，C．
(1)求直线的解析式；
(2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N，使得以点P，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线上方且在对称轴右侧的一个动点，过作，垂足为，为点关于抛物线的对称轴的对应点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的值最大时，求此时点的坐标和的最大值；
(3)将抛物线关于直线作对称后得新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点，是新抛物线对称轴上一点，是平面中任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
12．已知抛物线与x轴交于两点．
(1)直接写出抛物线的函数解析式；
(2)如图1，M是抛物线顶点，点P在抛物线上，若直线经过外接圆的圆心，求点P的横坐标；
(3)如图2，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接分别交、y轴于D、E两点，若、的面积分别为，求的最大值；
13．如图1，点A为直线与抛物线在x轴上的一个交点，点为直线上一点，抛物线与y轴交于点C．
(1)求的面积；
(2)点P是直线l上方的抛物线上一点，过 P作轴交直线l于E，P作轴交直线l于F，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，平移后的抛物线与原抛物线交于点Q，点M是新抛物线的对称轴上一点．若是以AQ为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点．P是抛物线上一点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若面积是面积的倍，求点的坐标；
(3)如图，交于点，交于点D．记，的面积分别为，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，，与 轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，是第二象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求最大值以及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新抛物线，为新抛物线对称轴上一点，为新抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并把求其中一个点的过程写出来．
16．抛物线过点，点，顶点为．
(1)直接写出抛物线的表达式及点的坐标；
(2)如图，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
(3)如图，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的最大值．
17．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．连接与相交于点Q，求的最大值；
(3)过点C作轴交抛物线于点M，点E在x轴上，点N在抛物线上，是否存在点E和，使，且，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
18．抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作轴于点E，交于点F，过点F作的垂线与抛物线的对称轴、x轴、y轴分别交于点G，N，H，设点D的横坐标为m．
①当取最大值时，求点F的坐标；
②连接，若，求m的值．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在中，可得，，，故，再用待定系数法得抛物线的解析式为；
（2）过作交抛物线于，由，得直线解析式为，设，可得，根据，有，由二次函数性质即得的最大值为；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，由，知，故，，可得，根据，得，即可解得答案．
【详解】（1）解：在中，令得，
，
，
又，，
，
，
，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）过作交抛物线于，如图：

由，得直线解析式为，
设，
在中，令得：
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
的最大值为；
（3），
抛物线的对称轴为直线，
当时，中，随的增大而增大，
，
，
在（其中）范围内，
当时，取最大值，即，
当时，取最小值．即，
，
，
，
解得，
，
的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
2．(1)
(2)
(3)当或
【分析】（1）利用对称轴公式求出，即可得解析式；
（2）利用顶点公式用含的二次表达式表示，再使用配方法求出最大值；
（3）根据顶点及两端点的相对左右位置，得到大小关系，得到最大值和最小值，计算得出的值，验核大小做出取舍，最后留下符合条件的．
【详解】（1）由题意得，
，
函数解析式为；
（2）当时，
，
，
的最大值为；
（3）对称轴为直线，开口向上，
①当时，

在时，y取最小值为，
在时，y取最大值为，
，
解得，又，故舍去；
②当时，

在时，y取最小值为，
在时，y取最大值为，
，得（舍去），（可取）；
③当时，

同理 ，
得（舍去），（可取）；
④当时，

同理，
得（舍去），
综上，当或．
【点睛】本题考查二次函数代数综合题，考查了含参函数顶点最大值，在自变量有范围条件下函数最值问题．通常计算二次代数式最值，可将代数式看成二次函数或配方，求其最值．二次函数范围最值问题中，通常先计算可明确的开口和对称轴，画图标出左右高低位置，再找出最值位置，若无法确定，则可分类讨论计算，再验证是否可取．
3．(1)；
(2)或；
(3)存在，18．
【分析】(1)将点代入解析式计算即可．
(2)分点P在x轴的上方和下方两种情况计算即可．
(3) 作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，从而得到点Q在以垂直平分线上G点为圆心，且半径为5的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴．
（2）令，则，
∴，
令，则，
∴或，
∴，
∵，
∴，
如图1，当P点在x轴上方时，设与x轴的交点为点G，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
∴，
∴，
联立方程组，
∴（舍）或，
∴；
如图2，当P点在x轴下方时，
∵，，
∴，，
∴，
解得（舍去），
∴；
综上所述：P点坐标为或．
（3）线段存在最大值，且为18．理由如下：
作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
连接，
则，
以G点为圆心，半径为5的作，点，
当点Q位于上时，作直径，连接，，，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴点G位于的第四象限部分的弧上运动，
故当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
∵，∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式确定，正切函数，余弦函数，勾股定理，圆的性质，熟练掌握待定系数法，三角函数，圆的性质是解题的关键．
4．(1)①；②,
(2)
【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；
②求出直线的解析式，设点，则，表示出的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（2）由得，，抛物线的解析式为，可得顶点P的坐标为，点N的坐标为，作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时，延长与直线相交于点H，则，在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（舍去），即可得点P的坐标为．
【详解】（1）解：①若，，则抛物线，
∵抛物线与x轴相交于点，
∴，解得，
∴抛物线为，
∴顶点P的坐标为；
当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，
设点，则，
∴，
∴当时，取得最大值1，
此时，点，则；
（2）解：∵抛物线与x轴相交于点，
，
又，
，，
∴抛物线的解析式为．
∴，
∴顶点P的坐标为，
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为，
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，
得点的坐标为，点的坐标为，
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时．
延长与直线相交于点H，则．
在中，，，
∴，
解得，（舍去），
∴点P的坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出函数解析式是解本题的关键．
5．(1)
(2)取得最大值，此时点的坐标为
(3)存在，满足条件的的坐标为或
【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
抛物线经过点，，，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
直线与轴交于点，
，
，
轴，即，
，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形是矩形时，
由（2）可知，代入中，得到，
直线的解析式为，可得，，
由可得，
,
，
，
．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，
，即，
b、如图2﹣2中，四边形是矩形时，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，
，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
，即．
②当是对角线时，设，
则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的的坐标为或．
【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
6．(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）利用二次函数的双根式得抛物线的解析式，并根据顶点式求顶点；
（2）先求出直线的解析式，E在直线上，所以可表示出E的坐标，利用梯形面积公式，用x表示四边形的面积S，得二次函数，配方求最值；
（3）找临界条件，恰好是直角三角形，可求出k的值．
【详解】（1）把，和，代入
可得，解得，
故抛物线解析式为，，
故D的坐标为；
（2）由抛物线解析式可得，设所在直线的解析式为，
把，和，代入
可得，解得，
∴，
∴设．
由于四边形为梯形，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值为．
（3）由题意得，为锐角三角形，
设平移后的抛物线解析式为，
当为直角三角形时，
根据抛物线对称性可知，为等腰直角三角形，
∵，
∴，，
将或代入
得或（三点重合，舍去），
∴．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值问题，图象的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
7．(1)
(2)的最大值为，此时点的坐标为
(3)或或，见解析
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点两点，即知抛物线的表达式为，即 ；
（2）证明，根据相似三角形的性质得出，设出P点的坐标，利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先根据平移规律求出平移后的抛物线的解析式，以及点M，N的坐标，然后设出点Q的坐标，根据菱形的性质求出Q的坐标，即可得点R的坐标．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，，
∴抛物线的解析式为，即；
（2），
令，则，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为：；
轴，
轴
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
∴当时，的最大值为2，
的最大值为，此时点的坐标为；
（3）∵将抛物线沿射线方向平移，，，
设抛物线向上平移个单位，向右平移个单位，
∴新抛物线的解析式为，
∵平移后的图象经过点，
，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴新抛物线的解析式为,
∴点，点的坐标为，
设，
，，，
①当时，，
解得，或（舍去）
此时，、为对角线，
，
；
②当时，，
解得，，
此时，、为对角线，
，
，
③当时，，
解得，或（舍去）
此时，、为对角线，
，
，
综上所述，点的坐标为或或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质三角形面积，平移的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键
8．(1)直线的解析式是；抛物线解析式是；
(2)；
(3)．
【分析】（1）可设抛物线的解析式是交点式，然后将C点坐标代入，进而求抛物线的解析式，设直线的解析式，将A、C两点代入，进一步可求得的解析式；
（2）作，先求出边上的高为，然后延长至Q，使，求出Q的坐标，作，然后求出的解析式，然后求出直线与抛物线的交点即可；
（3）作交于N，可得，所以只需求得的最大值即可，设M、N的坐标，表示出的长，求的最值，进而求得的最大值．
【详解】（1）解：设，
∴，
∴，
∴，
设的解析式是，
，
∴，
∴；
（2）解：如图1，
作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
延长至Q，使，作轴于D，过Q作，
∴，
∴，
设的解析式是：，
∴，
解得，
∴的解析式是：，
由得，，
∴，（舍去），
当时，，
∴；
（3）解：如图2，
作交于M，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是转化条件，间接求直线和抛物线交点．
9．(1)
(2)
(3)M点坐标为可以为或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，先证明为等腰直角三角形，则得到，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，得到，则，进而求得，利用二次函数的性质求解即可；
（3）点N的坐标为，则点M的坐标为，分和两种情况，利用相似三角形的性质列方程求解m即可．
【详解】（1）解：∵与x轴的两个交点A、B的坐标分别为和，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：如图1所示．
因点P在二次函数图象上，故设．
∵与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为．
又∵点B的坐标为，
∴
∴为等腰直角三角形．
又∵轴，轴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
设直线的表达式为，
又∵和在直线BC上，
∴
解得，
∴直线BC的解析式为，
∴．
则，
∴，
∵，，
∴当时，线段有最大值，最大值为；
（3）解：①如图2所示：

若时，点N在抛物线上，作轴，轴交y轴于点E，
交l于点F．
设点N的坐标为，则点M的坐标为，
∵C点坐标为 ， 轴，
∴点D坐标为，
∵，
∴，又，
∴．
∴，
又∵，，，，
∴
化简得．
解得：，．
∴M点坐标为或；
②如图3所示：

当时，过B作交于G，交 l于F，
∵
∵，又，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴化简得，．
解得，或（舍去）
∴M点坐标为．
综上所述，满足题意的M点坐标为可以为或 或．
【点睛】本题是二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键，属于常考压轴题型，难度大，综合性强．
10．(1)
(2)的最大值为；此时点
(3)或或
【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点P作轴于点F交于点G，设点，则点，可得，，，再证明，可得，从而得到，再证得，可得，从而得到的值关于m的函数关系式，即可求解；
（3）根据题意可得原抛物线沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向上平移个单位后得到新抛物线，从而得到新抛物线的解析式，进而得到新抛物线的对称轴为直线，设点，，然后分三种情况：若以对角线为对角线；若以对角线为对角线；若以对角线为对角线，结合平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴点，
当时，，
解得：，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过点P作轴于点F交于点G，
∵，，
∴，
∴，
设点，则点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为；此时点；
（3）解：∵，
∴原抛物线的顶点坐标为，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，
∴相当于原抛物线沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向上平移个单位后得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线，
设点，，
若以对角线为对角线，有
，解得：，
此时点M的坐标为；
若以对角线为对角线，有
，解得：，
此时点M的坐标为；
若以对角线为对角线，有
，解得：，
此时点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
11．(1)
(2)的最大值为9，此时点的坐标为
(3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或或或或
【分析】（1）利用待定系数法，将，代入，即可求得答案；
（2）先求得的函数表达式，过点作轴交于点，设点，则，利用，求得，再根据、关于对称轴对称求得，进而求得，再将二次函数化为顶点式，即可求解；
（3）先求得点的坐标及新抛物线的对称轴，设，以，，，为顶点的四边形是菱形，则需要为等腰三角形，分三种情况：，，，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过，，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
解得：，
直线的函数表达式为，
令，得，
解得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
过点作轴交于点，
设点，则，
，
，，
，
轴，
轴，
，
，
，
，
，
，
为点关于抛物线的对称轴的对应点，
，
，
当时，的最大值为9，此时点的坐标为；
（3）解：存在，
原抛物线的对称轴为直线，
将抛物线关于直线作对称后，对称轴向右平移了，新抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
设，
若以，，，为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形即可，分以下三种情况：
①当时，
，，
，
解得：或，
或，
当点时，的中点坐标为，
以，，，为顶点的四边形是菱形，
∴的中点坐标为，
同理可得：时点坐标为；
②，
，，
，
解得：或，
或，
以，，，为顶点的四边形是菱形，
或；
③，
，，
，
解得：，
，
以，，，为顶点的四边形是菱形，
，
综上，存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，用待定系数法求函数关系式，勾股定理，菱形的判定与性质，解题的关键是准确的画出图形和所需的辅助线，此题综合性强，计算繁琐，难度较大，属于考试压轴题．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）化为顶点式求得顶点M的坐标，当时求得点C坐标，利用勾股定理的逆定理可判断为直径，设中点为F，求得直线的解析式，和二次函数联立方程组求解即可得出点P坐标；
（3）过N作轴于K，设，先利用待定系数法求得直线的解析式为，进而求得，利用结合二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：∵
∴，
当时，，则，
∵，
∴，则，
∴是外接圆的直径，
设的中点F，则，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
由解得，，
∴点P得横坐标为；
（3）解：如图，过N作轴于K，
设，则，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，∴，
∴
，
∵，，
∴当时，有最大值．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理及其逆定理的应用、三角形的外接圆性质、圆周角定理、三角形的面积、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，（2）中关键是判断出为直径，（3）中关键是求得和．
13．(1)7
(2)最大为，
(3)，，，
【分析】（1）根据一次函数解析式求得，，根据二次函数解析式得出，与轴的交点为，进而根据三角形面积公式即可求解；
（2）设 ，则，得出，根据二次函数的性质即可求解．
（3）根据题意求得，点M是新抛物线的对称轴上一点，设，勾股定理表示出，，然后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：令中，则，
令中，则，令，则
∴，，
设与轴的交点为，则
令中，得，
∴，
．
（2）如图所示，
设交轴与点，设 ，则，
则，，
∵轴,轴，
∴，
∴，
∴，
当时最大为，此时．
（3）解：将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，
则，对称轴为直线，
∵平移后的抛物线与原抛物线交于点Q，
联立，
解得：，
∴,
点M是新抛物线的对称轴上一点，设，
∵，
∴，，
∵是以AQ为腰的等腰三角形，
当时，，
解得：，
当时，则，
解得：，
综上所述，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，等腰三角形的定义，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，再利用平面直角坐标系内两点之间的距离列方程可得到点的坐标；
（3）利用相似三角形的判定与性质得到相似比即可得到的最大值．
【详解】（1）解：将代入
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：设直线的解析式为：，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，
∴，
∴，
设点的横坐标为，
∴，
∴，
解得：或；
∴或；
（3）解：存在最大值．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线交轴于点，则 ，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系内两点之间的距离，平行线的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15．(1)
(2)的最大值为；；
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先求得点的坐标，进而得出直线的解析式为,设，则，表示出，证明，根据相似三角形的性质得出，则，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意得到新抛物线，点，点，点在新抛物线的对称轴上，为新抛物线上一点，分以下三种情况，以为对角线的平行四边形，以为对角线的平行四边形，以为对角线的平行四边形 ，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴的交点为，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：∵与 轴交于点，
令，解得：，则,
设直线的解析式为，
将点代入得，，
解得：,
∴直线的解析式为,
设，则，
∴
依题意，轴，轴，
∴，
∴，
又∵
∴，
则，
∴
∴当时，的最大值为；
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∵将抛物线沿射线平移个单位，得到新抛物线，
∴将抛物线向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，
即
，对称轴为直线；
由（2）可得点，又点，
设点 ， ，
分以下三种情况，以为对角线的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
以为对角线的平行四边形，
∴
∴
∴，
∴；
以为对角线的平行四边形 ，
∴
∴，
∴，
∴；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数图象的动点问题、以及二次函数抛物与平行四边形的综合问题．解题的关键是根据抛物线设动点坐标找等量关系以及数形结合求解．
16．(1)抛物线的表达式为；顶点
(2)
(3)m的最大值为
【分析】（1）将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点的坐标；
（2）设，根据是以为底的等腰三角形，根据，求得点的坐标，进而求得解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得点的坐标；
（3）根据题意，可得，设，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得，根据配方法可得的最大值．
【详解】（1）解：抛物线过点，点，
，
解得，
，
，代入，
解得：，
顶点．
（2）设，
,，是以为底的等腰三角形，
即
解得
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
联立
解得：，
；
（3）点的横坐标为，，，
，
设，则，
是以为底的等腰三角形，
，
即
整理得
∴m的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
17．(1)
(2)的最大值为
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）求出点的坐标，求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点，则可得，根据相似三角形的性质即可得出关于的二次函数解析式，求出其最大值即可；
（3）分别画出相应的图形，分别过点作轴，轴于点，然后证明，从而得出，设点，点，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：将，坐标代入抛物线解析式可得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，即，
解得，
∴点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴交直线于点，
∴，
∵P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m，
∴点，
∴点的纵坐标为，
即，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为；
（3）如图1，当点与点重合时，，，
∴点的坐标为；
当点的位置如下图2所示时，
分别过点作轴，轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点，点，
则，
解得，，
∴点的坐标为；
如图3、图4位置所示，
分别过点作轴，轴于点，
同理可证∴，
∴，
设点，点，
则，
解得：，，
∴点的坐标为，，
综上所述，存在，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，运用方程思想解题是解本题的关键．
18．(1)
(2)①点F的坐标为；②1或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①先求得直线的解析式，设，，则，进一步计算，利用二次函数的性质进而求解；
②由得到，推出，进而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①当时，
∴点．
设直线的解析式为，
将代入得，解得，
∴直线的解析式为．
设点D的横坐标为m，则，，
∵，
∴．
作轴于点K，直线与轴交于点，
∵，
∴．
∴．
∴
．
∴当时，取最大值．
将代入，得．
∴点F的坐标为；
②作轴于点M．
∵轴，轴，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵的对称轴为直线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
可求得．
在中，
．
∵，
∴．
解得，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，这是解题的关键．