2023-2024学年华师版数学七年级下册 10.3 旋转
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年华师版数学七年级下册 10.3 旋转 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 841.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-21 00:05:19 | ||
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文档简介
10.3 旋转
10.3.1 图形的旋转
1.掌握旋转的有关概念，理解决定图形旋转过程的三个因素；
2.能发现生活中的旋转现象，识别图形的旋转；
3.能找出旋转前后的对应元素，以及旋转中心、旋转的角度和方向
一、情境导入
飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？
二、合作探究
探究点一：图形的旋转的有关概念
下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程
解析：根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．A.滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转；B.钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；C.气球升空的运动是平移，不属于旋转；D.一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．故选：B．
方法总结：本题考查旋转的概念：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
探究点二：旋转中心的识别及旋转角度的计算
【类型一】旋转中心的识别
如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A．格点M
B．格点N
C．格点P
D．格点Q
解析：只有点N到两个三角形的三个顶点的距离对应相等．故选B.
【类型二】旋转角的判断
如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角∠BOD＝90°.故选C.
探究点三：旋转变换图形的辨别
如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O按逆时针旋转90°后的图案应该是（ ）
A. B. C. D.
解析：根据△ABC绕着点O逆时针旋转90°，得出各对应点的位置判断即可，由旋转的性质和旋转的方向得：△ABC绕点O按逆时针旋转90°后的图案是A，故选：A．
方法总结：要确定旋转后的图形需要注意①确定旋转的方向②确定旋转角的大小是解题的关键．
三、板书设计
图形的旋转
1.图形旋转的概念
2.图形旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
本节课通过对日常生活的观察，引入旋转的概念，进一步研究构成旋转的三要素，会找出旋转前后的对应点，对应线段，并通过对旋转的理解解决与旋转相关的数学问题，在探索的过程中知识与能力逐步得到提升，更体现了数学来源于生活并服务于生活。
10.3 旋转
10.3.2 旋转的特征
1．进一步认识图形的旋转，探究图形旋转的特征（性质）；
2．掌握旋转的特征（性质），并能运用旋转的性质解决相关的数学问题；
3．能利用旋转的性质按要求完成旋转作图．
一、情境导入
在钟面上，从1点到1点6分，分针转了多少度角？时针转了多少度角？1点6分时
针与分针的夹角是多少度？
二、合作探究
探究点一：旋转的性质
【类型一】利用旋转的性质求长度
如图，把Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△EDC，若BE=17，BC=5，则AD的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
解析：由旋转的性质可得AC=EC=12，CD=BC=5，即可求解．
解：∵BE=17，BC=5，
∴EC=12，
∵Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△EDC，
∴AC=EC=12，CD=BC=5，
∴AD=AC - CD=12-5=7，
故选：A．
方法总结：本题主要考查了旋转的性质，利用旋转的前后对应线段相等的性质是解题的关键.
如图，将△OAB绕点O逆时针旋转到△OA'B'，点B恰好落在边A'B'上．已知AB=4cm，BB'=1cm，则A'B的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
解析：∵AB=4cm，BB'=1cm，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，
由旋转的性质知：
∴A′B′=AB=4.
∴A′B=A′B′-BB′=4-1=3（cm）.
故选：C．
方法总结：同例1.
【类型二】利用旋转的性质求角度
如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50°
B．60°
C．40°
D．30°
解析：根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．
解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°故选：A．
方法总结：本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，而点C恰好在边AB上，且∠AOD＝90°，求∠B的度数．
解析：已知△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，旋转角
为40°，因为点C恰好在AB上，故△AOC为等腰三角形，可结合三角形的内角和定理求
∠B的度数．
解：根据旋转性质得：CO＝AO，旋转角为40°，
∴ ∠AOC＝∠BOD＝40°，∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝70°，
∵∠AOD＝90°
∴ ∠AOB＝∠AOD - ∠BOD＝90°- 40°= 50°
在△AOB中，由内角和定理得：
∠B＝180°﹣∠OAC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣50°＝60°．
答：∠B的度数为60°．
方法总结：旋转变化前后，对应角对应边分别相等，同时要充分运用内角和定理求角．
探究点二：旋转作图
如图，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′.
解：(1)如图，连接OA，OB，OC.
(2)分别以OA，OB，OC为一边作∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝90°.
(3)分别在射线OA′，OB′，OC′上截取OA′＝OA，OB′＝OB，OC′＝OC.
(4)依次连接A′B′，B′C′，C′A′.则△A′B′C′就是△ABC绕点O逆时针旋转90°
后的图形．
三、板书设计
旋转的特征
1．旋转的特征（性质）：
（1）图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度；
（2）对应点到旋转中心的距离相等；
（3）对应线段和对应角相等；
（4）图形的形状与大小不变．
2．旋转作图
本节课通过进一步对图形旋转的认识，探究图形旋转的特征，在探究的过程中掌握旋
转的特征（性质），并能运用旋转的性质解决相关的数学问题和按要求完成旋转作图．在作图的过程中进一步体会旋转的性质，提高学生的动手能力.
10.3 旋转
10.3.3 旋转对称图形
1．理解旋转对称图形的定义，会识别旋转对称图形；
2．会求旋转对称图形旋转后重合时的最小旋转角度；
3．欣赏现实生活中利用旋转对称设计的图案．
一、情境导入
如图，我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案.
这两个图案都可以看作是将其中一片花瓣作了多次旋转得到的最后的图案，你知道每次旋转的度数吗？ 你还能举出生活中具有相同特征的图案实例吗？
二、合作探究
探究点一：旋转对称图形的识别
下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？
解析：由旋转对称图形的定义逐一判断求解．
解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形．
方法总结：判断一个图形是否是旋转对称图形，其关键是要看这个图形能否找到一个旋转中心，且图形能绕着这个旋转中心旋转一定角度与自身重合．
下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A. B. C. D.
解析：求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
解：A.最小旋转角度＝＝120°；B.最小旋转角度＝＝90°；
C.最小旋转角度＝＝180°；D.最小旋转角度＝＝72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选：A．
方法总结：看整个图形从旋转对称中心最多被平均分成几个相同的部分，用360o除以个数即为所求的最小旋转角，本题求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
探究点二：旋转对称图形的应用
【类型一】求最小旋转角
如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
解析：根据旋转对称图形的旋转角的概念作答．
解：正六边形被平分成六部分，
因而每部分被分成的圆心角是60°，
因而旋转60°的整数倍，就可以与自身重合．
则旋转角的最小值为60°． 故选：B．
方法总结：求最小旋转角度的方法见例2.
【类型二】面积的有关计算
如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．1cm2 B．2cm2
C．3cm2 D．4cm2
解析：根据旋转对称图形的特点来解答．
∵每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2，
∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB＝120°，
∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，
因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．故选：D．
方法总结：理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键..
三、板书设计
旋转对称图形
1.旋转对称图形的定义：
把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
2.旋转对称图形的相关应用.
借助旋转设计的美丽图案，激发学生的学习兴趣和探究新知的热情，在旋转的基础上进一步理解旋转对称图形.在探究最小旋转角的过程中，让学生大胆猜想，验证，从而找出方法规律，逐步培养学生发现问题，提出问题，解决问题的能力.
10.3.1 图形的旋转
1.掌握旋转的有关概念，理解决定图形旋转过程的三个因素；
2.能发现生活中的旋转现象，识别图形的旋转；
3.能找出旋转前后的对应元素，以及旋转中心、旋转的角度和方向
一、情境导入
飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？
二、合作探究
探究点一：图形的旋转的有关概念
下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程
解析：根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．A.滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转；B.钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；C.气球升空的运动是平移，不属于旋转；D.一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．故选：B．
方法总结：本题考查旋转的概念：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
探究点二：旋转中心的识别及旋转角度的计算
【类型一】旋转中心的识别
如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A．格点M
B．格点N
C．格点P
D．格点Q
解析：只有点N到两个三角形的三个顶点的距离对应相等．故选B.
【类型二】旋转角的判断
如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角∠BOD＝90°.故选C.
探究点三：旋转变换图形的辨别
如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O按逆时针旋转90°后的图案应该是（ ）
A. B. C. D.
解析：根据△ABC绕着点O逆时针旋转90°，得出各对应点的位置判断即可，由旋转的性质和旋转的方向得：△ABC绕点O按逆时针旋转90°后的图案是A，故选：A．
方法总结：要确定旋转后的图形需要注意①确定旋转的方向②确定旋转角的大小是解题的关键．
三、板书设计
图形的旋转
1.图形旋转的概念
2.图形旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
本节课通过对日常生活的观察，引入旋转的概念，进一步研究构成旋转的三要素，会找出旋转前后的对应点，对应线段，并通过对旋转的理解解决与旋转相关的数学问题，在探索的过程中知识与能力逐步得到提升，更体现了数学来源于生活并服务于生活。
10.3 旋转
10.3.2 旋转的特征
1．进一步认识图形的旋转，探究图形旋转的特征（性质）；
2．掌握旋转的特征（性质），并能运用旋转的性质解决相关的数学问题；
3．能利用旋转的性质按要求完成旋转作图．
一、情境导入
在钟面上，从1点到1点6分，分针转了多少度角？时针转了多少度角？1点6分时
针与分针的夹角是多少度？
二、合作探究
探究点一：旋转的性质
【类型一】利用旋转的性质求长度
如图，把Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△EDC，若BE=17，BC=5，则AD的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
解析：由旋转的性质可得AC=EC=12，CD=BC=5，即可求解．
解：∵BE=17，BC=5，
∴EC=12，
∵Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△EDC，
∴AC=EC=12，CD=BC=5，
∴AD=AC - CD=12-5=7，
故选：A．
方法总结：本题主要考查了旋转的性质，利用旋转的前后对应线段相等的性质是解题的关键.
如图，将△OAB绕点O逆时针旋转到△OA'B'，点B恰好落在边A'B'上．已知AB=4cm，BB'=1cm，则A'B的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
解析：∵AB=4cm，BB'=1cm，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，
由旋转的性质知：
∴A′B′=AB=4.
∴A′B=A′B′-BB′=4-1=3（cm）.
故选：C．
方法总结：同例1.
【类型二】利用旋转的性质求角度
如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50°
B．60°
C．40°
D．30°
解析：根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．
解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°故选：A．
方法总结：本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，而点C恰好在边AB上，且∠AOD＝90°，求∠B的度数．
解析：已知△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，旋转角
为40°，因为点C恰好在AB上，故△AOC为等腰三角形，可结合三角形的内角和定理求
∠B的度数．
解：根据旋转性质得：CO＝AO，旋转角为40°，
∴ ∠AOC＝∠BOD＝40°，∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝70°，
∵∠AOD＝90°
∴ ∠AOB＝∠AOD - ∠BOD＝90°- 40°= 50°
在△AOB中，由内角和定理得：
∠B＝180°﹣∠OAC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣50°＝60°．
答：∠B的度数为60°．
方法总结：旋转变化前后，对应角对应边分别相等，同时要充分运用内角和定理求角．
探究点二：旋转作图
如图，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′.
解：(1)如图，连接OA，OB，OC.
(2)分别以OA，OB，OC为一边作∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝90°.
(3)分别在射线OA′，OB′，OC′上截取OA′＝OA，OB′＝OB，OC′＝OC.
(4)依次连接A′B′，B′C′，C′A′.则△A′B′C′就是△ABC绕点O逆时针旋转90°
后的图形．
三、板书设计
旋转的特征
1．旋转的特征（性质）：
（1）图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度；
（2）对应点到旋转中心的距离相等；
（3）对应线段和对应角相等；
（4）图形的形状与大小不变．
2．旋转作图
本节课通过进一步对图形旋转的认识，探究图形旋转的特征，在探究的过程中掌握旋
转的特征（性质），并能运用旋转的性质解决相关的数学问题和按要求完成旋转作图．在作图的过程中进一步体会旋转的性质，提高学生的动手能力.
10.3 旋转
10.3.3 旋转对称图形
1．理解旋转对称图形的定义，会识别旋转对称图形；
2．会求旋转对称图形旋转后重合时的最小旋转角度；
3．欣赏现实生活中利用旋转对称设计的图案．
一、情境导入
如图，我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案.
这两个图案都可以看作是将其中一片花瓣作了多次旋转得到的最后的图案，你知道每次旋转的度数吗？ 你还能举出生活中具有相同特征的图案实例吗？
二、合作探究
探究点一：旋转对称图形的识别
下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？
解析：由旋转对称图形的定义逐一判断求解．
解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形．
方法总结：判断一个图形是否是旋转对称图形，其关键是要看这个图形能否找到一个旋转中心，且图形能绕着这个旋转中心旋转一定角度与自身重合．
下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A. B. C. D.
解析：求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
解：A.最小旋转角度＝＝120°；B.最小旋转角度＝＝90°；
C.最小旋转角度＝＝180°；D.最小旋转角度＝＝72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选：A．
方法总结：看整个图形从旋转对称中心最多被平均分成几个相同的部分，用360o除以个数即为所求的最小旋转角，本题求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
探究点二：旋转对称图形的应用
【类型一】求最小旋转角
如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
解析：根据旋转对称图形的旋转角的概念作答．
解：正六边形被平分成六部分，
因而每部分被分成的圆心角是60°，
因而旋转60°的整数倍，就可以与自身重合．
则旋转角的最小值为60°． 故选：B．
方法总结：求最小旋转角度的方法见例2.
【类型二】面积的有关计算
如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．1cm2 B．2cm2
C．3cm2 D．4cm2
解析：根据旋转对称图形的特点来解答．
∵每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2，
∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB＝120°，
∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，
因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．故选：D．
方法总结：理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键..
三、板书设计
旋转对称图形
1.旋转对称图形的定义：
把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
2.旋转对称图形的相关应用.
借助旋转设计的美丽图案，激发学生的学习兴趣和探究新知的热情，在旋转的基础上进一步理解旋转对称图形.在探究最小旋转角的过程中，让学生大胆猜想，验证，从而找出方法规律，逐步培养学生发现问题，提出问题，解决问题的能力.