2023-2024学年华师版数学七年级下册 9.3 用正多边形铺设地面

9.3 用正多边形铺设地面
9.3.1 用相同的正多边形铺设地面
1．了解密铺的要求与数学本质；
2．理解正多边形铺设地面的情形，会判断一种正多边形能否铺满地面．
一、情境导入
下面的图形是由一些地板砖铺成的，请同学们看看它们有什么特点．
二、合作探究
探究点：用相同的正多边形作平面镶嵌
装修大世界出售下列形状的地砖：（1）正三角形；（2）正五边形；（3）正六边
形；（4）正八边形；（5）正十边形，若只选购一种地砖镶嵌地面，你有　　种选择．
解析：由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
解：（1）正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌；
（2）正五方形的每个内角是108°，不能整除360°，不能组成镶嵌；
（3）正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
（4）正八边形的每个内角是135°，不能整除360°，不能镶嵌；
（5）正十边形的每个内角是144°，不能整除360°，不能镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有2种．
方法总结：用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为　　．
解析：根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，而正六边形的内角为120°，
故答案为：6．
方法总结：解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．
三、板书设计
用相同的正多边形铺设地面
1.用给定的某种（或多种）正多边形能铺满地面的关键是什么？
2.用哪一种正多边形能够铺满地面？
本节课通过“拼地板”和有关计算，巩固多边形内角和的有关知识，理解某些正多边形能铺满地面的理由.培养学生运用数学知识分析问题、解决实际问题的能力，进一步提高学生操作、观察、概括、抽象的能力；使学生在合作与探索的学习过程中，进一步体会图形在现实生活中的广泛应用，提高审美情趣，认识数学的应用价值.
9.3 用正多边形铺设地面
9.3.2 用多种正多边形铺设地面
1.通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力.（重点）
2.寻找用哪几种正多边形能铺满地板.（难点）　
一、情境导入
上一节我们知道用一种（正三角形，正方形，正六边形）正多边形能铺满地面，
那么我们能用正三角形和正六边形两种图形铺满地面吗？为什么？
二、合作探究
探究点：用两种或两种以上的正多边形作平面镶嵌
下列四组多边形中，能密铺地面的是（　　）
①正六边形与正三角形；②正八边形与正方形；③正三角形与正方形．
A．①②③ B．②③ C．①② D．③
解析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解：①两个正六边形与两个正三角形即可密铺；
②正八边形一个内角135°，两个正八边形与一个正方形可密铺；
③三个正三角形与两个正方形可密铺．
故选：A．
方法总结：计算出多边形内角，根据平铺定义即可．
设在一个顶点周围有a个正三角形，b个正十二边形，能铺满地面，则a＝________，b＝________．
解析：正三角形每个内角是60°，正十二边形的每个内角是150°.根据在一个拼接点处内角和恰好是360°可知，正三角形和正十二边形的个数满足60a＋150b＝360，即2a＋5b＝12.若在一个顶点周围有1个正三角形，则2＋5b＝12，解得b＝2；若在一个顶点周围有2个正三角形，则2×2＋5b＝12，解得b＝，正多边形的个数应该是正整数，所以这种情况不符合题意；若在一个顶点周围有3个正三角形，则2×3＋5b＝12，解得b＝，不符合题意；若在一个顶点周围有4个正三角形，则2×4＋5b＝12，解得b＝，不符合题意．只有a＝1，b＝2符合题意．故答案为1，2.
方法总结：抓住一个拼接点，看几种不同正多边形在同一个拼接点处能否拼出360°.如果要用两种正多边形地砖进行平铺，且在拼接点处不确定两种地砖的个数时，要分情况讨论，对需要的其中一种正多边形，从自然数1开始计算，然后利用360°的周角确定其他正多边形的个数，得出的数值必须是正整数．
如图，将图中相邻两行正三角形分开，添一行正方形．它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满地面．正三角形、正方形、正六边形两两结合是否都能铺满地面呢？把正三角形、正方形、正六边形三者结合在一起呢？请你试试看．
解：∵正三角形的每个内角为60°、正方形的每个内角为90°、正六边形的每个内角为120°，
∴正三角形，正方形的内角是60°、90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满.
正方形和正六边形的内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满.
正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满.
∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120o，
∴60°+2×90°+120°=360°，故能铺满地面．
方法总结：抓住一个拼接点，看几种不同正多边形在同一个拼接点处能否拼出360°，且角的个数都必须为正整数，满足条件的正整数就是所需多边形的个数.
三、板书设计
用多种正多边形铺设地面
1．要铺满地面，就是所取每个正多边形的一个内角之和恰好等于周角；
2．判断多种正多边形的组合能否铺满地面，需要分别求出它们的一个内角的度数，然后相加，如果和能等于360°，就能够铺满地面；反之就不能（注意同种多边形可能取多个）．
通过从一种正多边形拼地板的经历，探索用多种正多边形拼地板的过程和原理，结合
现实世界中的美丽图案，充分感受用多种正多边形拼地板的意义，体会用多种正多边形拼
地板与一种正多边形拼地板的相互关系.提高观察、分析、概括、抽象等能力，并进一步认
识图形在日常生活中的应用.