2024年中考数学高频考点突破——二次函数与面积（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与面积
1．如图，抛物线的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上位于第三象限内的一点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)连接、、，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标．
(3)点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D的坐标，并把求其中一个点D的过程写出来．
2．如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点．

(1)直接写出点的坐标______；的形状为______；
(2)求抛物线的解析式，并求出点的坐标；
(3)如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．
①当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围；
②当矩形与有重叠且重叠部分为轴对称图形时，直接写出的取值范围．
3．抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点．


(1)直接写出点，的坐标；
(2)如图1，直线经过点，交抛物线于另一点，点在抛物线上，满足的面积与的面积相等，求点的横坐标；
(3)如图2，将抛物线向上平移，使其顶点在轴上，得到抛物线．，是抛物线上两点（点在点左侧），直线交抛物线对称轴于点，过点作轴的平行线分别交轴，直线于，两点，交轴于点，求证：．
4．如图所示，在等腰△ABC中，，以底边的垂直平分线和所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A，B两点．

(1)写出点A，B的坐标．
(2)若一条与y轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段，和抛物线于点E，点M和点P，连接，．设直线移动的时间为t（）秒，求四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形的最大面积．
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点，点E是直线的图像与二次函数图像在第一象限内的交点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)如图①，若点M是二次函数图像上的点，且在直线的上方，连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标．
6．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，B两点，与轴交于点，连接、，点是抛物线上异于点的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当面积与面积相等时，求点的坐标；
(3)当时，求点的坐标．
7．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴相交于点C．

(1)求此抛物线的解析式
(2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平线交直线于点D．设点P的横坐标为m
①用含有m的代数式表示线段的长；
②连接，求的面积最大时点P的坐标．
8．已知，抛物线经过、两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于第一象限时，连接，，得到，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式；
9．已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．

(1)求b，c的值；
(2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．二次函数的图象与轴交于、两点，且点坐标，与轴交于点，点在点右侧，（如图所示）．

(1)这个二次函数的解析式是________，点的坐标为________．
(2)在轴上是否存在一点，使三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在第一象限中的抛物线上存在一点，使得四边形的面积最大．请求出点的坐标及面积的最大值．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作交抛物线于，点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标；
(3)过点作交抛物线于，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
12．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即．

(1)在上面规定下，抛物线的顶点为__________．伴随直线为__________；抛物线与其伴随直线的交点坐标为__________和__________．
(2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点（点A在点的右侧）与轴交于点．
①若，求的值；
②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值3时，求的值．
13．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，求的面积的最大值；
(3)当时，抛物线有最小值5，求的值．
14．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接与相交于点Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得的面积最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
(3)设的面积为，的面积为，时，求点P的坐标．
15．如图，已知抛物线与轴交点为、，在的左侧，与轴交点为点，且抛物线与直线交于、．
(1)求直线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1抛物线与轴交于，两点，，其顶点与轴的距离是6．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，过点的直线与抛物线的对称轴交于点．
①当与的面积之比为时，求的值；
②如图2，当点在轴下方的抛物线上时，过点的直线与直线交于点，求的最大值．
17．如图1，抛物线 与轴交于，两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点在第四象限内，连接，，，已知，．

(1)点的坐标为点 ，的为 ；
(2)求抛物线的解析式
(3)如图2，为抛物线上点与点之间一动点，且不与点，重合，点的横坐标为，连接，，当取何值时四边形的面积最大？最大面积为多少？
18．如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标．
参考答案：
1．(1)
(2)点P坐标为，
(3)，，，，；见解析
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）连接，过点P作轴交于点Q，设，根据条件求出直线解析式，则，根据即可求解；
（3）设，分别求出设的长，再分类讨论即可．
【详解】（1）解：把、代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，过点P作轴交于点Q，如图，
∵点P是抛物线上位于第三象限内的一点，抛物线的解析式为，
设，
∵抛物线与y轴交于点C，
令，∴，
∴，
∵、，
∴，
设直线解析式为：，
把，代入得：，解得：，
∴直线解析式为：，
令，∴，
∴，
∴
，
∴当时，时，，此时点P坐标为；
（3）解：由（1）得：抛物线的解析式为，
∴对称轴，
∵点D为抛物线对称轴上的一点，
∴设，
∵，，
∴，，，
当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时，
当时，即，解得：，
∴，；
当时，即，解得：，
∴，；
当时，即，解得：，
∴；
综上所述：点D的坐标为，，，，；
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质，是解题的关键．
2．(1)，等腰直角三角形
(2)，
(3)①当或时，矩形的面积随着的增大而增大；②或4或时，矩形与有重叠且重叠部分为轴对称图形
【分析】（1）作交于点，则，得到，由二次函数的性质可得，即可得出点的坐标，由勾股定理计算出，再由勾股定理逆定理得出，从而推出的形状；
（2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出的值，即可得出抛物线解析式，联立，即可求出点的坐标；
（3）①根据题意得，，分两种情况：当点在点的左侧时；当点在点的右侧时，分别计算即可得到答案；②分三种情况：当矩形为正方形时，当矩形关于抛物线对称轴对称时，当点在上时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作交于点，

，
，
，
为二次函数与轴的交点，
关于直线对称，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：，等腰直角三角形；
（2）解：设抛物线的解析式为，
将代入抛物线得：，
解得：，
抛物线的解析式为：，
联立，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，，
；
（3）解：点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，
，，
如图，当点在点的左侧时，

，
，
，
当时，矩形的面积随着的增大而增大；
如图，当点在点的右侧时，

，
，
，点在点的右侧，
当时，矩形的面积随着的增大而增大；
综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大；
②如图，当矩形为正方形时，

则，
，
解得：或（不符合题意，舍去）；
如图，当矩形关于抛物线对称轴对称时，

此时；
如图，当点在上时，重叠部分为等腰直角三角形，

设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
令直线与直线交于点，
联立，
解得：，
，
轴，四边形为矩形，
轴，
，
，
，
，
综上所述，或4或时，矩形与有重叠且重叠部分为轴对称图形．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
3．(1)，，
(2)3或或
(3)见解析
【分析】（1）当时，解，从而得出A，B两点坐标，令，求得x的值，从而求得点C坐标；
（2）作，在得出的关系式基础上，将其与二次函数的解析式联立，进而求得点D坐标，在y轴截取，过点T作的平行线，求得的解析式，同样的方法得出点的坐标；
（3）设点，，求得的解析式，进而求得点E坐标，从而得出的长，同样求得的解析式，从而得出点H的坐标，进而得出，证明，从而得出结论．
【详解】（1）解：由得，
，，
，，
当时，，
；
（2）解：如图1，

过点作，交抛物线于，
∵的解析式为：，
的解析式为：，
由得，
，，
点的横坐标为：3，
设与轴的交点为，即有，
∴，
在的延长线截取，
点，
过点作，
的解析式为：，
由得，
，
点的横坐标为：3或或；
（3）证明：如图2，

抛物线，顶点坐标为：，
由题意得，平移后的解析式为：，
设点，，
设直线的解析式为：，
，
，
，
当，时，，
，
设的解析式为：，
，
，
，
当时，，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了根据二次函数的解析式求点的坐标，求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
4．(1)，
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标即可；
（2）分别求出和的面积，得出四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，再转化为顶点式即可求出最大值；
（3）由可得，点在线段上，要使是直角三角形，则，利用得到对应边成比例求解即可．
【详解】（1）解：，
令，则，∴；
令，则，
解答：，
∴；
点A，B的坐标是：，；
（2）解：∵，垂直平分，
∴，，
设的解析式为，
把代入，得，，
∴的解析式为，
由题意，得，
即
∴，
四边形PBCA的面积，
四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式是，
∵，
∴时，的最大值是；
即四边形的最大面积是
（3）解：存在，
是直角三角形，则，
则，
∴，
即，
∵，，，
∴
解得：（舍去），，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的面积问题，二次函数与特殊三角形的问题，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，确定动线上关键点的坐标是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将二次函数与一次函数解析式联立，求出点E的坐标，过点M作轴，交直线于点H，用代数式表示出的长度，进而根据三角形面积公式及相关点的坐标表示出四边形的面积，即可求解；
（3）先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出和，再根据圆周角定理得出，进而证明，再根据相似三角形对应边成比例求出，即可得到点F的坐标．
【详解】（1）解：将和代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：将二次函数与一次函数解析式联立，得：
，
消去y，得，
解得，，
当时，，
．
如图，过点M作轴，交直线于点H，

设，则，
，
，
当时，四边形面积取最大值，最大值为；
（3）解：如图所示，连接，

当时，
解得，
，
，，
，
，
即，
解得，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是掌握上述知识点，熟练运用数形结合思想．
6．(1)
(2)的坐标为，或
(3)点的坐标
【分析】（1）根据对称轴公式，、两点坐标，列方程组，求抛物线解析式；
（2）只需要即可满足题意，先求直线解析式，根据平行线的解析式一次项系数相等，设直线的解析式，将点坐标代入可求直线的解析式，将抛物线与直线解析式联立，即可求点坐标，再根据平移法求满足条件的另外两个点坐标；
（3）延长交轴于点，根据抛物线解析式可知为等腰直角三角形，利用角的关系证明，可证，利用相似比求解，即可得出点坐标，即可求出直线的解析式，与抛物线联立即可求出的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）令，
解得：，，
，
当点在轴的上方时，如图，过点作直线的平行线交抛物线于点，

设的解析式为，
，，
，解得：，
直线的解析式为，
设的解析式为，
直线经过点，代入求得：，
直线的解析式为，
解方程组，
解得：，，
点；
当点在轴的下方时，如图，
设直线交轴于点，
把直线向下平移个单位，交抛物线于点，，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
解方程组，
解得：，，
，，
综上所述，点的坐标为，或；
（3），，
，
，
设的解析式为，
如图，延长交轴于点，

设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线过点，
，
，
直线的解析式为，
解方程组，
解得：，，
点的坐标．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与二次函数的交点问题，根据抛物线与轴，轴的交点，判断三角形的特殊性，利用平移，相似的知识解题是解答本题的关键．
7．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据已知抛物线经过点和点代入求解即可；
（2）①求出C坐标及直线解析式，根据点之间的特性求出线段的长；②根据图可得的面积是由和组合成的，以为底，两个三角形的和刚好为，由此可得到关于的二次函数，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，与y轴相交于点C，
∴，
∴，即，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①由可知，对称轴为直线，，
设直线解析式为：，
将点，代入直线直线解析式，
则，
解得，
∴直线解析式为：，
设点，
∵过点作轴的平行线交于点，
∴，
∴；
②连接，如图所示：

由图可得
，
∴当时，的面积最大，
此时，
∴，
∴的面积最大时点P的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题．
8．(1)
(2)
(3)直线的解析式为
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）过点P作轴，交于点H，由题意易得直线的解析式为，设点，则，然后根据铅垂法可进行求解；
（3）设与x轴的交点为E，过点E作于点F，由题意易得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，，然后根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作轴，交于点H，如图所示：

设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则，
∴，点C与点B的水平距离为3，
∴，
∵且，
∴当时，的面积最大，最大值即为，此时
∴；
（3）解：设与x轴的交点为E，过点E作于点F，如图所示：

由（1）及题意可得：，当时，则有，
解得：，
∴为等腰直角三角形，即，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）得到，即可求解；
（3）由题意的：，即可求解．
【详解】（1）由题意，得
（2）由（1）得抛物线的解析式为．
令，则，得．
∴B点的坐标为．
，
∴．
∵，
∴直线的解析式为．
∵，
∴可设直线的解析式为．
∵在直线上，
∴．
∴．
∴直线的解析式为．

（3）设P点坐标为．
∵点P在直线和抛物线上，
∴．
∴．
解得（舍去）．
∴点P的坐标为．

由翻折，得．
∵，
∴'．
∴．
．
设点E的坐标为，则．
．
当时，点E的坐标为．
设,
由，得：
，
解得：，
则点的坐标为．
当时，同理可得，点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．
10．(1)，
(2)存在，点坐标是或或或
(3)，
【分析】（1）根据抛物线的性质和点坐标，，得出抛物线对轴为直线，，设二次函数的解析式为，把，代入得：，解方程组即可求解．
（2）分四种情况：①当时（在轴的负半轴），②当时（在轴的正半轴），③当时（在轴的正半轴），④当时（在轴的正半轴），分别求解即可．
（3）连接，设点坐标为，由，由求二次函数的最值方法求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点，且点坐标，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴
设二次函数的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴．
（2）解：在中，∵，，∴
①当时（在轴的负半轴），
则，
∴
②当时（在轴的正半轴），
则，
∴
③当时（在轴的正半轴），
∵，
∴，
∴
④当时（在轴的正半轴），在中，设
则，解得，
∴，
综上，在轴上存在一点，使三角形是等腰三角形，满足条件的点坐标是或或或．
（3）解：连接，如图，

∵点在图象上，
∴设点坐标为，
，
∵，
∴的最大值为，此时点的坐标为，
∴在第一象限中的抛物线上存在一点，使得四边形的面积最大则点的坐标是，面积最大值是．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数的最值，等腰三角形分类讨论．熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解．
11．(1)抛物线的解析式为：；
(2)周长最小值为 ，E的坐标为；
(3)四边形的面积最大为，此时．
【分析】（1）把，两点坐标代入抛物线的解析式即可；
（2）由抛物线的解析式可得，，由点B，点C的坐标可求得直线的解析式，由可得直线的解析式，求出点，根据抛物线的对称性可得直线与对称轴的交点即为点E，再求解其坐标与周长最小值即可；
（3）如过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，设点P的坐标为，则，其中．，建立，再根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：；
（2）由抛物线可得，，对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入点B，点C的坐标得，，
解得 ，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，代入点A的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得 ，
解得 或，
∴，
∴，
∵如图，，关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与对称轴的交点即为点，此时，
∴最小，
∴的周长为最小，

而，
∴周长最小值为 ，E的坐标为；
（3）如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，

设点P的坐标为，
则，其中．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为，此时．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，利用数形结合的思想解决数学问题是解题的关键．
12．(1)；；
(2)① ②
【分析】（1）根据抛物线的顶点式可直接写出顶点，根据伴随直线的定义即可写出伴随函数，联立直线和抛物线可求出交点坐标；
（2）①根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，再求出线与轴的交点，用勾股定理列出关于的方程，求出即可；
②先设出点的坐标，然后表示出的面积，用含的式子表示出顶点的纵坐标，列出关于的式子，求出即可.
【详解】（1）解：∵是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为,
根据伴随函数的定义得：,
联立抛物线和直线的解析式，可得：
则,
解得,
∴交点坐标为;
故答案为；；；
（2）①∵抛物线解析式为,
∴其伴随直线为,即 ,
联立抛物线与伴随直线的解析式可得
，
解得 或 ，
∵点A在点的右侧,
∴,
在中,令可解得或,
∴,
∴,
∵,
∴, 即,
解得 (抛物线开口向上，舍去) 或
∴当时, 的值为
②设直线的解析式为,∵,
解得
∴直线解析式为,
过作轴的垂线交于点，如图，

∵点的横坐标为，
∴,，
又∵是直线上方抛物线上的一个动点，
∴
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，的面积有最大值
∴取得最大值时, 即，
解得.
【点睛】本题主要考查二次函数和新定义函数的综合应用，关键是要理解伴随函数的概念，求出伴随函数的解析式，二次函数的基本性质要熟练掌握，包括顶点式，与坐标轴交点的求法，对称轴，增减性等都要牢记.
13．(1)
(2)
(3)或
【分析】用待定系数法即可求解；
(2)先求直线的表达式，过点作轴交于点,由即可求解.
(3)当时, 即, 则时, 抛物线取得最小值; 当时, 即, 则时, 抛物线取得最小值，进而求解；
【详解】（1）设抛物线的表达式为：,
又∵
∴；
（2）过点作轴交于点,

当时，,
∴点,
设直线的表达式为，
把和代入得：
，解得
∴直线的表达式为,
设点, 则点,
∴，
∵，
∴有最大值，最大值为；
（3）∵，
即抛物线的最小值是，
即和不可能在抛物线对称轴两侧；
当时, 即,
则时，抛物线取得最小值，
即,
解得:(舍去)或,
即；
当时, 即,
则时, 抛物线取得最小值,
即,
解得:或(舍去)，
综上,或；
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.
14．(1)
(2)点的坐标为；
(3)或
【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，利用待定系数法求得直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，利用，得到二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交于点，

对于，
令，则，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8；
此时点的坐标为；
（3）解：∵，
∴．
令，
则，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
设，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式等知识点．
15．(1)
(2)面积的最大值为，此时
(3)存在，，
【分析】（1）求出、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（）过点作轴交于点，由题意可得，则，进而表示出面积，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）设，，是菱形的对角线，根据菱形的性质，勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：令，则
解得：
，，
令，解得：，
设直线的解析式为
，
解得
（2）过点作轴交于点，由题意可得，则，

，
，抛物线有最大值，
当时，取得最大值，
当时，，即
面积的最大值为，此时；
（3）存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
，
设，，
是菱形的对角线，
，
解得：，
，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，再将代入求出a的值即可求函数的解析式；
（2）①设直线与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则，，由题意可知直线与坐标轴的夹角为，求出，，再由，求出m的值即可；
②设，过P作轴交于点E，过P作交于F，求出直线的解析式后可求，则，由直线与直线的解析式，能确定两直线互相垂直，可求，，则，即可求的最大值．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为
∵顶点与x轴的距离是6，
∴顶点为，
，
∵抛物线经过原点，
，
，
；
（2）设直线与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，

，，
，，
∵直线与坐标轴的夹角为，
，，
，
，
，
解得或；
设，过P作轴交于点E，过P作交于F，

设直线的解析式为，
，
解得：，
，
，
，
设直线与y轴交点为G，
令，则，
，
，
，
设直线与x轴交点为K，与y轴交点为L，
直线的解析式为，令，则
，
令，则，
，
，
，
，
,
设与x轴交点为H，
，
，
，
，
，，
当时，的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
17．(1)，
(2)
(3)当时，四边形的面积最大，最大面积为9
【分析】（1）根据二次函数与轴交点坐标求法，解一元二次方程即可获得答案；
（2）作轴，垂足为点，证明，由相似三角形的性质可解得，结合点在第四象限内，可知，将点代入抛物线解析式，求解即可获得答案；
（3）过点作直线轴，交于点，首先确定点，；设直线解析式为，利用待定系数法求得直线解析式为，易知点，则有四边形的面积为，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵对于抛物线，
令，则有，
整理可得，
解得，，
∵点在点的左侧，
∴，，
故点的坐标为点为，的为．
故答案为：，；
（2）如下图，作轴，垂足为点，

则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，解得，
∵点在第四象限内，
∴，
将点代入抛物线解析式，
可得，解得，
∴该抛物线解析式为；
（3）如下图，过点作直线轴，交于点，

∵点在抛物线上，且点的横坐标为，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
设直线解析式为，将点、代入，
可得，解得，
∴设直线解析式为，
∴点，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
，
∴当时，四边形的面积最大，最大面积为9．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与轴交点、等腰三角形的性质、待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数图像与性质等知识，理解题意，正确作出辅助线并运用数相结合的思想分析问题是解题关键．
18．(1)是直角三角形；
(2)四边形面积的最大值为36，点M的坐标为；
(3)或，，，
【分析】（1）令，则，得到；令，则，，得到，，则，，，则，利用勾股定理在中，求得，在中，求得，因此，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形；
（2）采用待定系数法设直线的函数解析式为，把点，代入可求得直线的函数解析式为．设点M的坐标为
过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为，根据两点间距离可求得，因此；由于，，根据平行线间距离处处相等可得，所以，根据二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值，进而求得此时点M的坐标；
（3）由原抛物线可得对称轴为，将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，因此新抛物线的对称轴为，设点P的坐标为，根据两点间距离公式可得，，．若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：①，②，③，分别代入即可得到方程，求解即可解答．
【详解】（1）令，则，
∴点A的坐标为，
令，则，
解得，，
∴点B的坐标为，点C的坐标为．
∵，，
∴，，，
∴在中，，
在中，，
，
∴，
∴是直角三角形．
（2）设直线的函数解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的函数解析式为．
设点M的坐标为
过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为

∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，为，
此时，
即点M的坐标为．
（3）原抛物线的对称轴为，
∵在中，，，，
∴将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，
∴新抛物线的对称轴为
∵点P是新抛物线对称轴上的一点，
∴设点P的坐标为，
∵，
∴，
，
．
若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：
①，则，
解得，
此时点P的坐标为；
②，则，
解得，
此时点P的坐标为或；
③，则，
解得，
此时点P的坐标为或．
综上所述，若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，，．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，勾股定理与其逆定理，二次函数的性质，二次函数的平移，等腰三角形的性质，综合运用各个知识，运用分类讨论的数学思想是解题的关键．