2023-2024学年华师版数学七年级下册 7.2 二元一次方程组的解法 教案（5课时）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年华师版数学七年级下册 7.2 二元一次方程组的解法 教案（5课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 785.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-20 21:04:13 | ||
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文档简介
7.2 二元一次方程组的解法
第1课时 用代入法解未知数系数含1或-1的方程组
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
一、情境导入
十一假期，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？
二、合作探究
探究点一：代入消元法
【类型一】 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数
把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）x﹣3y＝13； （2）3x+2y＝5；
（3）5x﹣10y+15＝0． （4）4x﹣5y+6＝x+3y﹣4．
解析：把x看做已知数求出y即可．
解：（1）方程x﹣3y＝13， 解得 y＝；
（2）方程3x+2y＝5，解得 y＝；
（3）5x﹣10y+15＝0，﹣10y＝﹣5x﹣15，解得y＝x+；
（4）方程4x﹣5y+6＝x+3y﹣4，
整理得 3x﹣8y＝﹣10. 解得y＝．
方法总结：此题解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
【类型二】 用代入法解二元一次方程组
用代入法解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
解析：方程组利用代入消元法求出解即可．
解：（1）
把①代入②，得2x+3（3x-6）=15，解得x=3，
把x=3代入①，得y=9-6=3，
所以方程组的解为；
（2）
由②得 x=4+y③.
把③代入①得 3（4+y）+4y=19，
解得 y=1.
把y=1代入③得 x=4+1=5.
所以方程组的解是；
（3）
由①得 x＝1+3y ③，
把③代入②得 1+3y+2y=6，
解得 y＝1，
把y＝1代入③得：x＝4，
所以方程组的解为；
（4）
由①得 x＝2y+5③，
把③代入②得 4y+10﹣y＝4，
解得 y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③得 x＝1，
则方程组的解为．
方法总结：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,再利用代入法将二元一次方程转化成一元一次方程，从而求出方程的解．
探究点二：求待定系数的值.
已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．3
解析：把解代入原方程组得解得所以a－b＝－1.故选B.
方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
三、板书设计
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力.
7.2 二元一次方程组的解法
第2课时 用代入法解未知数系数不含1或-1的方程组
会用代入法解未知数系数绝对值不为1的二元一次方程组．(重点)
一、情境导入
甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？
我们可以设甲，乙速度分别为x，y千米/时，得到方程组可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？
二、合作探究
探究点一：用代入法解二元一次方程组
用代入法解下列方程组：
(1) （2）
（3） (4)
解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组（2）可将方程①变形为x=然后代入②求解；对于方程组(3)，比较两个方程系数的特点可知应将方程①变形为然后代入②求解；对于方程组(4)，应将方程组变形为观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝.
解：(1)由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，
2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.
把y＝3代入③，得x＝－14.
所以原方程组的解是
（2）由①，得x=③
把③代入②，得 3×-2y=5,
=5,得 y=2.
把y=2代入③得 x=3.
所以原方程组的解是
（3）由①，得 ③，
把③代入②，得4（3y+2）-7y=13,
12y+8-7y=13, 5y=5, y=1,
把y=1代入③得 x=5.
所以原方程组的解是.
(4)将原方程组整理，得
由③，得x＝.⑤
把⑤代入④，得2(3y＋1)-3y＝-5，
3y＝-7，y＝-.
把y＝-代入⑤，得x＝-3.
所以原方程组的解是
方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
探究点二： 整体代入法解二元一次方程组
解方程下列组：
(1) (2)
解析：分别把（x-2），(x＋1)看作一个整体代入求解．
解：（1）把（x-2）看作一个整体代入②，得
2（y-1）+（y-1）=5，
解得 y=
把y=
代入①得：x-2=-1，
解得 x= .
所以方程组的解是 ；
(2)由①，得x＋1＝6y.
把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.
解得y＝1.把y＝1代入①，
得＝2×1，x＝5.
所以原方程组的解为
方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．
三、板书设计
解二元一次方程组
回顾代入法解二元一次方程组的解法，借此探索系数不为1的二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考，体验并掌握整体代入的思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力.
7.2 二元一次方程组的解法
第3课时 用加减法解同一未知数系数绝对值相同的方程组
1.熟练掌握加减消元法的基本步骤，提高基本运算能力.
2.通过探究，找出用加减法消元过程的规律和方法.
一、问题引入
上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，那么如何解方程组呢？
1．用代入法解(消x)方程组．
2．解完后思考：
用“整体代换”的思想把2x作为一个整体代入消元求解．
3．还有没有更简单的解法？
由x的系数相等，是否可以考虑①－②，从而消去x求解？
4．思考：
(1)两方程相减的依据是什么？
(2)目的是什么？
(3)相减时要特别注意什么？
二、合作探究
探究点一：用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解下列方程组：
解析：观察（1）中两式x的系数相同，则①-②可消去x；（2）中两式y的系数互为相反数，则①+②可消去y;（3）中两式x的系数互为相反数，则①+②可消去x.
解：（1）由①-②得 8y=8, 解得 y =1.
将y=1代入①式得 x=1.
所以原方程组的解为 .
（2）由①+②得 8x=16, 解得 x =2;
将x =2代入①式得 y=0；
所以原方程组的解为 ；
（3）由①+②得 8y=24, 解得 y =3;
将y=3代入①式得 x=6；
所以原方程组的解为 .
方法总结：用加减消元法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
探究点二：已知方程的解，求方程的系数
已知关于x, y的方程组的解为，求a，b的值.
解析：把解代入原方程组得
由①+②得 = -9 .
解得 b=6.
将b=6代入①式得 a =.
所以解得 .
方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
探究点三：同解方程组
已知关于x、y的方程组 和 的解相同，则（a+b）2的值.
解析：根据同解方程组的概念，将第一个方程组中与第二个方程组中的重新组合，解出方程组；再代入另外两个方程，组合成方程组，求出相应的字母a,b的值，从而解决问题.
解：联立得
①+②得 5x=10.
解得 x=2.
把x=2代入①得 y=-2，
把代入并整理得
解得 .
则原式=（3-1）2=4．
方法总结：根据同解方程组的概念，将方程组重新分配，解出其中一个方程组后，再将解代入另外两个方程，从而求出相应的字母值.
三、板书设计
用加减法解同一未知数系数绝对值相同的方程组步骤：
①使同一个未知数的系数相等则两式相减；使同一个未知数的系数互为相反数则两式相加，从而达到消去一个未知数的目的，使方程变为一元一次方程；
②解一元一次方程；
③求另一个未知数的值，得方程组的解．
进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力
7.2 二元一次方程组的解法
第4课时 用加减法解未知数系数的绝对值不同的方程组
1.会用加减法解未知数系数的绝对值不同的方程组．(重点)
2．总结出解二元一次方程组的一般步骤．(难点)
一、情境导入
一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？
设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组为___________.
如何用加减消元法解上述方程组？
二、合作探究
探究点一：用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解下列方程组：
（1） (2)
(3) ． (4)
解析：（1）观察x，y的两组系数发现两个方程中x的系数存在2倍关系，可以将方程①的两边同乘以2，与方程②中的x系数相同，两式相减即可消去x；
(2)观察x，y的两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y，把方程①的两边同乘以2，得8x＋6y＝6③，把方程②的两边同乘以3，得9x－6y＝45④，把③与④相加就可以消去y；
（3）先化简方程组,得，再把方程③与方程④相减，就可以消去x；
(4)先化简方程组，得观察其系数，方程④中x的系数恰好是方程③中x的系数的2倍，所以应选择消去x，把方程③两边都乘以2，得4x＋6y＝28⑤，再把方程⑤与方程④相减，就可以消去x.
解：（1）
由①×2得：4x-10y=-6 ③，
将②-③，得13y=26，即 y=2，
将 y=2 代入①，得 x=3.5，
所以方程组的解为；
(2)①×2，得8x＋6y＝6.③
②×3，得9x－6y＝45.④
③＋④，得17x＝51，x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.
所以原方程组的解是
（3）化简方程组，得
③-④得 8y=16, y=2 ,
把y=2代入③得 x=2.
所以方程组的解为
(4)化简方程组，得
③×2，得4x＋6y＝28.⑤
⑤－④，得11y＝22，y＝2.
把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4.
所以原方程组的解是
方法总结：用加减消元法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数．复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．
探究点二：用加减法整体代入求值
【类型一】由整体思想求代数式的值
已知x、y满足方程组求代数式（x+y）(x-y)的值．
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值；两方程相加得4x+4y＝4，从而求出x+y=1．
解：
由②－①，得2x－2y＝－1－5，得x－y＝-3③.
由②+①，得4x+4y＝4，得x+y=1④.
所以代数式（x+y）(x-y)=1×（-3）= -3.
方法总结：解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
【类型二】由整体思想求参数字母的值
已知方程组，x与y的值之和等于2，则k的值为 ．
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相加得8x+8y＝4k+2，从而求出x+y=,由x与y的值之和等于2列出方程，从而求出k的值.
解：，
由①+②得 8x+8y＝4k+2，
即 x+y=,
代入x+y=2,得 =2.
解得：k=.
方法总结：利用整体思想用含参数的代数表示出已知代数式，根据两式相等得出方程，从而求出参数的值.
探究点三：构造二元一次方程组求值
已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．
解析：根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n.
解：因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，所以
整理，得
④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以当时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项．
方法总结：解这类题，就是根据同类项的定义，利用相同字母的指数分别相等，列方程组求字母的值．
三、板书设计
用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
进一步理解用加减法解二元一次方程组的“消元”思想，从系数绝对值相等的方程组，转化为系数为任意数，进一步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力.
7.2 二元一次方程组的解法
第5课时 二元一次方程组与实际问题
能根据具体问题的数量关系，会用二元一次方程组解决简单的实际问题．(重点、难点)
一、情境导入
古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？
二、合作探究
探究点一：利用二元一次方程组解决实际问题
【类型一】 和差倍分问题
某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解析：已知量：(1)甲种货物每吨体积为6立方米；(2)乙种货物每吨体积为2立方米；(3)船的载重量为300吨；(4)船的容积为1200立方米．
未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若以x、y表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米．
相等关系：“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．即
甲种货物质量x＋乙种货物质量y＝船的总载重量300
甲种货物体积6x＋乙种货物体积2y＝船的总容积1200
解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得解得
答：甲、乙两种货物各装150吨．
方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．
【类型二】 变化率问题
为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．
解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人．则解得20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；
(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．
答：一共需配备360名中小学教师．
方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原量)÷原量．
【类型三】 方案选择问题
某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
解析：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方案；
（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得
解得 .
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）依题意，得：3a+4b=31，
∴a=
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或.
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
方法总结：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，结合题意a，b均为正整数即可得出各租车方案；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．
三、板书设计
列方程组,解决问题
通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识
第1课时 用代入法解未知数系数含1或-1的方程组
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
一、情境导入
十一假期，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？
二、合作探究
探究点一：代入消元法
【类型一】 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数
把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）x﹣3y＝13； （2）3x+2y＝5；
（3）5x﹣10y+15＝0． （4）4x﹣5y+6＝x+3y﹣4．
解析：把x看做已知数求出y即可．
解：（1）方程x﹣3y＝13， 解得 y＝；
（2）方程3x+2y＝5，解得 y＝；
（3）5x﹣10y+15＝0，﹣10y＝﹣5x﹣15，解得y＝x+；
（4）方程4x﹣5y+6＝x+3y﹣4，
整理得 3x﹣8y＝﹣10. 解得y＝．
方法总结：此题解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
【类型二】 用代入法解二元一次方程组
用代入法解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
解析：方程组利用代入消元法求出解即可．
解：（1）
把①代入②，得2x+3（3x-6）=15，解得x=3，
把x=3代入①，得y=9-6=3，
所以方程组的解为；
（2）
由②得 x=4+y③.
把③代入①得 3（4+y）+4y=19，
解得 y=1.
把y=1代入③得 x=4+1=5.
所以方程组的解是；
（3）
由①得 x＝1+3y ③，
把③代入②得 1+3y+2y=6，
解得 y＝1，
把y＝1代入③得：x＝4，
所以方程组的解为；
（4）
由①得 x＝2y+5③，
把③代入②得 4y+10﹣y＝4，
解得 y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③得 x＝1，
则方程组的解为．
方法总结：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,再利用代入法将二元一次方程转化成一元一次方程，从而求出方程的解．
探究点二：求待定系数的值.
已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．3
解析：把解代入原方程组得解得所以a－b＝－1.故选B.
方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
三、板书设计
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力.
7.2 二元一次方程组的解法
第2课时 用代入法解未知数系数不含1或-1的方程组
会用代入法解未知数系数绝对值不为1的二元一次方程组．(重点)
一、情境导入
甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？
我们可以设甲，乙速度分别为x，y千米/时，得到方程组可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？
二、合作探究
探究点一：用代入法解二元一次方程组
用代入法解下列方程组：
(1) （2）
（3） (4)
解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组（2）可将方程①变形为x=然后代入②求解；对于方程组(3)，比较两个方程系数的特点可知应将方程①变形为然后代入②求解；对于方程组(4)，应将方程组变形为观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝.
解：(1)由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，
2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.
把y＝3代入③，得x＝－14.
所以原方程组的解是
（2）由①，得x=③
把③代入②，得 3×-2y=5,
=5,得 y=2.
把y=2代入③得 x=3.
所以原方程组的解是
（3）由①，得 ③，
把③代入②，得4（3y+2）-7y=13,
12y+8-7y=13, 5y=5, y=1,
把y=1代入③得 x=5.
所以原方程组的解是.
(4)将原方程组整理，得
由③，得x＝.⑤
把⑤代入④，得2(3y＋1)-3y＝-5，
3y＝-7，y＝-.
把y＝-代入⑤，得x＝-3.
所以原方程组的解是
方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
探究点二： 整体代入法解二元一次方程组
解方程下列组：
(1) (2)
解析：分别把（x-2），(x＋1)看作一个整体代入求解．
解：（1）把（x-2）看作一个整体代入②，得
2（y-1）+（y-1）=5，
解得 y=
把y=
代入①得：x-2=-1，
解得 x= .
所以方程组的解是 ；
(2)由①，得x＋1＝6y.
把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.
解得y＝1.把y＝1代入①，
得＝2×1，x＝5.
所以原方程组的解为
方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．
三、板书设计
解二元一次方程组
回顾代入法解二元一次方程组的解法，借此探索系数不为1的二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考，体验并掌握整体代入的思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力.
7.2 二元一次方程组的解法
第3课时 用加减法解同一未知数系数绝对值相同的方程组
1.熟练掌握加减消元法的基本步骤，提高基本运算能力.
2.通过探究，找出用加减法消元过程的规律和方法.
一、问题引入
上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，那么如何解方程组呢？
1．用代入法解(消x)方程组．
2．解完后思考：
用“整体代换”的思想把2x作为一个整体代入消元求解．
3．还有没有更简单的解法？
由x的系数相等，是否可以考虑①－②，从而消去x求解？
4．思考：
(1)两方程相减的依据是什么？
(2)目的是什么？
(3)相减时要特别注意什么？
二、合作探究
探究点一：用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解下列方程组：
解析：观察（1）中两式x的系数相同，则①-②可消去x；（2）中两式y的系数互为相反数，则①+②可消去y;（3）中两式x的系数互为相反数，则①+②可消去x.
解：（1）由①-②得 8y=8, 解得 y =1.
将y=1代入①式得 x=1.
所以原方程组的解为 .
（2）由①+②得 8x=16, 解得 x =2;
将x =2代入①式得 y=0；
所以原方程组的解为 ；
（3）由①+②得 8y=24, 解得 y =3;
将y=3代入①式得 x=6；
所以原方程组的解为 .
方法总结：用加减消元法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
探究点二：已知方程的解，求方程的系数
已知关于x, y的方程组的解为，求a，b的值.
解析：把解代入原方程组得
由①+②得 = -9 .
解得 b=6.
将b=6代入①式得 a =.
所以解得 .
方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
探究点三：同解方程组
已知关于x、y的方程组 和 的解相同，则（a+b）2的值.
解析：根据同解方程组的概念，将第一个方程组中与第二个方程组中的重新组合，解出方程组；再代入另外两个方程，组合成方程组，求出相应的字母a,b的值，从而解决问题.
解：联立得
①+②得 5x=10.
解得 x=2.
把x=2代入①得 y=-2，
把代入并整理得
解得 .
则原式=（3-1）2=4．
方法总结：根据同解方程组的概念，将方程组重新分配，解出其中一个方程组后，再将解代入另外两个方程，从而求出相应的字母值.
三、板书设计
用加减法解同一未知数系数绝对值相同的方程组步骤：
①使同一个未知数的系数相等则两式相减；使同一个未知数的系数互为相反数则两式相加，从而达到消去一个未知数的目的，使方程变为一元一次方程；
②解一元一次方程；
③求另一个未知数的值，得方程组的解．
进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力
7.2 二元一次方程组的解法
第4课时 用加减法解未知数系数的绝对值不同的方程组
1.会用加减法解未知数系数的绝对值不同的方程组．(重点)
2．总结出解二元一次方程组的一般步骤．(难点)
一、情境导入
一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？
设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组为___________.
如何用加减消元法解上述方程组？
二、合作探究
探究点一：用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解下列方程组：
（1） (2)
(3) ． (4)
解析：（1）观察x，y的两组系数发现两个方程中x的系数存在2倍关系，可以将方程①的两边同乘以2，与方程②中的x系数相同，两式相减即可消去x；
(2)观察x，y的两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y，把方程①的两边同乘以2，得8x＋6y＝6③，把方程②的两边同乘以3，得9x－6y＝45④，把③与④相加就可以消去y；
（3）先化简方程组,得，再把方程③与方程④相减，就可以消去x；
(4)先化简方程组，得观察其系数，方程④中x的系数恰好是方程③中x的系数的2倍，所以应选择消去x，把方程③两边都乘以2，得4x＋6y＝28⑤，再把方程⑤与方程④相减，就可以消去x.
解：（1）
由①×2得：4x-10y=-6 ③，
将②-③，得13y=26，即 y=2，
将 y=2 代入①，得 x=3.5，
所以方程组的解为；
(2)①×2，得8x＋6y＝6.③
②×3，得9x－6y＝45.④
③＋④，得17x＝51，x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.
所以原方程组的解是
（3）化简方程组，得
③-④得 8y=16, y=2 ,
把y=2代入③得 x=2.
所以方程组的解为
(4)化简方程组，得
③×2，得4x＋6y＝28.⑤
⑤－④，得11y＝22，y＝2.
把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4.
所以原方程组的解是
方法总结：用加减消元法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数．复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．
探究点二：用加减法整体代入求值
【类型一】由整体思想求代数式的值
已知x、y满足方程组求代数式（x+y）(x-y)的值．
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值；两方程相加得4x+4y＝4，从而求出x+y=1．
解：
由②－①，得2x－2y＝－1－5，得x－y＝-3③.
由②+①，得4x+4y＝4，得x+y=1④.
所以代数式（x+y）(x-y)=1×（-3）= -3.
方法总结：解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
【类型二】由整体思想求参数字母的值
已知方程组，x与y的值之和等于2，则k的值为 ．
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相加得8x+8y＝4k+2，从而求出x+y=,由x与y的值之和等于2列出方程，从而求出k的值.
解：，
由①+②得 8x+8y＝4k+2，
即 x+y=,
代入x+y=2,得 =2.
解得：k=.
方法总结：利用整体思想用含参数的代数表示出已知代数式，根据两式相等得出方程，从而求出参数的值.
探究点三：构造二元一次方程组求值
已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．
解析：根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n.
解：因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，所以
整理，得
④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以当时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项．
方法总结：解这类题，就是根据同类项的定义，利用相同字母的指数分别相等，列方程组求字母的值．
三、板书设计
用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
进一步理解用加减法解二元一次方程组的“消元”思想，从系数绝对值相等的方程组，转化为系数为任意数，进一步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力.
7.2 二元一次方程组的解法
第5课时 二元一次方程组与实际问题
能根据具体问题的数量关系，会用二元一次方程组解决简单的实际问题．(重点、难点)
一、情境导入
古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？
二、合作探究
探究点一：利用二元一次方程组解决实际问题
【类型一】 和差倍分问题
某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解析：已知量：(1)甲种货物每吨体积为6立方米；(2)乙种货物每吨体积为2立方米；(3)船的载重量为300吨；(4)船的容积为1200立方米．
未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若以x、y表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米．
相等关系：“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．即
甲种货物质量x＋乙种货物质量y＝船的总载重量300
甲种货物体积6x＋乙种货物体积2y＝船的总容积1200
解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得解得
答：甲、乙两种货物各装150吨．
方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．
【类型二】 变化率问题
为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．
解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人．则解得20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；
(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．
答：一共需配备360名中小学教师．
方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原量)÷原量．
【类型三】 方案选择问题
某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
解析：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方案；
（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得
解得 .
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）依题意，得：3a+4b=31，
∴a=
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或.
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
方法总结：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，结合题意a，b均为正整数即可得出各租车方案；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．
三、板书设计
列方程组,解决问题
通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识