6.3 实践与探索 课件(3课时、共66张PPT) 2023—2024学年华东师大版数学七年级下册

(共66张PPT)
6.3 实践与探索
第1课时 等积变形问题
华东师大版数学七年级下册
情境引入
从一个水杯向另一个水杯倒水.
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
图形的等长变化
合作探究
(1) 若该长方形的长比宽多 1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变.
用一根长为 10 米的铁丝围成一个长方形.
x m
(x+1.4) m
等量关系：
（长+宽）× 2 = 周长
解： 设此时长方形的宽为 x 米，则它的长为 (x+1.4) 米. 根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10
解得 x = 1.8
长：1.8+1.4 = 3.2
此时长方形的长为 3.2 米，宽为 1.8 米.
(2) 若该长方形的长比宽多 0.8 米，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与 (1) 中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x+0.8) m.根据题意，得
(x+0.8+x)×2 = 10
解得 x = 2.1
长：2.1+0.8 = 2.9
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，面积为
2.9×2.1 = 6.09 (m2)，(1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76 (m2).
此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大 6.09－5.76 = 0.33 (m2).
(3) 若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与 (2) 中相比，又有什么变化？
x m
(x+x) ×2 = 10
解得 x = 2.5
正方形的面积为 2.5 × 2.5 = 6.25 (平方米)
解：设正方形的边长为 x 米.
根据题意，得
比 (2) 中面积增大 6. 25-6.09 = 0.16（平方米）
正方形的边长为 2.5 米
同样长的铁丝可以围更大的地方.
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长 2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
典例精析
【解析】比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为 r m，则正方形的边长为
[r＋2(π－2)] m.根据题意，得
答：铁丝的长为 8π m，圆的面积较大．
因为 4π×4 ＞ 4π×π，所以 16π ＞ 4π2，
所以圆的面积大．
正方形的面积为 [4＋2(π－2)]2 ＝ 4π2(m 2)．
所以圆的面积是 π×42 ＝ 16π(m 2)，
所以铁丝的长为 2πr ＝ 8π(m)．
2πr ＝ 4(r＋2π－4)，解得 r ＝ 4.
(1) 形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2) 形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
归纳总结
图形的等积变化
某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由 4 m 减少为 3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m 变为多少米？
合作探究
1. 如果设水箱的高变为 x m，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
体积/m
2
1.6
4
x
π×22×4
π×1.62×x
3. 列出方程并求解.
2. 根据表格中的分析，找出等量关系.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积
π×22×4
π×1.62×x
=
解得 x = 6.25
因此，水箱的高度变成了 6.25 m.
例2 一种牙膏出口处直径为 5 mm，小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用 36 次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出 1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得
解这个方程，得 x ＝ 25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
思考：
1. 审——通过审题找出等量关系.
6. 答——注意单位名称.
5. 检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符
合实际问题.
4. 解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3. 列——依据找到的等量关系，列出方程.
2. 设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
做一做
1. 要锻造一个直径为 8 厘米、高为 4 厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为 4 厘米的圆钢______厘米.
2. 钢锭的截面是正方形，其边长是 20 厘米，要锻造成长、宽、高分别为 40 厘米、30 厘米、10 厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
答：应截取这种钢锭 30 厘米.
16
1. 一个长方形的周长是 40 cm，若将长减少 8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为 ( )
A. 6 cm　　　　　　B. 7 cm　　　
C. 8 cm　　　　　　D. 9 cm
B
C
2. 一个梯形的面积是 60 cm2，高为 5 cm，它的上底比下底短 2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为 x cm，则下面所列方程正确的是 ( )
3. 根据图中给出的信息，可得正确的方程是 (　　)
A
A. π×42x = π×32×(x+5) B. π×42x = π×32×(x-5)
C. π×82x = π×62×(x+5) D. π×82x = π×62×(x-5)
应用一元一次方程
图形等长变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等积变化
列
⑤检
④解
设
审
⑥答
6.3 实践与探索
第2课时 销售问题及百分率问题
华东师大版数学七年级下册
情境引入
清仓处理
跳楼价
满200返100
五折销售
销售中的盈亏
合作探究
1. 进价 100 元的商品提价 40% 后，标价为________元，若按标价的八折销售，则售价为________元，此商品的利润为________元，利润率是________.
2. 某商品原价是 a 元，现在每件打九折销售，则此时的售价是 　　　元.
3. 一件商品打 x 折出售，就是用原价乘 　　　.　　　　　
140
112
12
0.9a
12％
填空：
问题1：上面的打折销售问题中有哪些量
成本价(进价)
标价(原价)
销售价
利润
利润率
问题2：这些量有何关系
大家想一想！
进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价).
售价：在销售商品时的售出价(有时称成交价，卖出价).
标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）.
利润：在销售商品的过程中的纯收入，利润＝售价-进价.
有关销售的概念
利润率：利润占进价的百分率，即：
利润率 ＝ 利润÷进价×100%.
概念学习
理一理：打折促销活动中各个量与量之间有怎样的等量关系？
进价＋提价 = 标价
售价－进价（成本）= 利润
进价×利润率 = 利润
标价×折扣率 = 售价
打折或减价
标价
售价
进价
提价
利润、利润率
(1) 某商品的进价为 80 元，在进价的基础上提高 20% 后标价，则标价为 元.
(2) 标价为 500 元的商品打 9 折后的售价为 元.
(3) 某商品每件的销售利润是 72 元，进价是 120 元，则售价是 元.
(4) 某商品利润率为 13%，进价为 50 元，则利润是
元.
(80＋80×20%)
（500×0.9）
（50×13%）
（120＋72）
96
450
6.5
192
做一做
商品利润
利润率 =
= 商品售价－商品进价
●售价、进价、利润的关系：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
商品进价
×100%
折扣数
●标价、折扣数、商品售价的关系：
商品售价 =
标价×
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价 =
×(1 + 利润率)
打
折
销
售
要点归纳
A. 盈利
B. 亏损
C. 不盈不亏
你估计盈亏情况是怎样的？
典例精析
例1 一商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25% ，另一件亏损 25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏
￥60
￥60
思考：销售的盈亏决定于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系
总售价 ＞ 总成本
总售价 ＜ 总成本
总售价 ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
(2) 设亏损 25% 的衣服进价是 y 元，
依题意得 y－0.25y ＝ 60
解得 y ＝ 80
(1) 设盈利 25% 的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25 x ＝ 60
解得 x ＝ 48
解：
两件衣服总成本：x+y = 48＋80 ＝128(元)
因为 120－128 ＝ －8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了 8 元.
与你猜想的一致吗？
1. 某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为 960 元.其中一台盈利 20%，另一台亏损 20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
练一练
2. 某文具店有两个进价不同的计算器都卖 64 元，其中一个盈利 60%，另一个亏本 20%.这次交易中的盈亏情况？
答案：买这两个计算器盈利 8 元.
答案：这次琴行亏本 80 元.
例2 一件服装先将进价提高 25% 出售，后进行促销活动，又按标价的 8 折出售，此时售价为 60 元. 请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
解：设这件衣服的进价是 x 元，
则提价后的售价是 (1＋25%)x 元，
促销后的售价是 (1＋25%)x×0.8 元，
依题意得 (1＋25%)x×0.8 ＝ 60
解得 x ＝ 60
售价 60 = 成本 60 答：这家商店不盈不亏.
练一练
1. 某商品在原价的基础上提高 25% 标价，若想调回原价，应降价的百分率为 .
20%
2. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在 2021 年涨价 30% 后，2023 年降价 70% 至 a 元，则这种药品在 2005 年涨价前价格为 元.
1. 某商品的进价是 1000 元，售价是 1500 元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于 5%，那么商店最多可打几折出售此商品？
解:设商店最多可以打 x 折出售此商品，
根据题意，得
1500× = 1000(1+5%)
解得 x = 7
答:商店最多可以打 7 折出售此商品.
2. 据了解个体商店销售中售价只要高出进价的 20% 便可盈利，但老板们常以高出进价 50% ~ 100% 标价，假若你准备买一双标价为 600 元的运动鞋，应在什么范围内还价？
高于进价 50% 标价 高于进价 100% 标价
进价 x 元 y 元
标价 (1＋50%)x (1＋100%)y
方程 (1＋50%)x ＝ 600 (1＋100%)y ＝ 600
方程的解 x ＝ 400 y ＝ 300
盈利价 400(1＋20%) ＝ 480 300(1＋20%) ＝ 360
答：应在 480 元 ~ 360 元内还价.
商品利润
利润率 =
= 商品售价－商品进价
●售价、进价、利润的关系：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
商品进价
×100%
折扣数
●标价、折扣数、商品售价的关系：
商品售价 =
标价×
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价 =
×(1 + 利润率)
打
折
销
售
6.3 实践与探索
第 3 课时 速率问题
华东师大版数学七年级下册
情境引入
你知道它蕴含的是我们数学中的什么问题吗？
相遇问题
星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆. 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑 10 km，他在上午 10 时到达；小强每时骑 15 km，他在上午 9 时 30 分到达.求他们的家到雷锋纪念馆的路程.
情境引入
由于小斌的速度较慢，因此他花的时间比小强花的时间多.
本问题中涉及的等量关系有：
.
因此，设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为 s km，
解得 s = ＿＿＿＿.
因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为 km．
根据等量关系，得
.
15
15
注意单位要统一.
例1 小明与小红的家相距 20 km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为 13 km/h，小红骑车的速度是 12 km/h.
(1) 如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
分析：由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即
小明走的路程+小红走的路程 = 两家之间的距离(20 km).
典例精析
解：设小明与小红骑车走了 x h 后相遇，
则根据等量关系，得
13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：经过 0.8 h 他们两人相遇.
小明走的路程
小红走的路程
(2) 如果小明先走 30 min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
小明先走的路程
小红出发后小明走的路程
小红走的路程
解：设小红骑车走了 t h 后与小明相遇，
则根据等量关系，得
13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走 0.54 h 后与小明相遇.
路程＝速度×时间
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
相遇问题
总结归纳
注意相向而行的始发时间和地点.
甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行．已知 A，B 两地的距离为 480 km，且甲车以 65 km/ h 的速度行驶．若两车 4 h 后相遇，则乙车的行驶速度是多少？
答：乙车的行驶速度是 55 km/h.
练一练
例2 小明早晨要在 7:20 以前赶到距家 1000 米的学校上学．一天，小明以 80 米/分钟的速度出发，5 分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以 180 米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他．
问爸爸追上小明用了多长时间？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
追及问题
解：设爸爸追上小明用了 x 分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.
据题意，得 80×5＋80x = 180x.
答：爸爸追上小明用了 4 分钟．
解得 x = 4.
80×5
80x
180x
一队学生步行去郊外春游，每小时走 4 km，学生甲因故推迟出发 30 min，为了赶上队伍，甲以 6 km/h的速度追赶，问甲用多少时间就可追上队伍？
答：该生用了 1 小时追上了队伍.
练一练
路程 ＝ 速度×时间
S快－S慢 = S原来距离
追及问题
总结归纳
注意同向而行始发时间和地点.
例3 生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要 40 h 完成.现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起做 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？
分析：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
×
＝
×
工作量之和等于总工作量 1 .
工程问题
×
×
＝
解：设先安排 x 人做 4 h，根据题意得等量关系：
可列方程
解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x ＝ 24，
x ＝ 2.
答：应先安排 2人做 4 小时.
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量 1
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
做一做
根据工作效率×工作时间 = 工作量，列方程:
解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得
答：要 8 天可以铺好这条管线.
分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 .
解方程，得
解决工程问题的思路：
1. 三个基本量：
三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作 1 ，则工作效率 =
2. 相等关系：
(1) 按工作时间，各时间段的工作量之和 = 完成的工作量.
(2) 按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量+乙的工作量 = 完成的工作量.
要点归纳
1．甲每小时走 5 千米，甲出发 4.5 小时后，乙骑车从同一地点出发追赶甲，乙用了 35 分钟追上甲，设乙骑车的速度为 x 千米/时，则所列方程为(　　)
B
2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距 170 千米的 A，B 两地相向而行，2 小时相遇，如果甲比乙每小时多行 5 千米，则乙每小时行(　　)
A．30千米 B．40千米 C．50千米 D．45千米
B
3．甲、乙两人在 400 米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，甲的速度是 6 米/秒，乙的速度是 4 米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了(　　)
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
A
4. 一项工作，甲独做需 18 天，乙独做需 24 天，如果两人合做 8 天后，余下的工作再由甲独做 x 天完成，
那么所列方程为____________.
行程问题
路程＝速度×时间
相遇问题
追及问题
甲走的路程+乙走的路程 =甲、乙之间的距离
S快－S慢= S原来距离
解决工程问题的思路：
1. 三个基本量：
三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作 1 ，则工作效率 =
2. 相等关系：
(1) 按工作时间，各时间段的工作量之和 = 完成的工作量.
(2) 按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量+乙的工作量 = 完成的工作量.
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