2023-2024学年华师版数学七年级下册 6.2.2 解一元一次方程 教案（3课时）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年华师版数学七年级下册 6.2.2 解一元一次方程 教案（3课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 694.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-20 20:54:57 | ||
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文档简介
6.2 解一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
第1课时 解含括号的一元一次方程
理解一元一次方程的概念.
掌握解含括号的一元一次方程的方法.（重难点）
一、情境导入
复习提问：
1．移项，合并同类项，系数化为1，要注意什么？
2．一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．
(1)题目中的等量关系是______________．
(2)根据题意可列方程为______________．
你能解这个方程吗？
二、合作探究
探究点一：一元一次方程的概念
【类型一】 一元一次方程的辨别
下列方程中是一元一次方程的有( )
A．x＋3＝y＋2 B．1－3(1－2x)＝-2(5-3x)
C．x-1＝ D.－2＝2y-7
解析：A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．故选D.
方法总结：判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程．
【类型二】 利用一元一次方程的概念求字母参数的值
方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则( )
A．m＝±1 B．m＝1
C．m＝-1 D．m≠-1
解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足含有1个未知数，未知数的次数为1且系数不等于0，所以，解得m＝1.故选B.
方法总结：解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可求方程中相关字母的值．
探究点二：利用去括号解一元一次方程
【类型一】 用去括号的方法解方程
解下列方程：
(1)4x-3(5-x)＝6；
(2)5(x＋8)-5＝6(2x-7)．
解析：先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．
解：(1)去括号得4x-15＋3x＝6，
移项、合并同类项得7x＝21，
系数化为1得x＝3；
(2)去括号得5x＋40-5＝12x-42，
移项、合并同类项得-7x＝-77，
系数化为1得x＝11.
方法总结：解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.在具体解方程时，不论进行到哪一步，只要得出方程的解，下面的步骤就不用再进行了．
【类型二】应用方程思想求值
当x为何值时，代数式2(x2-1)-x2的值比代数式x2＋3x-2的值大6.
解析：先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
解：依题意得2(x2-1)-x2-(x2＋3x-2)＝6，
去括号得2x2-2-x2-x2-3x＋2＝6，
移项、合并同类项得-3x＝6，
系数化为1得x＝-2.
方法总结：先按要求列出方程，然后按照去括号，移项，把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边，然后合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．
三、板书设计
解一元一次方程——去括号：
去括号的规律：(1)将括号外的因数连同它前面的符号看成一个整体，利用分配律将它与括号内的每一项相乘，即a(b＋c)＝ab＋ac；(2)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
本节课的教学先让学生回顾上一节所学的知识，复习巩固方程的解法，让学生进一步明白解方程的步骤是逐渐发展的，后面的步骤是在前面步骤的基础上发展而成．然后通过一个实际问题，列出一个有括号的方程，大胆放手让学生去探索、猜想各种方法，去尝试各种解题的途径，启发学生探索新的解题方法．
6.2 解一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
第2课时 利用去分母解一元一次方程
1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；(重点)
2．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的步骤．(难点)
一、问题引入
1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？
2．求下列几组数的最小公倍数：
(1)2，3； (2)2，4，5.
3．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？
4．如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？那么这一节课我们来共同解决这样的问题．
二、合作探究
探究点一：用去分母解一元一次方程
(1) -x =.
(2)x- ＝ -3.
解析：(1)先在方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3(x-3)-6x＝2，再去括号，移项、合并同类项、系数化为1解方程．
(2)先在方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x-3(x-2)＝5(2x-5)-45，再去括号，移项、合并同类项、系数化为1解方程．
解：(1)－x＝
去分母得3(x-3)-6x＝2，
去括号得3x-9-6x＝2，
移项得3x-6x＝2+9，
合并同类项得-3x＝11,
系数化为1得x＝
(2)x - ＝ -3，
去分母得15x-3(x-2)＝5(2x－5)-45，
去括号得15x-3x＋6＝10x-25-45，
移项得15x-3x-10x＝-25-45-6，
合并同类项得2x＝-76，
系数化为1得x＝-38.
方法总结：解方程应注意以下两点：①去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．
探究点二 去分母解一元一次方程的应用
【类型一】 列方程求解
(1)当k取何值时，代数式的值比的值小1
(2)当k取何值时，代数式与的值互为相反数？
解析：根据题意列出方程，然后解方程即可．
解：(1)根据题意可得－＝1，
去分母得3(3k＋1)-2(k＋1)＝6，
去括号得9k＋3-2k-2＝6，
移项得9k-2k＝6＋2-3，
合并同类项得7k＝5，
系数化为1得k＝；
(2)根据题意可得＋＝0，
去分母得2(k＋1)＋3(3k＋1)＝0，
去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，
移项得2k＋9k＝-3-2，
合并同类项得11k＝-5，
系数化为1得k＝-.
方法总结：先按要求列出方程，然后按照去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．
【类型二】求字母参数的值
已知方程＋＝1- 与关于x的方程x＋＝ -3x的解相同，求a的值．
解析：求出第一个方程的解，把求出的x的值代入第二个方程，求出所得关于a的方程的解即可．
解：＋＝1－
去分母得2(1-2x)＋4(x＋1)＝12-3(2x-1)
去括号得2-4x＋4x＋4＝12-6x＋3
移项,合并同类项得6x＝9，
系数化为1得x＝.
把x＝代入x＋＝－3x，
得＋＝－，
去分母得9＋18－2a＝a－27，
合并同类项得-3a＝-54，
系数化为1得a＝18.
方法总结：此类问题的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程求解．
三、板书设计
解含有分母的一元一次方程
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项，合并同类项；
(4)系数化为1.
本节课采用的教学方法是讲练结合，通过一个简单的实例让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤，通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程，进而使方程的计算更加简便．
在解方程去分母的过程中，发现学生还存在以下问题：①部分学生不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘以方程两边的项时，漏乘不含分母的项；③当分子是多项式时，要把分子作为一个整体加上括号后去分母，分子没有作为一个整体加上括号，容易弄错符号；④去括号，移项时要注意符号的变化．
6.2 解一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
第3课时 实际问题与一元一次方程
1．以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题；(重点，难点)
2．体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识；(重点)
3．培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．(重点)
一、情境导入
在中国古代问题中，有一个非常有趣的“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四，问鸡兔各多少？
二、合作探究
探究点一：根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题
某单位计划“五一”期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位．
(1)该单位参加旅游的职工有多少人？
(2)如同时租用这两种客车若干辆，问有无可能使每辆车刚好坐满？如有可能，两种车各租多少辆？(此问可只写结果，不写分析过程)
解析：(1)先设单独租用40座的客车x辆刚好坐满，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；
(2)可根据租用两种汽车时，利用假设一种车的数量，进而得出另一种车的数量求出即可．
解：(1)设单独租用40座的客车x辆刚好坐满，由题意得方程：
40x=50(x-1)-40，
解得x＝9.
故 该单位参加旅游的职工有:40×9=360人.
答:该单位参加旅游的职工有360人；
(2)有可能，因为租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满．
方法总结：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解．
探究点二： 根据“各部分量的和=总量”列方程解决问题
今年5月，在中国东莞举办了苏迪曼杯羽毛球团体赛．在17日的决赛中，中国队战胜日本队夺得了冠军．某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛．已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
解析：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了(8-x)张，根据题意建立方程，求出方程的解就可以得出结论．
解：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了(8-x)张，由题意得
300x＋400×(8-x)＝2700，
解得x＝5，
∴买了每张400元的门票的张数为：8-5＝3(张)．
答：每张300元的门票买了5张，每张400元的门票买了3张．
方法总结：解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤：①根据题意找出等量关系；②列出方程；③解方程；④作答．
三、板书设计
本节课以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关．然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣．
6.2.2 解一元一次方程
第1课时 解含括号的一元一次方程
理解一元一次方程的概念.
掌握解含括号的一元一次方程的方法.（重难点）
一、情境导入
复习提问：
1．移项，合并同类项，系数化为1，要注意什么？
2．一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．
(1)题目中的等量关系是______________．
(2)根据题意可列方程为______________．
你能解这个方程吗？
二、合作探究
探究点一：一元一次方程的概念
【类型一】 一元一次方程的辨别
下列方程中是一元一次方程的有( )
A．x＋3＝y＋2 B．1－3(1－2x)＝-2(5-3x)
C．x-1＝ D.－2＝2y-7
解析：A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．故选D.
方法总结：判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程．
【类型二】 利用一元一次方程的概念求字母参数的值
方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则( )
A．m＝±1 B．m＝1
C．m＝-1 D．m≠-1
解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足含有1个未知数，未知数的次数为1且系数不等于0，所以，解得m＝1.故选B.
方法总结：解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可求方程中相关字母的值．
探究点二：利用去括号解一元一次方程
【类型一】 用去括号的方法解方程
解下列方程：
(1)4x-3(5-x)＝6；
(2)5(x＋8)-5＝6(2x-7)．
解析：先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．
解：(1)去括号得4x-15＋3x＝6，
移项、合并同类项得7x＝21，
系数化为1得x＝3；
(2)去括号得5x＋40-5＝12x-42，
移项、合并同类项得-7x＝-77，
系数化为1得x＝11.
方法总结：解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.在具体解方程时，不论进行到哪一步，只要得出方程的解，下面的步骤就不用再进行了．
【类型二】应用方程思想求值
当x为何值时，代数式2(x2-1)-x2的值比代数式x2＋3x-2的值大6.
解析：先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
解：依题意得2(x2-1)-x2-(x2＋3x-2)＝6，
去括号得2x2-2-x2-x2-3x＋2＝6，
移项、合并同类项得-3x＝6，
系数化为1得x＝-2.
方法总结：先按要求列出方程，然后按照去括号，移项，把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边，然后合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．
三、板书设计
解一元一次方程——去括号：
去括号的规律：(1)将括号外的因数连同它前面的符号看成一个整体，利用分配律将它与括号内的每一项相乘，即a(b＋c)＝ab＋ac；(2)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
本节课的教学先让学生回顾上一节所学的知识，复习巩固方程的解法，让学生进一步明白解方程的步骤是逐渐发展的，后面的步骤是在前面步骤的基础上发展而成．然后通过一个实际问题，列出一个有括号的方程，大胆放手让学生去探索、猜想各种方法，去尝试各种解题的途径，启发学生探索新的解题方法．
6.2 解一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
第2课时 利用去分母解一元一次方程
1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；(重点)
2．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的步骤．(难点)
一、问题引入
1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？
2．求下列几组数的最小公倍数：
(1)2，3； (2)2，4，5.
3．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？
4．如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？那么这一节课我们来共同解决这样的问题．
二、合作探究
探究点一：用去分母解一元一次方程
(1) -x =.
(2)x- ＝ -3.
解析：(1)先在方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3(x-3)-6x＝2，再去括号，移项、合并同类项、系数化为1解方程．
(2)先在方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x-3(x-2)＝5(2x-5)-45，再去括号，移项、合并同类项、系数化为1解方程．
解：(1)－x＝
去分母得3(x-3)-6x＝2，
去括号得3x-9-6x＝2，
移项得3x-6x＝2+9，
合并同类项得-3x＝11,
系数化为1得x＝
(2)x - ＝ -3，
去分母得15x-3(x-2)＝5(2x－5)-45，
去括号得15x-3x＋6＝10x-25-45，
移项得15x-3x-10x＝-25-45-6，
合并同类项得2x＝-76，
系数化为1得x＝-38.
方法总结：解方程应注意以下两点：①去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．
探究点二 去分母解一元一次方程的应用
【类型一】 列方程求解
(1)当k取何值时，代数式的值比的值小1
(2)当k取何值时，代数式与的值互为相反数？
解析：根据题意列出方程，然后解方程即可．
解：(1)根据题意可得－＝1，
去分母得3(3k＋1)-2(k＋1)＝6，
去括号得9k＋3-2k-2＝6，
移项得9k-2k＝6＋2-3，
合并同类项得7k＝5，
系数化为1得k＝；
(2)根据题意可得＋＝0，
去分母得2(k＋1)＋3(3k＋1)＝0，
去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，
移项得2k＋9k＝-3-2，
合并同类项得11k＝-5，
系数化为1得k＝-.
方法总结：先按要求列出方程，然后按照去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．
【类型二】求字母参数的值
已知方程＋＝1- 与关于x的方程x＋＝ -3x的解相同，求a的值．
解析：求出第一个方程的解，把求出的x的值代入第二个方程，求出所得关于a的方程的解即可．
解：＋＝1－
去分母得2(1-2x)＋4(x＋1)＝12-3(2x-1)
去括号得2-4x＋4x＋4＝12-6x＋3
移项,合并同类项得6x＝9，
系数化为1得x＝.
把x＝代入x＋＝－3x，
得＋＝－，
去分母得9＋18－2a＝a－27，
合并同类项得-3a＝-54，
系数化为1得a＝18.
方法总结：此类问题的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程求解．
三、板书设计
解含有分母的一元一次方程
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项，合并同类项；
(4)系数化为1.
本节课采用的教学方法是讲练结合，通过一个简单的实例让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤，通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程，进而使方程的计算更加简便．
在解方程去分母的过程中，发现学生还存在以下问题：①部分学生不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘以方程两边的项时，漏乘不含分母的项；③当分子是多项式时，要把分子作为一个整体加上括号后去分母，分子没有作为一个整体加上括号，容易弄错符号；④去括号，移项时要注意符号的变化．
6.2 解一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
第3课时 实际问题与一元一次方程
1．以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题；(重点，难点)
2．体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识；(重点)
3．培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．(重点)
一、情境导入
在中国古代问题中，有一个非常有趣的“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四，问鸡兔各多少？
二、合作探究
探究点一：根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题
某单位计划“五一”期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位．
(1)该单位参加旅游的职工有多少人？
(2)如同时租用这两种客车若干辆，问有无可能使每辆车刚好坐满？如有可能，两种车各租多少辆？(此问可只写结果，不写分析过程)
解析：(1)先设单独租用40座的客车x辆刚好坐满，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；
(2)可根据租用两种汽车时，利用假设一种车的数量，进而得出另一种车的数量求出即可．
解：(1)设单独租用40座的客车x辆刚好坐满，由题意得方程：
40x=50(x-1)-40，
解得x＝9.
故 该单位参加旅游的职工有:40×9=360人.
答:该单位参加旅游的职工有360人；
(2)有可能，因为租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满．
方法总结：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解．
探究点二： 根据“各部分量的和=总量”列方程解决问题
今年5月，在中国东莞举办了苏迪曼杯羽毛球团体赛．在17日的决赛中，中国队战胜日本队夺得了冠军．某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛．已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
解析：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了(8-x)张，根据题意建立方程，求出方程的解就可以得出结论．
解：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了(8-x)张，由题意得
300x＋400×(8-x)＝2700，
解得x＝5，
∴买了每张400元的门票的张数为：8-5＝3(张)．
答：每张300元的门票买了5张，每张400元的门票买了3张．
方法总结：解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤：①根据题意找出等量关系；②列出方程；③解方程；④作答．
三、板书设计
本节课以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关．然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣．