14.2.1 平方差公式 教学设计（表格式）数学人教版八年级上册
文档属性
| 名称 | 14.2.1 平方差公式 教学设计（表格式）数学人教版八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 129.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-20 23:57:45 | ||
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文档简介
平方差公式 教学设计
课 题 14．2.1 平方差公式(第1课时)
课时安排 1 课前准备 多媒体课件、数学软件、互动软件
教材内容 分 析 本课时的核心内容是平方差公式的推导、理解与应用。平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它描述了两项平方之间的差的关系，形式为：a2 b2=(a+b)(a b)。这个公式在代数、几何和实际生活中都有广泛的应用。
设计理念 教学教研：利用教育软件进行模拟教学，教师可以直观地看到学生的学习难点，从而调整教学方法。 课堂应用：通过互动式电子白板和在线学习平台，实现师生、生生的多元互动，提升课堂活力。 学生评价：结合即时反馈系统，教师可以即时掌握学生的学习情况，学生也可以得到即时的学习反馈。 有效反馈：通过数据分析，教师可以针对学生的实际情况进行个性化指导，实现精准教学。
学情分析 一、学生特征分析 知识储备：学生已经掌握了基本的代数知识和多项式的基本概念，但对于平方差公式的理解与应用可能尚不熟练。 学习风格：大部分学生更倾向于直观学习和动手实践，对于单纯的公式推导和理论学习可能感到枯燥。 技术经验：大部分学生对信息技术工具持有积极的态度，并具备一定的操作经验，但可能需要指导如何与数学学习相结合。 二、学习需求与目标分析 学习需求：学生需要理解平方差公式的推导过程，掌握其应用，并能够解决与平方差相关的数学问题。 学习目标：通过本节课的学习，学生应能够熟练运用平方差公式进行计算，并能够解决一些实际问题。 三、学习障碍与困难分析 公式理解障碍：部分学生可能在初次接触平方差公式时对其结构和推导过程感到困惑。 应用困难：学生在面对较为复杂的数学问题时，可能不知道如何有效地使用平方差公式进行求解。 技术整合的适应问题：部分学生可能对新的技术整合教学方式感到不适应，需要一段时间的适应期。
教学目标 【知识与技能】 掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算． 【过程与方法】 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式． 【情感态度与价值观】 通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值．
教学重难点 【教学重点】 平方差公式的推导和应用. 【教学难点】 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式
教学过程
教学环节（一） 师生活动 小明和小红分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a米的正方形空地，小红则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小红说：“咱们换一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对吗？为什么？ 不妨我们来算一下：， 这是多项式乘以多项式，应如何计算呢？前面我们已经学过法则： 小明说的不对，长方形面积比正方形面积少了25平方米.
设计意图 【设计意图】：一方面通过小故事激发学生的学习兴趣，让学生真正动手计算得到结论.另一方面引出本节课的要学习的公式，为后续公式的代数推导和几何推导做铺垫.
教学环节（二） 师生活动 1.自主探究 计算下面多项式的积，你发现什么规律？ 问题1：根据以上算式的结构和所得结果，你能发现什么规律吗？ （等式的左边是两个多项式相乘，这两个多项式分别是两个数的和与这两个数的差；等式的右边是这两个数的平方之差） 问题2：你能否用含字母的式子来表示你所发现的一般规律呢？ （不妨设这两个数分别为a,b,则一般形式可以表示为： 这种形式）
设计意图 【设计意图】：通过计算得出结果后，进一步分析所给这3个式子的结构，通过比较可以总结出等式两边的特点.学生根据所观察到的特点，表达成一般形式，自然而然的引出新知，衔接紧凑，过程流畅
教学环节 （三） 师生活动 2.归纳新知 由上面的几个例子不难发现，都是形如的多项式和的多项式相乘，运用多项式乘以多项式的运算法则，可以得到： ， 乘完后是四项，而化简之后仅剩两项。 所以，这类式子是多项式乘法中比较特殊的一类，在遇到具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即： 让我们的计算更加的快速和准确。 对于这个公式，它有自身的结构特点，用语言来描述，就是“两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”。 所以我们称这个公式为乘法的平方差公式。 问题3：观察上述公式，其结构上有什么特征？ 我们不难发现，等号左边的两个多项式中，“第一个数”a符号相同，“第二个数”b符号相反，等号右边是符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.所以，我们若想利用平方差公式进行计算，可以先观察多项式中是否有符号相同项，相反项，若满足公式结构，便可以直接使用公式计算，而无需再运用多项式乘以多项式的法则. 3.深入探索 大家想一下，我们除了可以从多项式乘法的法则角度来说明平方差公式，还能从什么角度说明呢？还记得引例中的面积问题吗？我们可以尝试利用长方形面积，从几何角度说明平方差公式. 如图1，是一个长为宽为的长方形，其面积是，而这块面积可以分割成两长方形，将其中长为，宽为的长方形剪下，拼到如图2的位置，在剪切的过程中，总面积不变。我们发现在图2中的面积是边长为的大正方形面积，减去空白部分，即边长为的小正方形面积.利用面积的方法，我们再次从几何的角度证明了平方差公式
设计意图 【设计意图】：从几何角度再次证明平方差公式，有利于让学生认识平方差公式的几何意义，借助多媒体动画演示，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想.
教学环节 （四） 师生活动 三.例题讲解 例1.运用平方差公式计算 （2） （3）（4） 【分析】：能否利用平方差公式进行计算，我们需要观察所给式子是否满足平方差公式的结构.也就是说我们需要找到公式中的相同项a，相反项b，所得结果应为相同项的a的平方减去相反项b的平方. （1）观察可知，x为相同项,相当于公式中的a，为相反项，相当于公式中的b，利用公式即为 （2）中为相同项，这个整体看成，2为相反项，看成.最后应为，是；为4，最终结果为. （3）中首先要进行观察，这里-x是相同项，这个整体相当于a，而2y相当于b，最后化简完是x2-4y2. （4）中相同项为(-2a)，相反项为3，所以最终结果为 解:(1) 练习：下列各式中，不能运用平方差公式的是（ ） 【分析】：若能利用平方差公式，则需要在式子中找到相同项a，相反项b,若两项均为相同项，或者均为相反项，则无法利用公式计算.通过观察可知C项中-m和m，n和-n都为相反项，不符合平方差公式的结构特点，因此选择C.
设计意图 【设计意图】：例1和练习可以帮助学生正向认识公式的结构，辨析使用公式所需的条件，为应用公式计算打下基础.
教学环节 （五） 师生活动 例2：计算： (1) (2) （3） （4） 【分析】：（1）中只有前半部分符合公式条件，可以利用平方差公式简便运算，其余的运算仍按照乘法法则进行；（2）是两个数字相乘，通过观察发现这两个数字很有特点，一个是102=100+2,98=100-2，可以利用平方差公式进行简便运算；（3）中相同项为，相反项为，最终结果为；（4）需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
设计意图 【设计意图】：此题从反方向考察对平方差公式结构的理解和掌握，再次强化了公式的结构。公式的反向运用本质为因式分解，所以此题也为后续利用平方差公式因式分解做一个铺垫.
板书设计 1.平方差公式： 文字描述：“两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”. 2.平方差公式的推导 代数推导： 几何推导：
课件设计 此处粘贴课件下载地址，建议放在阿里云盘。
教学反思 我选择了适合学生水平的教材内容，并结合了多种教学方法，如讲解、实例分析、小组讨论等。在讲解过程中，我注重公式的推导过程，并利用数学软件进行动态演示，帮助学生更好地理解。小组讨论环节也取得了不错的效果，学生之间的交流促进了他们对知识的深入理解。 本节课我尝试了技术整合的方法，利用互动软件让学生进行自主探索。实践证明，这种方式能够激发学生的学习兴趣，提高他们的主动学习能力。但在实施过程中，也发现了一些问题，如部分学生对于软件的操作不太熟悉，需要更多的指导。
课 题 14．2.1 平方差公式(第1课时)
课时安排 1 课前准备 多媒体课件、数学软件、互动软件
教材内容 分 析 本课时的核心内容是平方差公式的推导、理解与应用。平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它描述了两项平方之间的差的关系，形式为：a2 b2=(a+b)(a b)。这个公式在代数、几何和实际生活中都有广泛的应用。
设计理念 教学教研：利用教育软件进行模拟教学，教师可以直观地看到学生的学习难点，从而调整教学方法。 课堂应用：通过互动式电子白板和在线学习平台，实现师生、生生的多元互动，提升课堂活力。 学生评价：结合即时反馈系统，教师可以即时掌握学生的学习情况，学生也可以得到即时的学习反馈。 有效反馈：通过数据分析，教师可以针对学生的实际情况进行个性化指导，实现精准教学。
学情分析 一、学生特征分析 知识储备：学生已经掌握了基本的代数知识和多项式的基本概念，但对于平方差公式的理解与应用可能尚不熟练。 学习风格：大部分学生更倾向于直观学习和动手实践，对于单纯的公式推导和理论学习可能感到枯燥。 技术经验：大部分学生对信息技术工具持有积极的态度，并具备一定的操作经验，但可能需要指导如何与数学学习相结合。 二、学习需求与目标分析 学习需求：学生需要理解平方差公式的推导过程，掌握其应用，并能够解决与平方差相关的数学问题。 学习目标：通过本节课的学习，学生应能够熟练运用平方差公式进行计算，并能够解决一些实际问题。 三、学习障碍与困难分析 公式理解障碍：部分学生可能在初次接触平方差公式时对其结构和推导过程感到困惑。 应用困难：学生在面对较为复杂的数学问题时，可能不知道如何有效地使用平方差公式进行求解。 技术整合的适应问题：部分学生可能对新的技术整合教学方式感到不适应，需要一段时间的适应期。
教学目标 【知识与技能】 掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算． 【过程与方法】 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式． 【情感态度与价值观】 通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值．
教学重难点 【教学重点】 平方差公式的推导和应用. 【教学难点】 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式
教学过程
教学环节（一） 师生活动 小明和小红分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a米的正方形空地，小红则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小红说：“咱们换一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对吗？为什么？ 不妨我们来算一下：， 这是多项式乘以多项式，应如何计算呢？前面我们已经学过法则： 小明说的不对，长方形面积比正方形面积少了25平方米.
设计意图 【设计意图】：一方面通过小故事激发学生的学习兴趣，让学生真正动手计算得到结论.另一方面引出本节课的要学习的公式，为后续公式的代数推导和几何推导做铺垫.
教学环节（二） 师生活动 1.自主探究 计算下面多项式的积，你发现什么规律？ 问题1：根据以上算式的结构和所得结果，你能发现什么规律吗？ （等式的左边是两个多项式相乘，这两个多项式分别是两个数的和与这两个数的差；等式的右边是这两个数的平方之差） 问题2：你能否用含字母的式子来表示你所发现的一般规律呢？ （不妨设这两个数分别为a,b,则一般形式可以表示为： 这种形式）
设计意图 【设计意图】：通过计算得出结果后，进一步分析所给这3个式子的结构，通过比较可以总结出等式两边的特点.学生根据所观察到的特点，表达成一般形式，自然而然的引出新知，衔接紧凑，过程流畅
教学环节 （三） 师生活动 2.归纳新知 由上面的几个例子不难发现，都是形如的多项式和的多项式相乘，运用多项式乘以多项式的运算法则，可以得到： ， 乘完后是四项，而化简之后仅剩两项。 所以，这类式子是多项式乘法中比较特殊的一类，在遇到具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即： 让我们的计算更加的快速和准确。 对于这个公式，它有自身的结构特点，用语言来描述，就是“两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”。 所以我们称这个公式为乘法的平方差公式。 问题3：观察上述公式，其结构上有什么特征？ 我们不难发现，等号左边的两个多项式中，“第一个数”a符号相同，“第二个数”b符号相反，等号右边是符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.所以，我们若想利用平方差公式进行计算，可以先观察多项式中是否有符号相同项，相反项，若满足公式结构，便可以直接使用公式计算，而无需再运用多项式乘以多项式的法则. 3.深入探索 大家想一下，我们除了可以从多项式乘法的法则角度来说明平方差公式，还能从什么角度说明呢？还记得引例中的面积问题吗？我们可以尝试利用长方形面积，从几何角度说明平方差公式. 如图1，是一个长为宽为的长方形，其面积是，而这块面积可以分割成两长方形，将其中长为，宽为的长方形剪下，拼到如图2的位置，在剪切的过程中，总面积不变。我们发现在图2中的面积是边长为的大正方形面积，减去空白部分，即边长为的小正方形面积.利用面积的方法，我们再次从几何的角度证明了平方差公式
设计意图 【设计意图】：从几何角度再次证明平方差公式，有利于让学生认识平方差公式的几何意义，借助多媒体动画演示，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想.
教学环节 （四） 师生活动 三.例题讲解 例1.运用平方差公式计算 （2） （3）（4） 【分析】：能否利用平方差公式进行计算，我们需要观察所给式子是否满足平方差公式的结构.也就是说我们需要找到公式中的相同项a，相反项b，所得结果应为相同项的a的平方减去相反项b的平方. （1）观察可知，x为相同项,相当于公式中的a，为相反项，相当于公式中的b，利用公式即为 （2）中为相同项，这个整体看成，2为相反项，看成.最后应为，是；为4，最终结果为. （3）中首先要进行观察，这里-x是相同项，这个整体相当于a，而2y相当于b，最后化简完是x2-4y2. （4）中相同项为(-2a)，相反项为3，所以最终结果为 解:(1) 练习：下列各式中，不能运用平方差公式的是（ ） 【分析】：若能利用平方差公式，则需要在式子中找到相同项a，相反项b,若两项均为相同项，或者均为相反项，则无法利用公式计算.通过观察可知C项中-m和m，n和-n都为相反项，不符合平方差公式的结构特点，因此选择C.
设计意图 【设计意图】：例1和练习可以帮助学生正向认识公式的结构，辨析使用公式所需的条件，为应用公式计算打下基础.
教学环节 （五） 师生活动 例2：计算： (1) (2) （3） （4） 【分析】：（1）中只有前半部分符合公式条件，可以利用平方差公式简便运算，其余的运算仍按照乘法法则进行；（2）是两个数字相乘，通过观察发现这两个数字很有特点，一个是102=100+2,98=100-2，可以利用平方差公式进行简便运算；（3）中相同项为，相反项为，最终结果为；（4）需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
设计意图 【设计意图】：此题从反方向考察对平方差公式结构的理解和掌握，再次强化了公式的结构。公式的反向运用本质为因式分解，所以此题也为后续利用平方差公式因式分解做一个铺垫.
板书设计 1.平方差公式： 文字描述：“两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”. 2.平方差公式的推导 代数推导： 几何推导：
课件设计 此处粘贴课件下载地址，建议放在阿里云盘。
教学反思 我选择了适合学生水平的教材内容，并结合了多种教学方法，如讲解、实例分析、小组讨论等。在讲解过程中，我注重公式的推导过程，并利用数学软件进行动态演示，帮助学生更好地理解。小组讨论环节也取得了不错的效果，学生之间的交流促进了他们对知识的深入理解。 本节课我尝试了技术整合的方法，利用互动软件让学生进行自主探索。实践证明，这种方式能够激发学生的学习兴趣，提高他们的主动学习能力。但在实施过程中，也发现了一些问题，如部分学生对于软件的操作不太熟悉，需要更多的指导。