2024年中考 数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）（含答案）

2024年中考 数学高频压轴题训练
二次函数压轴题（特殊四边形）
1．如图，抛物线经过x轴上、B两点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与直线交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；
(3) F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且．
(1)求平移后抛物线的表达式；
(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；
(3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________；
(3)当是菱形时，求的值．
(4)当为何值时，的面积有最大值？
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，直线经过点，交抛物线的对称轴于点．
(1)求的面积；
(2)连接，交轴于点，连接，若，求抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，点是直线上一点，且，求点的坐标．
5．已知抛物线与x轴交于B、C两点（点在点的左侧），与y轴交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使最大时点的坐标和的面积；
(3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点．
(1)求的值及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，并把沿y轴翻折，得到四边形．若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的最大面积．
8．如图，已知直线与抛物线：相交于点和点两点．
(1)求抛物线函数表达式；
(2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻的两边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，求此时平行四边形的面积及点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，到对称轴的距离等于到直线的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线的顶点为D点，且与x轴交于B，A两点（B在A的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：
(1)当点E在x轴上方且时，求的值；
(2)若点P在抛物线上，是否存在以点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形？请求出点P的坐标；
(3)若抛物线对称轴上有点E，使得取得最小值，连接AE并延长交第二象限抛物线为点M，从请直接写出的长度．
11．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长．
②连接，，求的面积最大时点的坐标．
(3)设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
(1)请直接写出D点的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得以P，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标．
13．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．请你求出四边形面积最大时，点E的坐标；
(3)若点M是x轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知抛物线的顶点为与轴交于．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过顶点作轴于，交直线于，点，分别在抛物线和轴上，若点Q坐标为，且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值；
(3)将抛物线向右平移一个单位得抛物线，直线与轴交于点，与抛物线交于，两个不同点；分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，当的值在取值范围内发生变化时，式子的值是否发生变化？若不变，请求其值．
15．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点，点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标．
(3)以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．请直接写出所有符合条件的D点坐标．
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参考答案：
1．(1)
(2)点P的坐标为或
(3)不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形
2．(1)；
(2)是正方形
(3)、、、．
3．(1)
(2)
(3)
(4)当时，平行四边形的面积有最大值
4．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
5．(1)直角三角形
(2)，，
(3)存在，点坐标为或或或或
6．(1)，
(2)点P的横坐标为或或．
7．(1)
(3)点P的坐标，四边形面积的最大值为
8．(1)；
(2)，；
(3)存在，或．
9．(1)；
(2)有最大值为4，；
(3)存在，P点的坐标为或或．
10．(1)
(2)存在 或或使得点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形
(3)
11．(1)
(2)①；②点P的坐标为
(3)存在，点M的坐标为或或
12．(1)
(2)
(3)存在，P的坐标为或
13．(1)
(2)
(3)存在，或或
14．(1)；
(2)或；
(3)的值不发生变化
15．(1)
(2)点，最大是4
(3)或或
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