专题3.11 抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫
作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
4．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
5．与抛物线有关的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型1 动点的轨迹问题】
【方法点拨】
根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹，
因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.
【例1】（2022·上海市高三开学考试）在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【解题思路】根据抛物线的定义判断即可.
【解答过程】解：因为点不在直线上，
则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，
直线为准线的抛物线；
故选：D.
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【解题思路】由抛物线的定义求解即可.
【解答过程】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【解答过程】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D.
【变式1-3】（2021·山东省滕州市高二阶段练习）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方程．
【解答过程】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴点到点的距离等于它到直线的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是.
故选：D.
【题型2 利用抛物线的定义解题】
【方法点拨】
根据具体问题，利用抛物线的定义进行转化求解.
【例2】（2022·云南·高二开学考试）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【解题思路】根据题意，结合跑线的定义得到，即可求解.
【解答过程】由题意，抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，
根据抛物线的定义，可得，解得.
故选：D.
【变式2-1】（2022·云南·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【解题思路】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.
【解答过程】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法1：因为 轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
【变式2-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解题思路】根据抛物线的定义结合已知可求得结果.
【解答过程】设，由A，B中点的横坐标为2，
可得，
所以 ．
故选：C．
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.
【解答过程】由题意得，
所以准线为，
又因为，设点的坐标为，
则有，
解得：
将代入解析式，
得：，
所以M点到x轴的距离为．
故选：D．
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【方法点拨】
求抛物线的焦点坐标及准线方程的步骤：
第一步：把抛物线方程化为标准方程；第二步：明确抛物线开口方向；第三步：求出抛物线标准方程中参
数p的值；第四步：写出抛物线的焦点坐标、准线方程.
【例3】（2022·辽宁鞍山·一模）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【解答过程】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C.
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【解答过程】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】化为标准方程，利用焦点坐标公式求解.
【解答过程】抛物线的标准方程为，
所以抛物线的焦点在轴上，且，所以，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；
【解答过程】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故选：A.
【题型4 求抛物线的标准方程】
【方法点拨】
①直接法：直接利用题中已知条件确定参数p.
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数p.
③定义法：先判定所求点的轨迹符合抛物线的定义，进而求出方程.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，
所以所求抛物线方程是.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解题思路】分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.
【解答过程】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），
当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，
当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，
故选：B.
【变式4-2】（2022·四川攀枝花·高二期末（理））焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.
【解答过程】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为，故抛物线的标准方程是.
故选：A.
【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【解题思路】由抛物线的定义可解答.
【解答过程】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.
故选：D.
【题型5 与抛物线有关的最值问题】
【方法点拨】
求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解
与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的
转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变
量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.
【例5】（2022·河南·高三开学考试（文））已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】过作准线的垂线，设的中点为，过作轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义可知，由此可求得最小值.
【解答过程】由抛物线方程知其焦点为，准线为；
分别过作准线的垂线，垂足分别为，与分别交轴于，
则，．
设的中点为，过作轴的垂线，垂足为，
（当且仅当三点共线时，等号成立）
线段的中点到轴的距离的最小值为．
故选：B.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解题思路】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.
【解答过程】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为.
故选：C.
【变式5-2】（2022·云南模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【解答过程】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【解题思路】先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.
【解答过程】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
【题型6 与抛物线有关的实际应用问题】
【方法点拨】
①要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法建立抛物线方程，利用抛物线的标准方程和其
几何性质进行推理、运算.
②解决此类问题要注意实际问题中的量与抛物线相关量之间的坐标转化.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解到的距离.
【解答过程】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．
故选:B．
【变式6-1】（2022·湖南·高二期末）如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2，水面宽4，那么水下降1后，水面宽为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】建立直角坐标系，利用代入法，结合抛物线的方程进行求解即可.
【解答过程】如图，以拱顶为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，则该拋物线方程为，依题点在其上，所以，，拋物线方程为.设，则，，所以水面宽为，
故选：D.
【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（2）所示.已知接收天线的口径为，深度为.若为接收天线上一点，则点与焦点F的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据题意建立直角坐标系，设抛物线方程为，代入得到，再根据抛物线的几何意义求解即可.
【解答过程】在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，
焦点在轴上，如图所示：
设抛物线方程为，由题知：点在抛物线方程上，
所以，解得.
则点与焦点F的最短距离为.
故选：B.
【变式6-3】（2021·全国·高二课时练习）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）
A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米
【解题思路】首先画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程，由条件求出，由集光板的原理可知，若达到最佳吸收阳光的效果，容器灶圈应在抛物线的焦点处.
【解答过程】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程
集光板端点 ，代入抛物线方程可得，
所以抛物线方程，
故焦点坐标是.
所以容器灶圈应距离集光板顶点.
故选：B.专题3.11 抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫
作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
4．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
5．与抛物线有关的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型1 动点的轨迹问题】
【方法点拨】
根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹，
因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.
【例1】（2022·上海市高三开学考试）在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2021·山东省滕州市高二阶段练习）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 利用抛物线的定义解题】
【方法点拨】
根据具体问题，利用抛物线的定义进行转化求解.
【例2】（2022·云南·高二开学考试）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【变式2-1】（2022·云南·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式2-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【方法点拨】
求抛物线的焦点坐标及准线方程的步骤：
第一步：把抛物线方程化为标准方程；第二步：明确抛物线开口方向；第三步：求出抛物线标准方程中参
数p的值；第四步：写出抛物线的焦点坐标、准线方程.
【例3】（2022·辽宁鞍山·一模）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型4 求抛物线的标准方程】
【方法点拨】
①直接法：直接利用题中已知条件确定参数p.
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数p.
③定义法：先判定所求点的轨迹符合抛物线的定义，进而求出方程.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式4-2】（2022·四川攀枝花·高二期末（理））焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【题型5 与抛物线有关的最值问题】
【方法点拨】
求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解
与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的
转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变
量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.
【例5】（2022·河南·高三开学考试（文））已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式5-2】（2022·云南模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【题型6 与抛物线有关的实际应用问题】
【方法点拨】
①要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法建立抛物线方程，利用抛物线的标准方程和其
几何性质进行推理、运算.
②解决此类问题要注意实际问题中的量与抛物线相关量之间的坐标转化.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·湖南·高二期末）如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2，水面宽4，那么水下降1后，水面宽为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（2）所示.已知接收天线的口径为，深度为.若为接收天线上一点，则点与焦点F的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2021·全国·高二课时练习）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）
A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米
