2024年中考数学高频考点突破——二次函数与角度（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与角度
1．若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数（）的图象经过点，交轴于，且抛物线的对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点作直线交轴于点，点是直线上一动点，点是第一象限抛物线上一动点，出四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是直线下方抛物线上一个动点，过点作直线，交于点，过点作轴，垂足为，交于点．

(1)直接写出，，三点的坐标，并求出直线的函数表达式；
(2)当线段取最大值时，求的面积；
(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
4．如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．

(1)求此二次函数的解析式和点的坐标；
(2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分；
(3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标．
5．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点，过点作轴的垂线交此直线于点，且点坐标为．

(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为抛物线第二象限上一动点，连接、、，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式（不写自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，设交轴于点，点为线段上点，连接，且，点为轴负半轴上一点，，当时，求点的坐标．
6．如图，若一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，二次函数的图象过，两点，交轴另一点的坐标，顶点为点，对称轴交于，

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是上方抛物线上一点．过点作轴于，分别交、于、，作于，于，若，求点的坐标；
(3)如图2，点是上方抛物线上一点．过点作轴于，交于，连接、，若中的一个内角是的2倍，求点的横坐标
7．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使与互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由．
8．如图1：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接、 ．

(1)求A、B、C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式 ．
(2)点P是A、B间（含点A、B）二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线轴于点M，交直线于点N ．当直线将的面积分为两部分时，求m的值 ．
(3)如图2，抛物线上是否存在点D，使，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由 ．
9．如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

(1)若，求的长度；
(2)若，，P是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求P点的坐标；
(3)如图2，当时，点在y轴负半轴上（点N在点C下方），直线交抛物线于另一点D，直线交抛物线于另一点E，作轴于M，若，试判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点、，交轴于点．

(1)求点的坐标；
(2)点是第一象限抛物线上的一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当时，点在抛物线上，且横坐标为，连接交轴于点，连接交线段于点，点为线段的中点，连接，，若，求的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标．
(3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，当，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
12．综合与探究
如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，点是直线上方抛物线上一点，设点的横坐标为，过点作于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)连接，，试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点为抛物线上第一象限内的一个动点．

(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当的面积为4时，求点D的坐标；
(3)该抛物线上是否存在点D，使得，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴分别于点点，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为．
求为何值时，四边形是平行四边形；
连接，当时，求点的坐标；
15．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
17．如图，二次函数，与时的函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．

(1)求二次函数的解析式．
(2)在第一象限的抛物线上求点P，使得最大．
(3)点Q是抛物线上x轴上方一点，若，求Q点坐标．
18．如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

(1)求点A，B，C的坐标；
(2)如图1，D是抛物线上第一象限内的一点，连接，．若，求点D的坐标；
(3)如图2，E是的中点，P是抛物线上一动点（不与顶点重合），直线，分别交抛物线于点M，N，直线交抛物线于点Q，求证：直线必过一定点．
参考答案：
1．(1)
(2)当时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为，此时
(3)点M的坐标为或
【分析】（1）先由直线求出点的坐标，再由点在抛物线上和抛物线的对称轴为直线列方程组求出、的值；
（2）根据直线求出点的坐标，根据（1）中求得的抛物线的解析式求出点的坐标，的面积等于的面积且为定值，设点的横坐标为，过点分别作轴、轴的垂线，用含的代数表示的面积，再根据二次函数的性质求出当的面积最大时的值，进而求出四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）通过计算，得出，可得．当点在直线下方，则只要作出，则．可通过求的解析式的方法求得点的坐标，再求的长，从而得到点的坐标；当点在直线的上方，作点关于直线的对称点，求直线的解析式，再求出另一点的坐标．
【详解】（1）解：由直线与轴交于点，得，
又抛物线经过点且对称轴为直线，
则，由，得，
二次函数的解析式为．
（2）如图1，作于点，轴交直线于点．
设点，则；
当时，由得，，，
，；
由，得，
，
．
，
，
，
由，可得，
，
当时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为，此时，．
（3）存在．点M的坐标为或，
如图2，由，得，，
又，，
设直线的解析式为，则，
解得，
，，，
是等腰直角三角形．
若点在直线下方，当时，则，
，此时，
，．
若点在直线上方，作点关于直线的对称点，连接，则是等腰直角三角形，
轴．
，
，．
设直线的解析式为，则，
解得，
，当时，，
此时，，．
综上所述，点的坐标为，或，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，还涉及利用函数的关系式表示点的坐标和线段长度的方法以及转化思想等，是一道好题．
2．(1)，，．
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）对于直线，当时，，即点，
令，则或，则点，的坐标分别为，即求出三个点的坐标，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）设点的横坐标为，则，，表示出，求出，再表示出点到直线的距离，利用进行求解即可；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为，当点在轴上方时，设抛物线的对称轴交轴于点，交于，故点作于点，在中,，，用解直角三角形的方法求出，即可求出点坐标，当点在轴上方时，直线的表达式为，当时，，即可求解．
【详解】（1）解：对于抛物线，当时，，即点，
令，则或，则点，的坐标分别为，，
即点，，三点的坐标分别为，，，
设直线的表达式为，则，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）设点的横坐标为，
则，，
，
当时，最大，，
此时，，
由，，可得直线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，将代入可得，
直线的函数表达式为，
由，解得，
，点到直线的距离，
．
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当点在轴上方时，如下图：

设抛物线的对称轴交轴于点，交于，故点作于点，
则，则，
当时，，则点，
由点，的坐标得，，
在中，，，
设，则，则，
则，则，
则，则，
则点；
当点在轴上方时，直线的表达式为，
当时，，
则直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中第三小问中要注意分类求解是解答本题的关键．
3．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解；
（3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：①；
（2）解：在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（不合题意的值已舍去）；
（3）解：作，

设，
，
且相似比为，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
4．(1)二次函数的解析式为，
(2)见解析
(3)E点的横坐标为或或或
【分析】（1）根据题意点在图象的对称轴上，由对称轴的性质即可确定解析式，然后确定点C的坐标即可；
（2）根据题意得出点E的纵坐标为1，平行于x轴．然后由平行线的性质确定，再由二次函数得出，确定，，利用等边对等角及等量代换即可证明；
（3）分两种情况进行分析：或 ，根据题意首先得出为直角三角形，，然后分别分两种情况结合函数图象利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵点在图象的对称轴上，
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为．
当时，，
∴；
（2）∵，且垂直于y轴，
∴点E的纵坐标为1，平行于x轴．
∴．
令，则，
解得．
∵点E位于对称轴右侧，
∴．
∴．
令，则，
解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴平分．
（3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，
且为直角三角形，
∴为直角三角形．
∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，
∴．
∵，，
∵，
∴，
则，
∴G点坐标为．
∴，．
∴，
∴或 ，
设，
当点D在点G的上方时，则，
.；
如图，当 时，

则有， ，
解得， （负值舍去）
如图3当时，

则有，，
解得， （负值舍去）
当点D在点G的下方时，则，
，
如图，当时，

则有，
解得，（负值舍去）
如图，当时，

则有，，
解得，（负值舍去）
综上，E点的横坐标为或或或．
【点睛】题目主要考查二次函数综合问题，包括确定函数解析式及二次函数的基本性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出相应图象进行分类讨论是解题关键．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线解析式求得，进而得出，则，待定系数求解析式，即可求解；
（2）令，则，求得，依题意，根据，即可求解；
（3）根据勾股定理求得，过点作于点，作关于轴的对称点，过作于点，作关于轴的对称点，则，得出四边形是菱形，求得，根据已知，可得，则，进而求得，勾股定理求得，即可得出点，求得直线的解析式为，联立抛物线即可求解．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴当，解得
∴，
∵过点作轴的垂线交直线于点，且点坐标为．
∴当时，
解得：
∴
∴
∵抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，
∴
解得：
∴求抛物线的解析式
（2）解：，令，则
解得：
∴
点为抛物线第二象限上一动点，设点的横坐标为，则，则
依题意，
∴
（3）∵，点为轴负半轴上一点，
设
∴
解得：（正值舍去）
∴，
如图所示，过点作于点，作关于轴的对称点，过作于点，作关于轴的对称点，则，

∵
∴，
∴
又，则
∴
∴四边形是菱形，则关于对称，
∴，则
则
∵关于轴对称，
∴，
∵，
∴
∴
设，则
∴
∴
∵
又
则
∴
∴
∴
设直线的解析式为
∵
∴
解得：
∴
联立
解得：或
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，正弦的定义，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先求，两点坐标，再代入解析式求出即可；
（2）先求直线表达式，设，表示出两点坐标，进而用含m的代数式表示线段，再由、可证，从而证出，列出方程求出m即可求出点的坐标；
（3）作中垂线，交轴于点H，连接，构造，根据中的一个内角是的2倍分两种情况讨论：①当；②当时，分别作垂线构造直角三角形，利用等角的正切值相等列方程，解出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：因为一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，
令，则，
，
令，则，
，
因为二次函数的图象过、两点，
将、两点坐标代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
抛物线顶点，
设直线表达式为，将、代入：
，
解得：，
直线表达式为，
设，
则，,
，，
于，于，
，
，
，
，
，即，
，
解得：，，
因为点是上方抛物线上一点，
不合题意，舍去，
，
；
（3）解：作中垂线，交轴于点H，连接，

则，
，即，
在中，
抛物线与x轴交于点B，
令，则，，
则，即，
，
，
，
，，
，
，
；
中的一个内角是的2倍，
设，
①当时，即，

作于点G，
，
解得：，（不合题意，舍去），
②当时，即，
作于点R，

，
，
，
，
，
，
解得： （舍去），，
综上所述，点的横坐标为，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，其中添加辅助进行等量转换是解决问题关键．
7．(1)
(2)存在，或
(3)正确，
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，代入点，进一步得出结果；
（2）过点P作，交x轴于点T，作于Q，可得，从而，变形得出，由得，，从而，从而求得，从而得出点T坐标，进而求得的解析式，进一步得出结果，同样求得另一种情形；
（3）作于F，设与y轴交于点E，可推出，解斜三角形，求得和，根据，得出，从而求得，进而求出的解析式，将其和抛物线的解析式联立，从而求的点D坐标．
【详解】（1）解：由题意得：，
设抛物线的解析式为：，
∴，
∴，
∴；
（2）如图1，

过点P作，交x轴于点T，作于Q，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线BC的解析式为：，把代入，得：，
∴
∵，
∴，
由得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把，代入，得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为：，
∴当时，，
∴，
同理可得：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴，
∴或；
（3）如图2，

存在，使，理由如下：
作于F，设与y轴交于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴直线的解析式为：，
由得，或，
∴．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
8．(1)，，，
(2)或2
(3)，
【分析】（1）令，求点C的坐标，令，求A，B的坐标，运用待定系数法求直线的解析式即可．
（2）根据题意，分和两种情况列式计算即可．
（3）过点A作于点G，利用三角形面积不变性，求得，继而计算，根据得到，设点，过点D作于点H，则，根据列出方程求解即可．
【详解】（1）解：令，得；
．
令，得；
解得， ．
点A在点B在左侧，
， ．
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为：．
（2）点P的横坐标为m，且轴

， ．
，，， ．
，
，
当时，
，
解得（舍）， ．
当时，
，
解得（舍）， ．
综上所述，存在m的值为或2 ．
（3）过点A作于点G，
∵，，，

∴，
，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，
过点D作于点H，则，
∵，
∴，
∴或
整理，得或
解方程，得或
当时，，不存在角，舍去；
当时，，
故；
当时，，
故；
综上所述，存在点D，且为， ．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点计算，待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)是为定值，该定值为2
【分析】（1）当时，，根据当时，，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，即可得到的长度；
（2）当，时，，求出的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是，则，连接，是等腰直角三角形，得到，则，过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，则，证明，得到的坐标是，求出的解析式为，与二次函数联立即可求出点P的坐标；
（3）求出点A的坐标是，点B的坐标是，由得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，则，由，则，由得到，则，进一步得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，得到，由得到，解得，则，即，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∵，
∴，
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
即的长度为4；
（2）当，时，，
当时，，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
连接，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴点D的坐标是，
设直线的解析式为，把点C和点D的坐标代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标是；
（3）当时，，
∵，
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
联立，，
∴，
∴，
∴，
过点D作轴于点H，

∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得到，，
∴，
设直线的解析式为，
联立，
则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】解方程得到，求得，当时，，解方程即可得到结论；
如图，过作轴于，根据点的横坐标为，点是第一象限抛物线上的一点，得到，求得，，解直角三角形即可得到结论；
如图，连接，过点作轴于，轴于，过作于，根据勾股定理得到，根据点的横坐标为，点在抛物线上，得到，，，解直角三角形得到，求得解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：抛物线交轴于点，
，
解得，
，
当时，，
解得，，
；
（2）解：如图，过作轴于，

点的横坐标为，点是第一象限抛物线上的一点，
，
，，
在中，，
在中，，
，
在中，令，则，
，
，
；
（3）如图，连接，过点作轴于，轴于，过作于，

在中，，
，，
，
，
点的横坐标为，点在抛物线上，
，
，，
在中，，
在中，，
，
．
点为线段的中点，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
在中，，
在中，
，，
在中，，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式．
（2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
（3）根据题意可得，以的关系建立方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，令，得，令，得
，
把代入，得
，解得，
抛物线得解析式为；
（2）解：由（1）得：，
如图，过点作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为G，

轴，
，
，
即，
，
设D点的坐标为 ，则
，
，，
∴
解得（舍去），，
当时，，
点D的坐标为；
（3）解：如图，

∵，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
设 ，
，
解得 ，
点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到是问题的解题关键，本题综合难度不大．
12．(1)
(2)点的坐标为，的最大值为
(3)存在，或
【分析】（1）将点A、的坐标代入求解即可得到答案；
（2）过点作轴于点，交于点，易得，即可得到的最大时的长最大即可得到答案；
（3）设，求出的解析式，联立的解析式求出交点坐标F，根据得到，从而得到代入求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：过点作轴于点，交于点，

由点A、的坐标得，直线的表达式为：，
则直线和轴的正半轴的夹角为，则，
则，
设点的坐标为：，则点，
则，
即的最大值为，此时，点的坐标为：，
则的最大值为，
故点的坐标为：，的最大值为；
（3）解：存在，理由如下：
设，与相交于点F，解析式为：，
∴，解得：，
∴，
联立得，
解得：，，
∴，
设
∵，
∴，，
解得：，
∴，
∴
，
，
∵，，
∴，
∴，
当时，，
当时，，解得：，，
∴，，
∴
解得：，，（不符合意义舍去），（不符合意义舍去），
∴或；
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次和二次函数的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
13．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）过点D作的平行线交y轴于点M，设点M的坐标为，使得的面积为4，求出，得出直线的解析式为，的解析式为，，联立，即可得出答案；
（3）当时，取点，连接，得出，再求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，即可得出答案．
【详解】（1）解：将代入得：
解得：
故抛物线的解析式为
（2）如图2：过点D作的平行线交y轴于点M，

设点M的坐标为，使得的面积为4，，
∴，
∵点，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴的解析式为：，
联立抛物线解析式，
解得，，
∴点D的坐标为；
（3）当时，取点，连接，如图3所示．

∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵点，，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，
解得： （舍去），，
∴点D的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数解析式，二次函数解析式，利用待定系数法求解是解题的关键．
14．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，求出，根据平行四边形的性质建立方程，解方程即可得到答案；②证明，得到，由此建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将点、点代入中得
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①令，则，
，
设直线的解析式为，
∴，
∴
∴直线的解析式为，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
如图，设直线与x轴交于T，

，，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
经检验，是原方程的解，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，解直角三角形等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)或．
【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解．
（3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：由，当时，，
解得：，
∴，
当时，，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴，交于点，

∵，
∴
∵
∴，则
设，则即，
将点代入
即
解得：或（舍去）
当时，，
∴；
（3）∵，，
则，是等腰直角三角形，
∴，由（2）可得，
∵
∴，
由（2）可得，
设直线的解析式为，则
解得：
∴直线的解析式为
如图所示，以为对角线作正方形，则，

∵，则，则，，
设，则，
解得：，，
则，，
设直线的解析式为，直线的解析式为
则，，
解得：，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴解得：，则，
解得：,则，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式中，求出b即可；
（2）求出点B的坐标，求出直线的解析式，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F；设点C的坐标后，则由相似三角形的性质，可表示出点D的坐标，由点D在抛物线上，则可求得点D的坐标；
（3）存在；由定边定角知，作的外接圆，连接，过M作轴于N，则可得是等腰直角三角形，垂直平分，从而可求得M的坐标及圆的半径；设点P的坐标，由建立方程，即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入函数解析式中，，
解得：，
故所求的解析式为；
（2）解：∵点B在抛物线，
∴，
即；
设直线解析式为为，
则有，
解得：，
∴直线解析式为为；
过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图，

设，则；
∵，
∴，
∴，
则，
∴；
∵点D在抛物线上，
∴，
解得：，
则点D的坐标为；
（3）解：存在；
如图，作的外接圆，连接，过M作轴于N，
∴，
∴是等腰直角三角形，垂直平分，
∴，
∴M的坐标为，的半径；
设点P的坐标为，
则，
即，
由于，
∴方程整理得：，
解得：，
点P的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，运用了方程思想，综合运用这些知识是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把与代入，求出t的值，即可；
（2）过点P作轴，交于点D．先求出直线的解析式为，设点，则点D的坐标为，可得，再由
，得到S关于a的函数关系式，即可求解；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，则，取的中点H，作直线交抛物线于Q，则，，求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵与时的函数值相等，
∴，
解方程，得，
把代入二次函数，
∴二次函数的解析式为：．
（2）解：如图，过点P作轴，交于点D．

把代入，得：
，解得，
∴点A，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点D的坐标为，
∴，
∴，
当时，有最大值，最大值为4，
所以点P的坐标；
（3）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，则，取的中点H，作直线交抛物线于Q，则，，

设直线的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
18．(1)，，，
(2)
(3)直线过定点，证明见解析
【分析】（1）令， 则，令，则，再解方程即可；
（2）如图，过作轴于F，记与轴的交点为，证明，可得，证明，可得，设，可得，结合，再解方程组可得答案；
（3）设，，，，设为，由，可得，，求解，设直线为，可得，可得，同理：，设直线的解析式为：，可得，，求解直线的解析式为：，可得当时，则，则直线过定点．
【详解】（1）解：∵，
当，则，即，
当，则，
解得：，；
∴，；
（2）如图，过作轴于F，记与轴的交点为，

∴，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∵，而，
∴，
∴，设，
∴，
∵，
∴整理得：，
解得：（舍去），，
∴，
∴．
（3）设，，，，设为，
∴，
∴，
∴，，
∵是的中点，，，
∴，
∴设直线为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理：，
设直线的解析式为：，又，
∴，
∴，，
∴，
，
∴直线的解析式为：，
当时，则，
∴直线过定点．
【点睛】本题考查的是求解二次函数图象与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，本题难度很大，是典型的压轴题．