7.2 二元一次方程组的解法 课件(3课时、共45张PPT) 2023—2024学年华东师大版数学七年级下册

(共45张PPT)
7.2 二元一次方程组的解法
第1课时 用代入法解二元一次方程组
华东师大版数学七年级下册
问题引入
问题1：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分.如果某队为了争取较好名次，想在全部 22 场比赛中得 40 分.这个队胜、负场数应分别是多少
设他们胜场次数为 x，负场数为 y. 根据题意得
怎么求 x、y 的值呢？
昨天，我们 8 个人去红山公园玩，买门票花了34 元.
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢
还记得下面这一问题吗
设他们中有 x 个成人，y 个儿童.
用代入法解二元一次方程组
x＋y＝8 ,
5x＋3y＝34 .
x + y = 8，
5x + 3y = 34.
5x + 3(8 - x) = 34.
解：设去了 x 个成人，则去了 (8－x) 个儿童，根据题意，得
解得 x = 5.
将 x = 5 代入
8－x = 8－5 = 3.
答:去了 5 个成人，3个儿童.
用一元一次方程求解
解：设去了 x 个成人，去了 y 个儿童，根据题意，得
用二元一次方程组求解
观察：二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？
y = 8 - x
用二元一次方程组求解
解：由 ① 得 y = 8－x. ③
将 ③ 代入 ②，得
5x + 3(8－x) = 34.
解得 x = 5.
把 x = 5 代入 ③，得 y = 3.
x + y = 8 , ①
5x + 3y = 34 . ②
所以原方程组的解为
归纳总结
解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
前面解方程组是通过“代入”消去一个未知数，将方程转化为为一元一次方程来解的.这种解法叫做代入消元法，简称代入法.
将 x = 5 代入③ ，得 y = 2.
所以原方程组的解是
x = 5 ,
y = 2.
解：由 ①，得 y = 7-x ③
将 ③ 代入 ②，得 3x+7-x = 17.
2x =10
x = 5.
例1 解方程组：
x+y = 7, ①
3x+y = 17. ②
典例精析
将 y = 2 代入 ③ ，得 x = 5.
所以原方程组的解是
x = 5，
y = 2.
解：由 ②，得 x = 13-4y ③
将 ③ 代入 ①，得 2(13-4y)+3y = 16
26-8y +3y = 16
-5y = -10
y = 2
例2 解方程组：
2x+3y = 16 , ①
x+4y = 13. ②
归纳总结
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的
方程，将它的某个未知数用含有另一个未知
数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，
可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1 的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是 1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把
求得的解代入每一个方程看是否成立.
y = 2x ,　
x+y = 12 .　
(1)
(2)
2x = y-5 ,
4x+3y = 65 .
1. 解下列方程组.
2.（济南·中考）二元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D.
D
3.（江津·中考）方程组
的解是（ ）
B．
C．
D．
A.
B
解二元一次方程组
基本思路“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
7.2 二元一次方程组的解法
第2课时 用加减法解二元一次方程组
华东师大版数学七年级下册
观察与思考
信息一：已知买 3 瓶苹果汁和 2 瓶橙汁共需 23 元；
信息二：又知买 5 瓶苹果汁和 2 瓶橙汁共需 33 元.
解：设苹果汁的单价为 x 元，橙汁的单价为 y 元，
根据题意得
你会解这个方程组吗？
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
你是怎样解这个方程组的？
解得 y = 4.
把 y = 4 代人 ③ ，得 x = 5.
所以原方程组的解为
除代入消元，
还有其他方法吗？
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
①
②
x = 5,
y = 4.
解：由 ① 得
将 ③ 代入 ② 得
③
用加减法解二元一次方程组
仔细观察这组方程，你有什么发现吗？
解：②-① 得 5x-3x = 33-23 ，
解得 x = 5 .
将 x = 5 代入 ① 得 15+2y = 23，
解这个方程得 y = 4.
所以原方程组的解是
①
②
3x+2y = 23,
5x+2y = 33.
②-① 的话就只剩下一个未知数了.
x = 5,
y = 4.
这样是不是更简单呢？
解：②+①得 7x = 14 ，
解得 x = 2 .
将 x = 2 代入 ① 得 6+7y = 9,
解这个方程得 .
所以原方程组的解是
典例精析
例1 用加减法解方程组：
归纳总结
像上面这种解二元一次方程组的方法，叫做加减消元法，简称加减法.
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时，可以把方程的两边分别相加或相减消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解.
例2 用加减法解方程组:
①
②
对于当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．
分析：
所以原方程组的解是
解：
③+④ 得: 19x = 144，
x = 6.
把 x=6 代入 ②，得 30+6y = 42，
解得： y＝2.
①×3 得：
9x－12y = 30 ③
②×2 得：
10x+12y = 84 ④
归纳总结
主要步骤：
特点：
基本思路：
写解
求解
加减
二元
一元.
利用加减消元：
消去一个元；
分别求出两个未知数的值；
写出原方程组的解.
同一个未知数的系数相同或互为相反数；
当未知数系数的绝对值不同时，先利用等式的
性质将其化为相同即可.
用加减法解二元一次方程组：
1.（芜湖·中考）方程组 的解
是 ．
①
②
2. 用加减法解方程组
6x + 7y = －19，①
6x - 5y = 17 ②
应用（ ）
A. ① - ② 消去 y
B. ① - ② 消去 x
C. ② - ① 消去常数项
D. 以上都不对
B
解： ②×4 得：
所以原方程组的解为
3.（青岛·中考）解方程组：
①＋③ 得：7x = 35，
解得：x = 5.
把 x = 5 代入 ② 得，y = 1.
③
4x-4y = 16
解二元一次方程组
基本思路“消元”
加减法解二元一次方程组的一般步骤
7.2 二元一次方程组的解法
第 3 课时 二元一次方程组与实际问题
华东师大版数学七年级下册
问题引入
小刚买了 3 kg 苹果，
2 kg 梨，共花了18.8元.
小玲买了 2 kg 苹果，
3 kg 梨，共花了18.2 元.
你能算出苹果和梨各自的单价吗？
列方程组解决简单实际问题
互动探究
问题 1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量：苹果的单价，梨的单价.
问题 2 题中有哪些等量关系？
(1) 3 千克苹果和 2 千克梨共 18.8 元；
(2) 2 千克苹果和 3 千克梨共 18.2 元.
设未知数：设苹果的单价为 x 元/千克，
梨的单价为 y 元/千克.
解：设苹果的单价为 x 元/千克，梨的单价为 y 元/千克，
根据小刚和小玲卖水果花费的费用，列方程组：
所以，苹果的单价为 4 元/千克，梨的单价为 3.4 元/千克.
例1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分. 市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分，试问该队胜几场，平几场？
分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数 + 平的场数 = 11；
胜场得分 + 平场得分 = 27.
胜场 平场 合计
场数
得分
x
3x
y
y
11
27
典例精析
解：设市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场.依题意可得
8
y
3x
y
3
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
x
通过上述两题，总结
用二元一次方程组解
决实际问题的步骤.
例2 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工 6 吨或者粗加工 16 吨.现计划用 15 天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000 元，精加工后为 2000 元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析：问题的关键是解答前一个问题，即先求出安排粗加工和精加工的天数.从题目信息可以得到的等量关系有：
粗加工天数+精加工天数=15；
粗加工任务+精加工任务=140.
解：设应安排 x 天粗加工，y 天精加工.依题意可得：
解这个方程组，得
出售这些加工后的蔬菜一共可获利：
1000×16×5+2000×6×10=200 000（元）.
答：应安排 5 天粗加工，10 天精加工，加工后出售共可获利 200 000 元.
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1) 审题：弄清题意和题目中的_________；
(2) 设元：用______表示题目中的未知数；
(3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4) 解方程组：利用__________法或___________法
解出未知数的值；
(5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答.
总结归纳
等量关系
字母
2
代入消元
加减消元
某城市规定：出租车起步价所包含的路程为
0～3 km，超过 3 km 的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘这种出租车走了 11 km，付了 17 元.”
乙说：“我乘这种出租车走了 23 km，付了 35 元.”
请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过 3 km 后，每千米的车费是多少元？
分析 本问题涉及的等量关系有：
总车费 = 0～3 km 的车费(起步价) + 超过 3 km 的车费.
小试身手
解: 设出租车的起步价是 x 元，超过 3 km 后每千米收费 y 元.
根据等量关系，得
解得
答：这种出租车的起步价是 5 元，超过 3 km 后每千米
收费 1.5 元.
起步价 超过 3 km后的费用 合计费用
甲
乙
x
x
(11 - 3)y
(23 - 3)y
17
35
1. 有大小两种货车，2 辆大车与 3 辆小车一次可以运货 15.5 吨；5 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 35 吨.3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？
解：设 1 辆大车一次运货 x 吨，1 辆小车一次运货 y
吨，根据题意列出方程组得：
（以下部分由同学们完成）
2. 计划若干节车皮装运一批货物. 如果每节装 15.5 吨，那么有 4 吨装不下，如果每节装 16.5 吨，那么还可多装 8 吨. 问有多少节车皮？多少吨货物？
解得
答：有 12 节车皮，190 吨货物.
3. 甲、乙两人都从 A 地到 B 地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走 6 千米乙再动身，那么乙走 小时后恰好与甲同时到达 B 地；如果甲先走 1 小时，那么乙用 小时可追上甲．求两人的速度．
【解析】 设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时，那么有右侧线段示意图．
解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y
千米/时，则：
（以下部分由同学们完成）
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
审题：弄清题意和题目中的________
设元：用_____表示题目中的未知数
列方程组: 根据__个等量关系列出方程组
解方程组:
检验作答
数量关系
字母
2
代入法，
加减法
其他类型问题
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