2024年中考数学高频考点突破——反比例函数与几何综合（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——反比例函数与几何综合
1．如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积；
(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，过点作轴，垂足为，连接，已知四边形是平行四边形，且其面积是．

(1)求点A的坐标及和的值；
(2)求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
(3)若直线与四边形和反比例函数图象均无公共点，直接写出的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，点是双曲线上的动点，横坐标为，作轴交直线于点，连接、．

(1)求a、b的值；
(2)求的面积与的函数关系式，并求的最大值；
(3)当四边形为平行四边形时，连接，并将直线向上平移个单位后与反比例函数的图象交于、两点，与直线交于点，设、、三点的横坐标分别为、、，是否存在正实数使得等式成立，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
4．如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象交于点，其中，点A在x轴的正半轴上，点的坐标为，过点C作轴于点H．

(1)已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；
(2)若点P是线段上的一点，满足，连接，过点作轴于点，记的面积为，设
①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；
②当T取最小值时，求m的值．
6．如图是某山坡的截面示意图，坡顶距轴（水平），与轴交于点，与坡交于点，且，坡可以近似看作双曲线的一部分，坡可以近似看作抛物线的一部分，且抛物线与抛物线的形状相同，两坡的连接点为抛物线的顶点，且点到轴的距离为．
(1)求的值；
(2)求抛物线的解析式及点的坐标；
(3)若小明站在坡顶的点处，朝正前方抛出一个小球（看成点），小球刚出手时位于点处，小球在运行过程中的横坐标、纵坐标与小球出手后的时间满足的关系式为，，是小球出手后水平向前的速度．
①若，求与之间的函数关系式；
②要使小球最终落在坡上（包括，两点），直接写出的取值范围．
7．在矩形中，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．

(1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标；
(2)连接、，求证：；
(3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式：
(2)点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标；
(3)反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴相交于点C．

(1)求m和n的值；
(2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是 ；（直接写出答案）
(3)以为边在右侧作菱形．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交于点F，连接，则的面积为 ．（直接写出答案）
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于D、E两点，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．连接．

(1)连接，若的面积为8，则______；
(2)连接，当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？
(3)连接，当k为何值时，以为直径的圆与相切
11．【概念发现】
对于平面上的图形S，先将其向上平移a个单位，再将平移后的图形沿着直线翻折得到图象，记此变换过程为图形S的滑动对称变换．若在另一图形T上存在一动点C，图形上存在一动点D，记长度的最大值为，长度的最小值为．
(1)【理解应用】
如图1，平面直角坐标系中，，记线段为图形S，先将线段向上平移1个单位，再沿着直线翻折得到线段，记线段为图形，则图形S的（_____，_____）滑动对称变换得到图形．记原点O为图形T，则_________，________；
(2)【思维提升】
如图2，在坐标平面内，半径为2，圆心，记为图形S，线段记为图形T，图形S的滑动对称变换得到图形，求与的值．
(3)【拓展延伸】
如图3，记直线的图象为图形S，反比例的图象为图形T，图形S的滑动对称变换得到图形，则___________；
12．如图，已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点A和点B，与轴交于点C，与轴交于点D；

(1)如图1，当点A坐标为时，求直线的解析式和反比例函数关系式；
(2)将沿射线方向平移得到，若点O，B的对应点，同时落在函数上，
①求n的值；
②平移过程中扫过的面积是 ．
13．直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．

(1)求a的值及B的坐标；
(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标；
(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．
14．小华同学学习函数知识后，对函数通过列表，描点，连线，画出了如图1所示的图象．
请根据图象解答：
(1)【观察发现】若函数图象上的两点，，满足，则一定成立吗？______(填“一定”或“不一定”)
(2)【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点，连接，．
①求当时，直线的表达式和的面积；
②直接用含的代数式表示的面积．

15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．

(1)求出a，k的值；
(2)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求的值；
(3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，求点的横坐标；
(3)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标．
17．在直角坐标系中，点在函数是常数，，上，点，，，，，在轴上，△，△，△，△均为等边三角形．
(1)求的值；
(2)求和的值；
(3)猜想的值（无需证明）．
18．如图，直线与函数的图像相交于点，与x轴交于点．

(1)求m的值及直线的解析式；
(2)若D是线段上一点，将线段绕点O逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点D的坐标；
(3)直线在直线的上方，满足，求直线的解析式．
参考答案：
1．(1)32
(2)4
(3)
【分析】（1）过点作轴于点，则．利用正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得到，则利用“”可判断，从而得到，于是确定点的纵坐标为4，即可求出答案；
（2）作轴于，轴于点，设，，同理可得，利用全等的性质得，，则，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，解方程组求出、，从而得到、两点的坐标，即可求出答案；
（3）先利用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，设点的坐标为，则点坐标为，若当点在直线上时，则，解得，可确定此时点的坐标，从而得到此时的值；当点在直线上时，则，同样可确定此时点的坐标和的值，所以可确定当变化的正方形与（2）中的正方形有重叠部分时的取值范围．
【详解】（1）解：如图（1），过点作轴于点，则，

点的坐标为，
，，
四边形为正方形，
，，
．
，
，
在和中，
，
，
，，
，
根据勾股定理得，，
正方形的面积为32；
（2）解：如图（2），过点作轴于，过点作轴于点，

设，，则，
同（1）的方法得，，
，，
，，
点、在反比例函数的图象上，
，
或（舍去），
的坐标为，，
，
即的长为4；
（3）解：设直线的解析式为，
把，代入得
，
解得，
直线解析式为，
同样可求得直线解析式为，
由（2）可知是等腰直角三角形，
设点的坐标为，点坐标为，
当点在直线上时，则，解得，
此时点的坐标为，
；
当点在直线上时，有，此时点的坐标为，
；
综上可知：当变化的正方形与（2）中的正方形有重叠部分时，的取值范围为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
2．(1)，，
(2)
(3)
【分析】令，则，解得，得到，根据平行四边形的性质求出，设，再根据平行四边形的面积是，列出方程得到，把分别代入，，即可求出m、k的值；
联立直线和双曲线的解析式，求解，即可得到答案；
找出邻界点直线经过点时的值，直线与双曲线在第四象限相切时的值，即可得出t的取值范围．
【详解】（1）令，则，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
轴，
设，
平行四边形的面积是，
，
，
，，
，
点在直线上，
，
即，，；
（2）由知，，
直线的解析式为，
由知，，
反比例函数的解析式为，
联立解得，（点的坐标）或，
一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为；
（3）当直线过点时，，
，
当直线与第四象限的双曲线相切时，
，
，
，
（舍），或，
直线与四边形和反比例函数图象均无公共点时，．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形．熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质，函数与方程的关系，是解决问题的关键．
3．(1)，；
(2)，有最大值；
(3)存在，．
【分析】（1）将代入，求出的值，将代入，求的值即可；
（2）由题意可得，，可求，则当时，有最大值；
（3）由四边形为平行四边形，求出，再由待定系数法求直线的解析式，则平移后的直线解析式为，联立方程组，根据根与系数的关系可得，再联立方程组，可求，则，由题意可得方程，求的值即可．
【详解】（1）解：在直线上，
，
，
将点代入，
；
（2）解：点横坐标为，
，
轴，
，
，
，
当时，有最大值；
（3）解：存在正实数使得等式成立，理由如下：
四边形为平行四边形，
，
令，则，
，
，
，
解得或，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
平移后的直线解析式为，
联立方程组，
整理得，，
，，
，
联立方程组，
解得，
，
，
，
，
解得或，
是正实数，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，一元二次方程根与系数的关系．
4．(1)k的值为16，b的值为；
(2)的面积为6
(3)点P的坐标为
【分析】（1）将点代入反比例函数，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点的公式，求得，再根据菱形的性质，得到，，进而得到，将代入，利用待定系数法即可求出b的值；
（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标和，再求出 ，，即可得到的面积；
（3）作关于x轴的的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，根据坐标两点的公式，求得，再根据轴对称的性质，得到，进而得到，即当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，利用待定系数法求出直线的解析式为，令，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
解得：；
点A的坐标为，点D的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
轴，
，
将代入，得：，
解得：，
的值为16，b的值为；
（2）解：由（1）知，直线解析式为，
令，则，令，则，解得：，
，，
，
点A的坐标为，
，
，
，，
；
的面积为6；
（3）解：如图，作关于x轴的的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，
，，
，
、关于轴对称，
，
，
当P、、C构成三角形时，，即，
当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
令，则，解得：，
，
取得最大值时，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代行系数法求函数解析式，坐标两点的公式，菱形的性质，三角形面积问题，轴对称的性质等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
5．(1)
(2)①；②
【分析】（1）设直线的解析式为，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①过点B作，根据等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，得到，设，易得，解，求出的长，进而求出，的长，解，求出的长，即可得解；②利用二次函数的性质，求出点坐标，即可得解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，代入，得：
，
∴，
∴．
（2）①过点B作，则：，，

∵轴，轴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴当时，取得最小值，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次函数等知识，其中（2），确定点C的坐标，是本题解题的关键．
6．(1)
(2)，点的坐标为
(3)①；②的取值范围是
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得抛物线的解析式为，令，解方程即可求得点的坐标；
（3）①当时，，变形得，将代入，即可得出答案；②由，可得，将代入，得，再分别把点、的坐标代入求出对应的的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
双曲线经过点，
；
（2）解：由（1）得双曲线的解析式为，
点在双曲线上，
，
，
抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，
抛物线的解析式为，即，
令，得，
解得：，（舍去），
；
（3）解：①当时，，
，
将代入，得，
整理得：，
与之间的函数关系式为；
②，
，
将代入，得，
把代入，得：，
解得：，
是小球出手后水平向前的速度，
，
，
把代入，得：，
解得：，
是小球出手后水平向前的速度，
，
，
的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
7．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出点坐标即可；
（2）分别求出直线的解析式，即可得证；
（3）过点作轴，交于点，证明，列出比例式，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形中，，
∴，，
当点F运动到边的中点时：，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象与边交于点E，
∴，
∴；
∴；
（2）如图：

∵，设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线：；
设：直线，
∵，
∴，解得：，
∴直线：，
∴；
（3）如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形，
∴，

∵翻折，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
8．(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为和
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）由，点满足在与直线距离为的直线上，设直线与轴交于点，作作与点，求出点坐标，，根据在直线上方和下方分情况求解，确定过原点且与平行，得到点在，再利用平移得到点在上，列方程组求出交点，即可求出点；
（3）由平移方式确定平移后的解析式，将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出长即可．
【详解】（1）解：一次函数的图像经过点，
把代入中，得，
，
一次函数的表达式为，
反比例函数的图像经过点，
把代入中，得，
，
把代入反比例函数中，得，
，
反比例函数的表达式为，
一次函数和反比例函数的表达式分别为和；
（2），，
，
，
，
点满足在与直线距离为的直线上，
如图，设直线与轴交于点，作作与点，

令，则，
，
①当该直线位于直线的下方时，即，过原点且与平行时，上任意一点到的距离都是，即：，
②当该直线位于直线的上方时即，与关于对称，则上任意一点到的距离都是，向下平移两个单位得到：，可知向上平移两个单位得到：，
点在或上，
由，解得：，，
是反比例函数图像在第一象限上的点，
点的坐标为，
由，解得：，，
是反比例函数图像在第一象限上的点，
点的坐标为，
点的坐标为或；
（3）一次函数和反比例函数的交点为，，
由，解得：， ，
，，
在第一象限的双曲线向左平移个单位，向下平移了个单位，在第三象限的双曲线向右平移个单位，向上平移了个单位，
平移后的曲线为和，
由，解得：，，
点的坐标为，点的坐标为，
．
【点睛】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法，勾股定理，两点间距离，解答本题的关键是确定平移后的解析式．
9．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据待定系数法由条件可知，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将所给坐标代入函数解析式中，求出m,n的值；
（2）点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得，所以有两种情况,，结合反比例函数的性质，再根据e的取值得出f的取值范围；
（3）画出图形， 由条件算出相应点的坐标，再利用勾股定理求出菱形的边长，根据菱形面积公式等于底×高， 再通过，即可计算出．
【详解】（1）解：∵函数（）的图像过，
∴，解得m＝12．
又∵也在反比例函数图像上，
∴，解得：；
（2）解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
当时，，
∵，
故每个分支y随x增大而减小，
故当时，或；
（3）解：把，代入得：，解得：，
即直线的解析式为，
令，则，
∴，
根据题意画图形如下：
，
由题意得：，
过A点作，
∵，，
∴，，
∴在中，，由勾股定理得：，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数综合问题，涉及到勾股定理、菱形的性质等，灵活运用所学知识是关键．
10．(1)16
(2)24;6
(3)
【分析】（1）利用三角形的面积公式与反比例函数关系式即可求得k值．
（2）利用反比例函数的关系式求出点D、点E的坐标，再表示出的底边与边的高的长度，即可表示出的面积表达式，最后利用二次函数的极值求法可得出答案．
（3）以为直径作圆，与直线相切时，圆心到的距离等于长度的一半，依此建立方程即可求解．
【详解】（1）连接，如下图．

∵E点在反比例函数的图像上，且横坐标为8，
∴E点纵坐标为，
即
∴
（2）连接，如下图．

∵D在反比例函数图像上，
∴D点的的横坐标为．
即
∴当时，△AED的面积最大，最大面积是6．
（3）如下图，连接AC，以DE为直径的圆与AC相切时，设圆心为O，切点为N，自点D作AC的垂线，垂足为M．

为计算方便，设反比例函数系数，则E点坐标为，D点坐标为．
∴，．
由勾股定理得：
∵，，
∴，
∴．
由O为圆心，N为与切点可知，．
又∵，
∴四边形为正方形．
∴，
由，
∴．
由，得，
．
∴．
∴．
∴当时，以为直径的圆与相切
【点睛】本题考查反比例函数、二次函数的极值、圆的切线性质、正方形的判定与性质等相关知识点，解题的关键是巧设点的坐标．
11．(1)，；
(2)；
(3)
【分析】（1）由题意得线段为图形，原点O为图形T，证明，进而即可求解；
（2）求出变换后圆心，连接交圆于点D，连接交圆于点C，进而即可求解；
（3）先求出为直线，再求出当直线与反比例的图象只有一个交点时，对应的直线解析式，过点C作，结合三角函数即可求解.
【详解】（1）解：由题意得：则图形S的滑动对称变换得到图形．
∵线段为图形，原点O为图形T，
∴与是指原点O到的最大和最小值，
右平移和对称的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：变换后圆心，
连接交圆于点D，连接交圆于点C，则

（3）解：直线向上平移2个单位得：，再关于直线轴对称可得：
，
设，
联立，
∴，
当直线与反比例的图象只有一个交点时，，
解得：（负值舍去），此时交点坐标为：，
设直线与x轴交于点C，与y轴交点点F，直线与x轴交于点D，
∴，，
∴，
过点C作，
∵，
∴，即，
∴，即，
故答案为：.

【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数的图象和性质，轴对称变换和平移变换的性质，圆的性质，理解题意，画出图形，掌握函数的图象和性质是关键.
12．(1)；
(2)①；②10
【分析】（1）由点坐标与解析式的关系，将已知点坐标代入解析式，求得，进而确定直线解析式，反比例函数解析式；
（2）①过作轴，垂足为H，联立解析式求得，由平移知,设平移的距离为，则，求得直线与x轴交于，与y轴交于，所以是等腰直角三角形，,于是，，，代入反比例函数，得，解得，故
②令等腰斜边上的高为h,则，求得，可证四边形是平行四边形，于是，由，得，于是，得扫过的面积是．
【详解】（1）在上，
∴
把代入中得：
则直线解析式为：，反比例函数解析式为：；
（2）①过作轴，垂足为H，
，解得
由平移知：,

设平移的距离为，则
∵轴，
∴
直线与x轴交于，与y轴交于
∴是等腰直角三角形，,
∵,
∴,
∴
∴
同理:，
代入反比例函数
得
解得
∴ ；
②令等腰斜边上的高为h,则
∴
由平移知,
∴四边形是平行四边形
∴
∵，
∴
∴
∴扫过的面积是．
【点睛】本题考查函数图象点坐标与解析式，图形的变化——平移，等腰直角三角形性质、三角形面积计算，平行四边形面积计算，理解平移后图形的构成，运用数形结合思想是解题的关键．
13．(1)；
(2)点的坐标为或
(3)
【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数，求点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数，求得的值，再列方程求得点B的坐标即可解答；
（2）求出和的长，再利用三角函数求得点到的距离，利用三角形面积公式即可列方程，解答；
（3）求出直线：与反比例函数，只有一个交点时的值和交点坐标，利用轴对称的性质，求得该交点坐标在翻折后的对应点坐标，则直线：经过该对应点坐标时，与反比例函数翻折后的解析式也只有一个交点，求出此时的值，即可得到k的取值范围．
【详解】（1）解：代入，可得，
解得，
，
将代入，可得，
解得，
反比例函数的解析式为，
列方程，
解得，，
经检验，，是方程的解，
当时，，
；
（2）解：如图，画出图形，过点作的垂线段交于点E，

当时，得，解得，
当时，得，
，
，
，
设，
故，
，
，
，
可得方程，
解得，，
点的坐标为或；
（3）解：列方程，
整理得，
当和，只有一个交点时，只有一个解，
此时，
即，
解得，
当时，方程为，
解得，
和的交点为，
如图，设和的交点为，设与反比例函数的图象沿直线：翻折后的函数的交点为F，连接交于点，过点作轴的平行线交于点，连接，

故，，，
当时，可得，解得，
，
，
，
，
，
，
，
点M的横坐标为，
当时，可得，
，
，
将代入，可得，解得，
满足条件的k的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，根据一元二次方程根的情况求系数，轴对称，解直角三角形，正确求出反比例函数，充分利用数形结合的思想是解题的关键．
14．(1)不一定
(2)①直线l的表达式为，的面积为；②
【分析】（1）观察表格，当时，，求得，代入解析式求得，进行验证即可求解．
（2）①首先利用待定系数法求出直线的解析式，当时，直线的解析式为设直线与轴交于，利用平行线之间的距离相等，可得的面积的面积，从而得出答案；
②设直线与轴交于，同理得的面积的面积，即可解决问题．
【详解】（1）观察表格，当时，，
∵，
∴，
∴，
∴不成立；
故答案为：不一定；
（2）①设直线的表达式为，则，解得﹐
∴直线的表达式为，
当时，直线l的表达式为，
设直线与y轴交于，则的面积的面积，
∴，
∴的面积为；

②．设直线与轴交于，
∵，
∴的面积的面积，

由题意知，，
∴
∴
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键．
15．(1)，
(2)或
(3)存在，点的坐标为或
【分析】将点代入，即可求出的值，从而得到，再将代入，即可求出的值；
根据一次函数解析式可求出，，结合为轴上的一动点，可求出最后根据，结合三角形面积公式，即可列出关于的等式，解出的值即可．
过作轴于，作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可．
【详解】（1）由题意可知点在一次函数的图象上，
，
，
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，
；
（2）对于，令，则，
解得：，
，
令，则，
，
为轴上的一动点，
，
，
，
，，
，
解得：．
（3）过作轴于，
轴，
，
由（1）得，
，
把，代入，
，
作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
把，代入解析式可得：，
解得：，
直线的解析式为：，
把代入，
解得：，
，
综上所述，的坐标为或．

【点睛】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
16．(1)
(2)点的横坐标为或
(3)点的坐标为
【分析】将点代入，可得点的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案；
首先求出点的坐标，分情况讨论：在点下方的轴上取的中点，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，或在点上方的轴上取，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，根据平行关系可得直线的解析式，求出直线与双曲线交点可得结论；
由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，A与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平移的距离，从而求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得，
，
反比例函数的图象经过点A，
，
反比例函数解析式；
（2）解：列方程组，
解得或，
，
如图，设直线与轴交于，

，
点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，
点C到直线的距离是点到直线距离的一半，
如图，在点下方的轴上取的中点，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，此时点C到直线的距离是点到直线距离的一半，
直线的解析式为，
，
解得，舍，
点的横坐标为，
在点上方的轴上取，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，
同理可得点的横坐标为，
综上：点的横坐标为或；
（3）解：由题意可知， ，
四边形是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，与，A与关于原点对称，
，
，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点的坐标为．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
17．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用等边三角形的性质求得点的坐标，代入是常数，，即可求得的值；
（2）过点作轴于，设，则，即，，代入，求得，即可求得，同理求得；
（3）通过(2)中的求解过程，观察、的值即可猜想．
【详解】（1）解：△是等边三角形，且点的坐标为，
，
点在函数是常数，，上，
；
（2）解：过点作轴于，如图所示：
设，
△是等边三角形，
，
，，
点在函数是常数，，上，
，即，解得或（舍去），
，
过点作轴于，设，同理求得，
；
（3）解：由（2）中的计算过程，分析，，，结构特征，以此类推即可猜想：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数的性质，过点分别向轴作垂线，构造直角三角形是本题的关键．
18．(1) ，；
(2)或；
(3)；
【分析】（1）将点代入求出坐标，结合代入直线即可得到答案；
（2）设出点D的坐标，根据旋转得到点的坐标，代入反比例函数求解即可得到答案；
（3）在上截取，证明，设F点坐标为，根据线段关系列式求解，再利用待定系数法求解析式即可得到答案；
【详解】（1）解：将点代入可得，
，
设的解析式为：，将点、代入可得，
，解得：，
∴；
（2）解：过点D作轴，垂足为点N，过点作轴，垂足为点M，
∵线段绕点O逆时针旋转得到，
∴，，

∵轴， 轴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
设点D坐标为，
∴，
∵点恰好落在函数的图像上，
∴，解得：，，
∴点D的坐标为：或；
（3）解：在上截取，

在中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，，
∴，，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
设的解析式为：，将点、代入得，
，解得：，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数的综合性质，熟练反比例函数性质，数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．