2024年中考数学高频考点突破——二次函数与平行四边形（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与平行四边形
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物上一动点，连接，求面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，连接、．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P是线段上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值，及此时点P的坐标；
(3)把抛物线先向右平移2个单位长度再向下平移2个单位长度得到新抛物线，点M是新抛物线上一点，点N是新抛物线对称轴上一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．
3．如图，抛物线（）与轴交于、两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线表达式；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大时点的坐标；
(3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
4．如已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点
(1)求二次函数的表达式及点坐标；
(2)点是二次函数图象上位于第三象限内的动点；求面积最大时点的坐标；
(3)点是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点的坐标．（不写求解过程）
5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为、，点在抛物线上．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点为直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值及点的坐标；
(3)将原抛物线向右平移2个单位长度，得到新抛物线，为平移后抛物线上的动点，为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为直线下方抛物线上一点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为，经过A点的直线交抛物线于点．　　　

(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)点M为直线上方抛物线上一点，求当四边形的面积最大时M点的坐标，及最大的面积．
(3)点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，是否存在点P，使得以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来；如果不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形的面积最大时．
①求证：四边形是平行四边形：
②连接，在抛物线上是否存在，使，若存在求点的坐标；若不存在说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D．
①在P点的运动过程中是否存在四边形为平行四边形，若不存在，请说明理由；若存在，请求点P的坐标；
②求的最大值．
10．已知，如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是第三象限抛物线上的动点，当四边形面积最大时，求出此时面积的最大值和点的坐标．
(3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点B在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，连接．

(1)求抛物线的表达式及线段的长；
(2)若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成两部分，请求出点P的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．

(1)求的值．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
(4)在（3）的条件下，平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与x轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，点P是直线下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，面积最大，最大值为多少，并求出此时P点的坐标；
(3)设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是上方抛物线上的一动点，作轴于点，点的横坐标为，交于点．
(1)求，的坐标和直线的解析式；
(2)连接，求面积的最大值；
(3)已知点也在抛物线上，点的横坐标为，作轴于点，交于点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
15．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点C在直线上，抛物线上是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点D的坐标．
16．如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．

(1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标；
(2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由；
(3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
17．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴直线与抛物线交于点D，与直线交于点E．

(1)求直线的解析式；
(2)若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
(3)平行于的一条动直线l与直线相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．
18．如图1，抛物线：与x轴的正半轴交点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)如图2，作抛物线关于原点O中心对称的抛物线，若抛物线与直线交于E，F两点，与直线交于M，N两点，且，点P，Q分别是、的中点，求证：直线必定经过一个定点，并求出该定点坐标．
参考答案：
1．(1)
(2)三角形的面积有最大值为，此时
(3)或或
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；掌握待定系数法是解题的关键；
（2）如图：设，过作于，交于，结合可得，再运用待定系数法可得解析式为，则，然后用m表示出的面积，最后根据二次函数的性质即可解答；用m表示出的面积是解题的关键；
（3）先求出抛物线沿水平方向向左移动2个单位后的解析式为，进而确定顶点坐标，进而得到，再分是平行四边形的一条边和对角线两种情况，分别运用平行四边形的性质解答即可；掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，
设
，解得
．
（2）解：设，过作于，交于，
由（1）可知，，
令，即，
设解析式为：，代入，，解得，
解析式为：，
，
，
，
当时，三角形的面积有最大值为，此时．

（3）解：抛物线沿水平方向向左移动2个单位，
可得
顶点
①当是平行四边形的一条边时，
根据平移规律可得或
当当
或
②当是平行四边形的对角线时，
可知中点，
中点也为，
，
，
，
综上所述：或或．
2．(1)
(2)面积取最大值4，此时
(3)或或
【分析】（1）把已知点的坐标分别代入解析式，解方程组计算即可．
（2）计算解析式为，过点P作轴于点N，交直线于点Q，设点，则，确定，根据构造二次函数计算即可．
（3）根据，结合左加右减，上加下减的平移原则，得到平移后的解析式为，
设，，分是平行四边形的边和对角线两种情况求解即可．
【详解】（1）根据题意，得
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴
∵，
设的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴的解析式为，
过点P作轴于点N，交直线于点Q，
设点，则，
则，
∴
故面积有最大值，且当时，．
当时，，
故点，
（3）∵，
根据左加右减，上加下减的平移原则，
∴得到平移后的解析式为，
设，，
∵，，
∴两点的中点坐标为，
当是平行四边形的对角线时，
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到，的中点也必须是，
∴，
解得，
故；
当是平行四边形的边时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据平移，得
∵，，且为平行四边形的一边，
当由点平移到得到时，其平移规律是向右平移8个单位长度，再向上平移8个单位长度，
∵，
∴点向右平移8个单位长度，再向上平移8个单位长度得到点，
∴，
解得，
故点；
当有点平移到得到时，其平移规律是向左平移8个单位长度，再向下平移8个单位长度，
∵，
∴点向左平移8个单位长度，再向下平移8个单位长度得到点，
∴，
解得，
故点；
综上所述，符合题意的点为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法计算解析式，构造二次函数法求最值，平移，平行四边形的判定，熟练掌握待定系数法，平移规律，平行四边形的判定是解题的关键．
3．(1)；
(2)；
(3)存在，，，，．
【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行
四边形的判定与性质等，分类求解是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由面积即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：将、、代入，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为：．
（2）解：过点作轴交于点，如图，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积
，
∵，
∴面积有最大值，
∴此时点的坐标为：．
（3）解：设点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得：，(不合题意的值已舍去)，
则点；
当或为对角线时，同理可得：
或
解得： 或，
则点的坐标为：或或，
综上，点的坐标为：或或或．
4．(1)二次函数的表达式为，点坐标为．
(2)
(3)在二次函数图象上是存在点．使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：，，．
【分析】（1）依题意，，在二次函数图像上，故将两点坐标代入，得到，由此得到二次函数的表达式为，令，解一元二次方程，得到点坐标为．
（2）连接，，由题意点到直线的距离取得最大，推出此时的面积最大，过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则，推出，利用二次函数的性质求出结果；
（3）根据题意，分两种情况，是平行四边形的边或对角线进行求解．
【详解】（1）解：由题意，
将，代入中，
得，
解得，
二次函数的表达式为，
令，解一元二次方程，
得，，
故点坐标为．
（2）如图，连接，，
点到直线的距离最大时，的面积最大，
由，，知，
直线的解析式为，
过点作轴垂线，交于点，
设，则，
点在第三象限，
，，
，
当时，的面积最大，
此时，点坐标为
面积最大时点的坐标为．
（3）解：已知二次函数的表达式为，
∴对称轴为，
∵点在对称轴上，
∴点的横坐标为，
已知，，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
情况一：如图，当为平行四边形的对角线时，
点是二次函数图象对称轴上的点，点是二次函数图像上的点，
根据平行四边形的性质，点、点关于轴对称，点、点关于轴对称，
点在二次函数图像上顶点的位置，
故点的坐标为；
情况二：如图，当为平行四边形的边时，
点是二次函数图象对称轴上的点，点是二次函数图像上的点，
根据平行四边形的性质，点、点只能在轴上方，
且，，
对称轴，
点的横坐标为或，
将横坐标代入中，
点的纵坐标都为，
或；
综上，满足条件的点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了二次函数与图形的综合问题，掌握抛物线与轴交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，熟练运用二次函数图象的性质，几何图形的判定和性质，数形结合思想是解答本题的关键．
5．(1)
(2)27，
(3)或或
【分析】（1）由待定系数法求二次函数的解析式即可得到答案；
（2）先求出点的坐标，从而得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，得到，作交于，轴，交于，交轴于点，根据等腰直角三角形的性质可得，设，则，求出的最大值即可得到答案；
（3）先求出新抛物线的解析式为：，设点的横坐标为，点的横坐标为，分三种情况：当为对角线时；当为边时，则，当点平移到，点平移到时；当点平移到，点平移到时；分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）解：由（1）得，
当时，，
解得：，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
，
如图，作交于，轴，交于，交轴于点，
，
则，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
当时，，此时最大，，此时也最大，为，
，
此时的面积也最大，为，
有最大值，最大值为27，此时；
（3）解：由（2）得，，
，
将原抛物线向右平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为：，
新抛物线的对称轴为直线，
为平移后抛物线上的动点，为平移后抛物线对称轴上的动点，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
当为对角线时，则，
解得：，
当时，，
；
当为边时，则，
当点平移到，点平移到时，则，
解得：，
当时，，
；
当点平移到，点平移到时，则，
解得：，
当时，，
；
综上所述：存在符合题意的点，点的坐标分别为、、．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与三角形面积总和、二次函数与平行四边形综合，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键．
6．(1)
(2)四边形面积的最大值为：，此时点P的坐标为：
(3)点M的坐标为：或或，见解析
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设四边形面积为S，则，即可求解；
（3）当是对角线时，由中点坐标公式，列出等式即可求解；当、为对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解 ：过点P作轴交于点H，
令，则，
∴，
令，则，
解得：，，
∴
设直线的表达式为，
，解得：，
直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
设四边形面积为S，

则
，
故四边形ACBP面积的最大值为：，此时点P的坐标为：；
（3）解 ：原抛物线的对称轴为直线，则设点，
平移后的抛物线表达式为：，
由题意得，点，设，
当是对角线时，由中点坐标公式得：
，则，
即点；
当、为对角线时，同理可得：
或，
解得：或，
故点M的坐标为：或；
综上，点M的坐标为：或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数的最值，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象性质，灵活应用平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
7．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式
(2)当四边形的面积最大时M点的坐标为，最大的面积为
(3)存在，满足条件的点P的坐标为，，，，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来见解析
【分析】（1）根据点B和D的坐标求出二次函数解析式，然后求出点A的坐标，然后运用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）设，过点M作轴，交于点N，则，然后根据列出二次函数，求最值即可；
③分以，为对角线；以，为对角线；以，为对角线三种情况讨论即可．
【详解】（1）解∶∵抛物线经过，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当，则，
解得，，
∴，
设直线的解析式，
则，
解得，
∴直线的解析式；
（2）解：设，过点M作轴，交于点N，则，

∴，
∴
，
∴当时，S有最大值为，
此时M点的坐标为，
∴当M点的坐标为，四边形的面积最大，最大面积为；
（3）解：设，，
①以，为对角线时，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②以，为对角线时，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得或，
∴或；
③以，为对角线时，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得或（舍去），
∴
综上，点P的坐标为，，，时，以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形等，根据题意列出关于四边形的面积的表达式，运用分类讨论思想解答是解（2）、（3）问的关键．
8．(1)
(2)①见解析；②存在，或
【分析】（1）运用待定系数法进行作答即可；
（2）①当时，，得，通过、，解得直线的解析式为：，那么设，则，所以，当时，得，，即，，故四边形是平行四边形；
②通过待定系数法求的解析式为：，然后进行分类讨论，i）当时，；ii）点与点关于直线的对称，此时点与点重合，则，进行作答即可．
【详解】（1）解：依题意，将、代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①在抛物线上，当时，
解得：，
∴，
设直线的解析式为
把、代入
得
解得
∴直线的解析式为：
∵点在线段上，
设，则
∴
故
当时，则，
那么四边形的面积最大，此时，
∵轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②由①得：，，，
设直线的解析式为
把、代入
得
解得
∴直线的解析式为：；
i）当时，
所以直线的解析式的值与直线的解析式的值是相等的，
故设直线的解析式为
把代入，
得，
所以直线的解析式为，
依题意得：
则
解得：，（舍去）
所以
ii）∵点与点关于直线的对称，
∴
此时点与点重合，
∴
综上所述，或
【点睛】本题考查了二次函数与几何问题，面积最值，二次函数的图象性质以及待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；涉及平行四边形的判定性质，难度较大，综合性较强，灵活运用分类讨论是解题的关键．
9．(1)
(2)①存在，；②的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）①设P点的横坐标为，表示出，即，再表示出，即，根据四边形为平行四边形，可得，即有，解方程即可求解；②结合①，表示，利用二次函数的最值求解．
【详解】（1）解：∵，在抛物线的图象上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①存在点P，使四边形为平行四边形 理由如下：
设直线的解析式为：，
∵，在直线 的图象上，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：；
设P点的横坐标为，
∵轴，
∴C点的纵坐标为：，
∴C点的横坐标为：，
∴，即，
∵轴，P点的横坐标为，
∴，即，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得（舍去），，
∴当P点坐标为：时，四边形为平行四边形；
②∵，
∴，
∴，
即，
∴当 时，有最大值．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数的性质，一次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
10．(1)
(2)最大值，点
(3)或或
【分析】（1）根据点的坐标及可得出点的坐标，再根据点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，进而得出：，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为，设，，分三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵点的坐标为，，
点的坐标为，
将点、代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）由，
解得：，，
，
，
，
设直线的解析式为，把、代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，点，
．
（3），对称轴为直线，
将抛物线向右平移个单位后的抛物线解析式为，
联立，
解得：，
，
设，，又，，
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数、二次函数图象上上点坐标的特征，三角形面积，二次函数的图象和性质，平行四边形性质等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
11．(1)抛物线的表达式为，，
(2)点坐标为或
(3)或或
【分析】（1）用待定系数法抛物线的表达式，过点作轴于点D，根据勾股定理可得线段的长；
（2）先用待定系数法求出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，分两种情况：①当时，，可求，从而求得坐标，②当时，，同理可求坐标；
（3）设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
过点作轴于点D，

，
∴，，．
，
，．
在中，．
在中，．
∴．
（2）解：，
，
，
，，
设直线的函数解析式解析式为，将、代入得：
，解得，
直线的函数解析式解析式为，
过点的直线交线段于点，将三角形的面积分成的两部分，
过作轴于，过作轴于，分两种情况：
①当时，如图：

，
，
而，即，
，即，
在中，令得，
，
；
②当时，如图：

，
，
，
，即，
在中，令得，
，
；
综上所述，点坐标为或；
（3）解：点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：
①以、为对角线，此时中点与中点重合，
、，，
的中点为，，中点为，，
，解得，
，
②以、为对角线，此时中点与中点重合，
同理可得：，
解得，
，
③以、为对角线，此时中点与中点重合，
同理可得：，
解得，
，
综上所述，的坐标为：或或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合知识，涉及解析式、与坐标轴交点、三角形面积、平行四边形等，解题的关键是根据已知列方程组求解．
12．(1)
(2)是直角三角形
(3)存在，
(4)点的坐标为，，
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）先根据条件求出，，，进而求出，利用勾股定理逆定理即可验证；
（3）设，求出，利用勾股定理逆定理即可求解；
（4）分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）得：抛物线解析式为：，
∴，，
∴，
令，即，解得：，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形；
（3）解：存在；
由（2）得：，，，
设，
∴，，
∵，
若，则，即，解得：，
∴，
∴在抛物线对称轴上存在点，使；
（4）解：存在；
由题意得：，，，
设，
当为对角线时，则，，即， ，解得：，，
∴；
当为对角线时，则，，即，，解得：，
∴；
当为对角线时，则，，即，，解得：，
∴；
综上：点的坐标为，，；
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理以及其逆定理，灵活运用所学知识是关键．
13．(1)抛物线的解析式为
(2)当t＝时，的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为
(3)存在，满足条件的点或，．
【分析】（1）把，代入，再建立方程组求解即可；
（2）过点P作y轴的平行线交于点H，先求解，直线的表达式为，设点P的坐标为，则点，结合的面积，再建立二次函数的解析式，利用二次函数的性质解题即可；
（3）分三种情况讨论：①当四边形是平行四边形时，②当四边形是平行四边形时，③当四边形为平行四边形时，如图，再利用平行四边形的性质结合中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：将，代入，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点P作y轴的平行线交于点H，

∵抛物线的解析式为，
∴，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为，
设点P的坐标为，则点，
则的面积
，
∴当时，的面积最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）存在．
理由：如图，

由（1）知，抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴设点，，
①当四边形是平行四边形时，
∵点，，
∴，
∴，
∴，
②当四边形是平行四边形时，
∵点，，
∴，
∴，
∴，
③当四边形为平行四边形时，如图，

∴，则，
∴，
综上，满足条件的点Q或，．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与平行四边形，熟练的画出图形，利用数形结合的方法与方程思想解题是关键．
14．(1)，，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）在中，分别令，，可求得，的坐标，设直线的解析式的解析式为，把点，，代入可求直线的解析式；
（2）设，，再利用二次函数的最值即可求解；
（3）构建平行四边形，可得，分别在第一和第四象限进行讨论求解．
【详解】（1）解：在中，当时，，
解得：，，
∴，，
当时，得，
∴，
设直线的解析式的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式的解析式为．
（2）解：如图
设，，
∴
，
∴面积的最大值为．
（3）解：根据题意， 的横坐标为时，有可能在第一象限，也可能在第四象限，
当在第一象限时，如图：
由于，抛物线上，，在上，
设，，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
解得：，
当在第四象限，如图：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），
∴的值为．
【点睛】此题考查了求一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，解题的关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
15．(1)该抛物线的解析式为
(2)S有最大值，当时，S的最大值是
(3)，，，
【分析】（1）把代入，求出B的值，再将点B的坐标代入，求出a的值，即可得出抛物线解析式；
（2）连接，设点，根据得出S关于x的表达式，将其化为顶点式，即可求解；
（3）设点C的坐标为，而点B和点O的坐标分别为和，进行分类讨论：①当是平行四边形的一条边时，则有，，得出或，得出方程或，求解即可；②当是平行四边形的对角线时，必过的中点，且与互相平分，即E也是的中点，得出，得出方程，求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：连接，如图所示：

设点，
∵，，
∴，
则
，
∵，
∴S有最大值，当时，S的最大值是．
（3）解：设点C的坐标为，而点B和点O的坐标分别为和，
①当是平行四边形的一条边时，则有，，
∴或，
∴或，
∴或，
∴，，，，
②当是平行四边形的对角线时，必过的中点，
且与互相平分，即E也是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
综上所述，点D坐标为，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，求二次函数最值的方法，以及平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，平行四边形对角线互相平分．
16．(1)，点，；
(2)最大为，此时点；
(3)或或．
【分析】（）由题意得，，求出代入即可求解；
（）过点作于点，交于点， 则，则，从而即可求解；
（）分情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，然后由中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为，
令，解得：，，
∴点，；
（2）有，理由：
设的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作于点，交于点， 则，

则，则点，，
∴，
，
，
，
由，，则，
由，
∴当时，最大，为，此时点；
（3）由（）可知：，
∴设，由题意可知，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
综上：或或．
【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
17．(1)
(2)当点F的坐标为，三角形的面积最大，最大值为4
(3)或或
【分析】（1）先根据对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）设， ，由知，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，只有，然后分两种情况：①；②或讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点和点B，
∴
设直线的解析式为，
将代入中得：
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
把带入中得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
过F点作轴交于Q，如图，

设点Q的坐标是，则点F的坐标是．
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值是4，
当时，，即此时F点坐标是；
（3）解：∵抛物线解析式为由，
∴顶点，
又∵点E在直线上，
∴，
∴．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，由于，则，
设点P的坐标是，则点Q的坐标是．
①当时，，
∴，
解得：或3．
当时，线段与重合，舍去，
∴，即．
②当或时，，
∴，
解得，经检验适合题意，
此时，．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是，，．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的对称性，待定系数法，解方程组，三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键，抛物线上关于对称轴对称的两点函数值相同；求函数解析式，利用待定系数法求解；涉及平行四边形，可知平行四边形对边平行且相等，涉及二次函数与图形面积的关系，利用未知数表示出面积，得到对应的二次函数求解．
18．(1)
(2)存在，G点坐标存在，为或或
(3)直线过定点，证明见解析
【分析】（1）由得出，根据对称轴为直线和代入即可解得；
（2）设D点坐标为，G点坐标为，分三种情况①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，进行讨论即可；
（3）联立与，解得，根据韦达定理得出，，得出P和Q点的坐标，表示出直线的解析式即可判断；
【详解】（1）对称轴为直线，
即，
又∵，
，
将和代入解得：，
即函数解析式为：；
（2）设D点坐标为，G点坐标为，且，，
分情况讨论：
①当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：
线段的中点坐标为，即，
线段的中点坐标为，即，
此时的中点与的中点为同一个点，
，
解得，
经检验，此时四边形为平行四边形，此时G坐标为；
②当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：
线段的中点坐标为，即，
线段的中点坐标为，即，
此时的中点与的中点为同一个点，
，
解得，
经检验，此时四边形为平行四边形，此时G坐标为；
③当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：
线段的中点坐标为，即，
线段的中点坐标为，即，
此时的中点与的中点为同一个点，
，
解得，
经检验，此时四边形为平行四边形，此时G坐标为；
综上所述，G点坐标存在，为或或；
（3）抛物线关于原点O中心对称的抛物线为，
故抛物线的解析式为：，
联立与得，
所以，，故，
联立与得，
可得，
，
设直线的解析式为，
将P、Q两点代入得的解析式为，
所以直线过定点；
【点睛】该题主要考查了二次函数和一次函数的图像和性质，平行四边形的性质以及韦达定理等知识点，解答该题的关键是掌握二次函数和一次函数的图像和性质．