课件16张PPT。勾股定理
与最短距离┏在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2acb勾股定理 ：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦 ABCABABACB12解： 如图 ，将圆柱
体的侧面展开。AC=BC=12∵三角形ABC是直角三角形，答：最短路程是15 厘米。方法总结曲面上的最短路径问题，一般均可通过展开曲面从而转化成平面上的最短路径问题，我们要通过勾股定理来求出未知线段，需要构造直角三角形。所以在剪开圆柱侧面时，要沿垂直于底面的线剪，这样就得到了长方形，利用直角来构造直角三角形。
练习：圆柱(锥)中的最值问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)问题二：台阶中的最值问题如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
２０２32323ＡＢＣAB=25如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3 （B） √5 （C）2 （D）1分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.C问题三：正方体中的最值问题如图,长方体的长、宽、高分别为4、2、8.现有一小虫从顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C,小虫走的路程最短为多少厘米？ACC1B1C2B28421222B3C3问题四：长方体中的最值问题找方法、巧归纳分别画出立体图形和对应的平面展开图
制作实体模型
归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性规律，并记录在平面图或模型上小 结：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。
四、圆柱(锥)中的最值问题h底面圆周长的一半结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对角线长一、台阶中的最值问题abcbcbＡＢＣAB=c二、正方体中的最值问题C三、长方体中的最值问题 左面和上面前面和上面前面和右面利用勾股定理求最短问题
1、 教学目标
知识与技能：1、熟练掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行简单计算。
2、掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题。
过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力。
2、通过探究勾股定理在实际问题中的应用，将学生的空间想象、动手操作和思考有机的结合起来，同时熟悉并恰当的运用勾股定理。
情感态度与价值观
在数学中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯；体会勾股定理的应用价值，通过本节的学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中去，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。同时在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学习数学的兴趣和信心。
教学重点：1、熟练运用股股定理解决实际问题，掌握最短距离问题。
2、探究空间与平面图形的关系。
教学难点：灵活运用勾股定理解决最短距离问题。
2、教学方法
引导—探究—归纳
本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：
（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；
（2）从学生活动出发，顺势教学过程；
（3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程．
3、课前准备
教具：教材、电脑、多媒体课件．
学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具．
4、教学过程
情境引入
内容：
提出问题1：从二教楼到综合楼怎样走最近？
情景1：如图,一圆柱高12cm,底面半径3cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？( 取3)
意图：
通过问题1复习公理：两点之间线段最短；情景1的创设引入新课，激发学生探究热情．
效果：
从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．
合作探究
内容：
学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．
意图：
通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．
效果：
学生汇总了四种方案：
（1） （2） （3） （4）
学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：，
情形（2）中A→B的路线长为：
所以情形（1）的路线比情形（2）要短．
学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．
如图：
（1）中A→B的路线长为：．
（2）中A→B的路线长为：>AB．
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．
（4）中A→B的路线长为：AB．
得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则．
注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时应该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．
方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：
1．审题——分析实际问题；
2．建模——建立相应的数学模型；
3．求解——运用勾股定理计算；
4．检验——是否符合实际问题的真实性．
小试牛刀
内容：1. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
意图：巩固运用勾股定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．
举一反三
内容：
1．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
解答：.
2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ） （A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
3.如图,长方体的长、宽、高分别为4、2、8.现有一小虫从顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C,小虫走的路程最短为多少厘米？
交流小结
内容：
师生相互交流总结：
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
意图：
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．
效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的成就．
布置作业
1．学案上余下的题
2．学案上例4和练习4
注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题．
附：板书设计
蚂蚁怎样走最近
情境引入———— 小试牛刀： 举一反三—————
合作探究———— １．—————— １． ——————
２．——————
３．——————
课后作业：
利用勾股定理求最短问题学案
学习目标：利用勾股定理知识与其他知识的综合应用解决图形中最短距离问题。
学习重点：勾股定理的综合应用。
学习难点：数形结合法分析问题，灵活运用勾股定理解决最短距离问题。
学习过程：
一、复习回顾
（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 。
（2）如图一个圆柱，沿其母线剪开事物展开侧面图是 。
二、学以致用
例1、如图,一圆柱高12cm,底面半径3cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？( 取3)
例2、 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ） （A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
例4、如图,长方体的长、宽、高分别为4、2、8.现有一小虫从顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C,小虫走的路程最短为多少厘米？
三、巩固练习
1. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
2．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于10cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点（B是最下一层台阶的中点）去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
3．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 .
4.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
