2024年中考数学高频考点突破——二次函数与特殊四边形（含答案）

2024年中考数学高频考点突破——
二次函数与特殊四边形
1．如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________；
(3)当是菱形时，求的值．
(4)当为何值时，的面积有最大值？
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，.
(1)请写出抛物线的解析式.
(2)若点为第一象限内抛物线上的一动点，点的横坐标为，请求出使点到直线距离最大的的值.
(3)点在抛物线对称轴上，点在轴上，请写出使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标.
4．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．抛物线：与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标．
(2)如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线在矩形胶片内部(含边界)的一段，记为，把该胶片绕点顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图像．
①求旋转过程中扫过的面积；
②求图像所在的抛物线的解析式．
6．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
7．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
8．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接．
①如图1，若点在第三象限，且，求点的坐标；
②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求四边形的周长．
9．如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标．
(3)如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值；
(3)点是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作的平行线，交直线于点D，交x轴于点E．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的解析式；
(2)当时，求点D的坐标；
(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由．
12．如图，抛物线y= x2+6x 5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y=x 5，
(1)写出相应点的坐标：A______，B______，C______；
(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
13．在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2＋2mx－m2＋4（m是常数），当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧）．
(1)请直接写出点A、B、C的坐标；
(2)当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝ ；
(3)如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
14．综合与探究
如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A( 2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标．
(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（）已知抛物线 交轴于点 和 ，交 轴于点 ，顶点为 .
请直接写出抛物线的解析式式及点 的坐标；
如图，点 和点 关于抛物线对称轴对称，若点 是对称轴上一点，点 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上存在点 ，使以点 为顶点的四边形是菱形，且，请先直接写出点 的坐标，再选择一种情况说明理由.
（）直线 与抛物线 交于 两点，若在 轴上存在唯一的一点 ，使，求 的值.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)当时，最长为，此时
(3)存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，坐标为或
2．(1)
(2)
(3)
(4)当时，平行四边形的面积有最大值
3．(1)该抛物线的解析式为
(2)
(3)点的坐标为或或
4．(1)
(2)的最大值为，
(3)存在；，
5．(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为
(2)①；②图像所在抛物线的解析式为
6．(1)
(2)（1，0）或（2，0）
7．(1)
(2)，
(3)或或或
8．(1)
(2)①；②或
9．(1)
(2)当t＝2时，S四边形FAOB有最大值12，此时点F的坐标为（2，﹣4）
(3)存在，点Q的坐标Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（1，﹣1），Q4（5，﹣3）
10．(1)
(2)
(3)存在，或或或或
11．(1)，，，
(2)点
(3)存在，点M的坐标为（3,4）或
12．(1)（1，0），（5，0），（0，-5）
(2)当t=2时，S△BEP最大为2；
(3)点N的横坐标为：4或或．
13．(1)A（－1，0），B（3，0），C（0，3）
(2)－6，0，6
(3)3
14．(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．
15．（1）①抛物线解析式： ，顶点坐标：
②或，
（2）或或
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