4.1 因式分解 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第4章 因式分解
4.1 因式分解
1.类比因数分解和因式分解，了解因式分解的意义
2.理解整式乘法与因式分解之间的关系
1.辨析整式乘法与因式分解之间的变形关系
2.掌握因式分解与整式乘法的关系
教学目标
重难点
复习旧知
1. 单项式：若一个代数式是_______________，这样的代数式叫作单项式，单独______或________也是单项式.
数与字母的乘积
一个数
一个字母
例如，
2. 多项式：几个单项式的___叫作多项式.
和
例如，
3. 整式：单项式和多项式统称整式.
导入新课
问题1：993 - 99 能被 100 整除吗？
所以，993 - 99 能被 100 整除.
想一想： 993 -99 还能被哪些整数整除
导入新课
如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

做一做
完成下列题目：
x(x - 2) =_______
(x + y)(x - y) =_______
(x + 1)2 =__________
x2 - 2x
x2 - y2
x2 + 2x + 1
根据左空，解决下列问题：
x2 - 2x = ( )( )
x2 - y2 = ( )( )
x2 + 2x + 1 = ( )2
x
x - 2
x + y
x - y
x + 1
探究新知
联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.
区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
学习新知
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式.
如：am+bm+cm=m(a+b+c)
x2+2x+1=(x+1)2
因式分解也可称为分解因式.
注意
（1）因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式.
（2）因式分解是有范围的，现阶段只要求在有理数范围内进行.
（3）因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数.
（4）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
小牛试刀
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a(a+2b) = 4a2+8ab；
（2）6ax－3ax2 = 3ax(2－x)；
（3）a2－4 = (a+2)(a－2)；
（4）x2－3x+2 = x(x－3)+2.
√
×
√
×
探究新知
因式分解与整式乘法都是整式的变形，这两者有什么区别与联系呢？
如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆变形，即整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形.
归纳新知
因式分解 整式变形
区别
联系 把一个多项式转化为几个整式的积的形式
把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式
m(a+b+c)
ma+mb+mc
整式乘法
因式分解
(a+b)(a-b)
a2-b2
整式乘法
因式分解
(a±b)2
a2±2ab+b2
整式乘法
因式分解
典型例题
【例1】下列由左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？
(1)(a＋3)(a－3)＝a2－9；
(2)m2－4＝(m＋2)(m－2)；
(3)a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1；
(4)2mR＋2mr＝2m(R＋r).
【分析】判断一个由左到右的变形是不是因式分解，关键是看这个变形是不是把一个多项式改写成几个整式的积的形式．
解：(2)(4)是因式分解，因为符合因式分解的定义．
典型例题
【例2】因式分解6x2＋ax＋10＝(3x＋2)(2x＋5)，则a＝________．
【分析】因式分解与整式乘法互逆，计算(3x＋2)(2x＋5)＝6x2＋19x＋10，所以a＝19.
19
随堂练习
③⑥
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 ( )
A. a(a + b - 1) = a2 + ab - a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2
C. -4a2 + 9b2 = (-2a + 3b)(2a + 3b) D.2x +1 = x(2 + )
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有______ .　
① 24x2y = 4x·6xy ② (x + 5)(x﹣5) = x2﹣25
③ x2 + 2x﹣3 = (x + 3)(x﹣1) ④ 9x2﹣6x + 1 = 3x(x﹣2) + 1 ⑤ x2 + 1 = x(x + ) ⑥ 3xn+2 + 27xn = 3xn(x2 + 9)
C
随堂练习
3．对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是(　 　)
A．都是因式分解
B．都是整式乘法运算
C．①是因式分解，②是整式乘法运算
D．①是整式乘法运算，②是因式分解
4．3x(2x－y2)＝6x2－3xy2是__________运算；6x2－3xy2＝3x(2x－y2)是__________运算．
C
整式乘法
因式分解
随堂练习
5. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，则 m + n 的值为 　 ．
　
解析：由题意可得 x2 + 4mx + 5 = (x + 5)(x + n)
= x2 + (n + 5)x + 5n.
∴ 5n = 5，4m = n + 5.
解得 n = 1，m = .
∴ m + n = 1 + = .
随堂练习
6.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解.
x
x
1
x
2
2
1
x
x
x
1
2
x2+3x+2=(x+2)(x+1)
课堂小结
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式叫做这个多项式的因式.
与多项式乘法运算的关系
相反的变形过程.
前者是把一个多项式化为几个整式的乘积，后者是把几个整式的乘积化为一个多项式.
课后作业
完成教材习题4.1
这节课你学到了什么？谈谈你的收获，
小结与反思