天津市环城四校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（扫描版含答案）

参考答案
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共 9 个小题，每题 5 分，共
45 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A B B A D C A C
二.填空题（本大题共 6 小题.每题 5 分共 30 分）
1
10．（ ，0 5 2
1
） 11． 12．
3 2 7

13．3 2 2 .14． . . 15. ( 2, 2) ( 2, 2)12
三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分 14 分）
2
函数 y log3 (x 3x 10)的定义域为 B，所以 x2 3x 10 0……1 分
(x 2)(x 5) 0, x 2或 x 5，所以集合B x x 2或 x 5 ……2 分
RB C x 2 x 5 ……4 分
当 a 3 时，集合 A {x | 4 x 7}，可得 RA {x | x 4 或 x 7}，……6 分
因为C {x | 2 x 5}，所以 RA C {x | 2 x 4}……8 分
若“ x A”是“ x C”的充分不必要条件，所以 A是C的真子集，……9 分
当 a 1 2a 1时，即 a 0时，此时 A ，满足 A是C的真子集，……10 分
2a 1 a 1

当 A 时，则满足 2a 1 5 且不能同时取等号，解得0 a 2，……13 分综上，实数 a的取值范围为

a 1 2
( , 2].……14 分
17.（本小题满分 15 分）
f x sin x cos x 3 cos 2x 3
2
1
2sin x cos x 3 2cos2 x 1 1 sin 2x 3 cos 2x……1 分2 2 2 2
sin 2x
π
，……2分
3
f x 2π的最小正周期为T π2 ，……3 分
π
令 2kπ 2x
π 3π
2kπ,k Z 5π ，得 kπ x
11π
kπ, k Z，……4 分
2 3 2 12 12
f x 5π kπ,11π kπ 的单调减区间为 k Z .……5分 12 12
5
由（Ⅰ）知，函数的单调递增区间为 k ,k ,k Z ……6 分 12 12
x 2 又∵
12
, 3 ……7分
f (x) 在 ,
5 5 2
上单调递增，在 , 上单调递减 ……8 分 12 12 12 3
f ( ) 2 1 5 ， f ( ) 1， f ( ) 0 ……10 分
12 12 3
f(x) 1， f (x) 1min max ……11 分
（说明：三个函数值都对给 2 分，每错一个值扣 1 分）
f ( ) sin(2 3 ) ……12 分
4 6 2
又 (2 4 3 ) (2 ) ……13 分
6 3 2
cos(2 4 ) cos[(2 ) 3 ] sin(2 ) 3 ……15 分
3 6 2 6 2
18. （本小题满分 15 分）
不等式 ax2 bx 2 0的解集为{x | x 1或 x 2}
a 0，且 ax2 bx 2 0的两根为 x1 1, x2 2 ……2 分
b 2
3, 2 , a 1,b 3.……4 分
a a
f f (x) f (bx+2) b(bx+2)+2 b2x+2b+2 4x 2，……5 分
b2 4
得 , b 2 ……7 分
2b 2 2
f (2) 4a 2b 2 0 2a b 1 b 1 2a ……8 分
即 ax2 (3 2a)x 6 0， (ax 3)(x 2) 0 , ……9分
（1）当 a 0 时， x 2 ……10 分
（2）当 a 0时，则a(x
3
)(x 2) 0，
a
3
①当 a 0时， x 2 ……11 分
a
3 3 3
②当 a 0时，若 2，即 a 时 ， x 或 x 2 ……12 分
a 2 a
3 3
②当 时，若 2 ，即 a 时， x 2 ……13 分
a 2
3
②当 时，若 2 3 3，即 a 0时， x 2或 x ……14 分
a 2 a
综上所述：当 a 3 时 ，不等式的解集为{x | x 3 或 x 2}
2 a
a 3当 时，不等式的解集为{x | x 2}
2
3
当 a 0 3时，不等式的解集为{x | x 2或 x }
2 a
当a 0 时，不等式的解集为{x | x 2}
3
当 a 0时，不等式的解集为{x | x 2} ……15 分
a
19. （本小题满分 15 分）
因为函数 g x 的一个零点是 1，所以 g 1 0, f (1) 2，……1 分
f x 是奇函数，所以 f 1 2，……2 分

f 1
m 1
2
1 n m 1
所以， m 1 ，解得 n 0 ，……3分 f 1 2 1 n
2
f x x 1 1 x ，定义域为 , 0 U 0, .
x x
x ,0 0, ，都有 f x x 1 x 1 f x x x ，……4 分
1
所以， f x 是奇函数，满足题意，故m 1,n 0, f (x) x .……5 分
x
函数 t x 满足 t x t(x) ，所以 t x 是偶函数且在 (0,1) 单调递减……6 分
t 4a 1 t 1 因为不等式 恒成立
2
0 4a 1 1 1 1 1 a 或 a 0 2 4 4
所以 ， ……9 分
4a 1
1
3 1
2 a 8 8
a [ 3 , 1) ( 1 1所以 , ]……10 分
8 4 4 8
h x 1 2 k ln x 1 ，……11 分
(x 3)


1
因为函数 h x 的一个零点为 2，所以 (2 3)2 k 0 ，解得 k 1．……12 分
所以 h x 1 (x 3)2 1 ln x 1 ，
1令 h x 0 ，得 2 1 0或 ln(x 1) 0(x 3) ，解得 x 0, 2, 4．……14 分
所以函数 g x 的其余零点为 0，4．……15 分
20.（本小题满分 16 分）
f (x)， g(x)分别为定义在R 上的偶函数和奇函数
所以 f x f x ,g x g x ……1 分
f (x) g(x) 2x①，
f x g x f x g x 2 x②，……2 分
1 x x
有①②可知， f x 2 2 ， g x 1 2x 2 x ……4分
2 2
x1 x2 0， f x1 f x2
1

2 2
x 11 2 x1 2 2
x2 2 x2
2x2x x 2x11 2
2x1 2x2 2 x1 2 x2 2 2 2x1 x 2
x
2 1 2x2 1
1
……6 分
2 2 2 2x1 x2
因为 x x 0，所以 2x x1 2 1 2 2 0，2x1 x2 1，所以 f x1 f x2 0，……8 分
由已知 F x 4 f 2 x 4mf x 9
2x 2 x
2

x
F x 4 4m 2 2
x
9
2 2 ……9分
2x 2 x 2 2m 2x 2 x 9
由（Ⅱ）得 f x 在 0, log 2 m 上单调递增，
m 1


m 1, f (x) 1, m ……10 分
2

x
设 t 2 2 x=2f (x) 2,m
1
， ……11 分 m
G t t 2令 -2mt 9 0
t 0, m 1 ≤ t
9
，t
2,m 1 ……12 分2 t m
1 9
而函数 y t

，在 t 2,3 上递减，在 t 3,+ 递增……13 分2 t
①当m 1 3 5≤3 时，
m 11 t 9 1 ≥ t
9
=3，显然成立
2 t 2 t
即1 m 3 5 ……14 分
2
②当m 1 3时，
m m
3 5

2
y 1 9 min 3 3 m 32 3
3 5
即 m 3……15 分
2
综上所述，实数m的取值范围是 1,3 .……16 分
（第三问可根据不同解题方法酌情给分）