重庆市巴蜀名校2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含解析）

巴蜀名校2023-2024学年高一上学期1月期末考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．在扇形OAB中，已知弦，，则扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9．已知幂函数，则下列说法正确的有（ ）
A．或2 B．一定为奇函数 C．一定为增函数 D．必过点
10．下图是函数的部分图像，则（ ）
A． B．
C．是的一个对称中心
D．的单调递增区间为（）
11．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2 B．最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为2
12．已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．为奇函数 C．的周期为6 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数的定义域为______
14．______
15．已知，则______
16．函数，若存在，使得，则的取值范围是______
四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合，集合（）
（1）当时，求
（2）若，求a的取值范围？
18．平面直角坐标系中，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为
（1）求，
（2）化解并求值：
19．双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数，双曲余弦函数：
（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）
① ②
（2）求函数在R上的值域
20．已知函数，
（1）解不等式
（2）方程（）在上有解，求a的取值范围？
21．已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
（1）求函数的解析式，并求其对称轴方程．
（2）将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值．
22．已知函数的定义域为，，满足，，令，设当时，都有
（1）计算，并证明在上单调递增；
（2）对任意的，，总存在，使得成立，求t的取值范围？
数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B B B C A C
解析：
5．，故是的必要不充分条件．
6．，，故
7．，，，，，，，，，
8．当，，因为在上单调递增，故，则；当，，且，，又因为在上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①，②
综上：的取值范围为
二、多选题
9 10 11 12
ACD BCD BC ACD
解析：
9．根据幂函数的定义，可得或2，故A正确，当，为非奇非偶函数，故B错误，或2，均为增函数，C正确；幂函数均经过，D正确
10．根据图像易得，故A错误，
时，，，，故，故B正确，将带入解析式易得是的一个对称中心，C正确，令，解得，．故D正确．
11．A选项可能为负，B项（当且仅当时取等）故B正确，C项（当且仅当时取等），C正确．（当且仅当时取等），D错误．
12．对于A．，故A正确，，，
，令，则①，故②，①+②可得，故，因此，故C正确，令，，令，，，则，故，，故为偶函数，因为，故关于对称，且，，令，，则，令，，，则，，，一个周期的和为0，则，故D正确
三、填空题
13． 14．7 15．2 16．
解析：
15．
16．由，易得，则，，则，则，由图像易知，，结合对勾函数图像，则
四、解答题
17．答案：（1） （2）
解析：（1），所以
当时，解得，则
（2），，，
18．答案：（1）， （2）
解析：（1）根据三角函数的定义：，，
则，
（2）
19．答案：（1）见解析 （2）
解析：若选择①：由题意，，
则
若选择②：
（2）法一：，令，当且仅当时取等，令，所以在上单调递增，故，故的值域为
法二：，令，
令，则，所以在上单调递增，故，故的值域为
20．答案：（1） （2）
解析：（1），令（），
故
（2），
，故（）
在上有解，等价于在上有解，令，
，，故函数在上单调递增，
则当，，当，，故
21．答案：（1），， （2），50
解析：（1），所以，因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为，故，
令，
（2）向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到，
将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了，令，则，则，，，，故，当或或20时，
22．答案：（1），证明见解析 （2）
解析：（1）令，，，
则，令，则，因为，所以，又因为，故，所以，所以，因为在上单调递增
（2）由（1）可知，在上单调递增，，故任意的，，总存在，
令，
，则任意的，，存在，使得，则令，只需，
因为，所以，故在上单调递增，
，，则当：
①时，
②，
则：，将其视为关于b的函数，令其为，
则在上递减，在上递增
则，故