广东省深圳市南山区2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题（含答案）

绝密★启用前 试卷类型：A
南山区2023-2024学年度第一学期期末质量监测
高一数学试题
2024.1
注意事项：
1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.
3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.
5.考试结束后，考生上交答题卡.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列所给的等式中正确的为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知命题：“”，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4.设函数的零点为，则（ ）
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6.已知函数若，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
7.设函数，则的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A. B.为偶函数
C.为单调递增函数 D.的值域为
10.已知是的三个内角，下列条件是“”的一个充分不必要条件的为（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，若，则下列结论可能成立的为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数满足如下两个性质：①，其中函数是函数的反函数；②若，则，则下列结论正确的为（ ）
A.若，则
B.若点在曲线上，则
C.存在点，使得曲线与关于点对称
D.方程恰有9个相异实数解
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________.
14.已知函数，若，则__________.
15.已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为__________.
16.已知实数，且.记，则__________，的最小值为__________.（第一空2分，第二空3分）
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤.
17.（10分）
计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
18.（12分）
已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（12分）
（1）已知点为角终边上一点，且，求的值；
（2）若，求的值.
20.（12分）
已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：
（天） 2 4 10 20
（万件） 12 11 10.4 10.2
（1）请确定的解析式，并说明理由；
（2）若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值.
21.（12分）
已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设，记在区间上的最大值为，求的解析式.
22.（12分）
已知函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）（i）证明：为单调递增函数；
（ii），若不等式恒成立，求非零实数的取值范围.
绝密★启用前 试卷类型：A
南山区2023-2024学年度第一学期期末质量监测
高一数学参考试题答案与评分标准
一 单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B C D B A
8.解析：，且，
.
故应选A.
二 多项选择题：
题号 9 10 11 12
答案 AC BD ABD ACD
12.解析：易知，且为单调递增函数，选项正确；
点显然在以原点为单位圆上，易知曲线与单位圆在第二象限有交点，此时选项B错误；
若，则若，则常数的值唯一，
又，
，即，由可知，
不难知道是上述方程的根，显然函数单调递增，
方程有且仅有一个实数根，
从而不难知道曲线与关于原点对称，选项正确；
方程即，即，
两边取对数，得，
考虑函数与的图象（如下图），易知它们恰有9个交点，
选项D正确，综上所述，应选ACD.
三 填空题：
13. 14.-2 15.
16.，
解析：，且，化简得，
又，当且仅当时，等号成立，易知，
，
易知当时，等号成立，的最小值为.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤.
17.（10分）
解：（1）.
（2）.
18.（12分）
解：（1）若，则，
由，解得，
.
（2）由可知，，
①若，则，解得，
②若，即，则
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
19.（12分）
解：（1）由正切函数的定义可知，，
又，
由余弦函数的定义可知，，
.
（2），
，
.
20.（12分）
解：（1）选择模型②，理由如下：
由题表可知，随着增大时，销售量逐渐减少，若，则当时，非单调递减函数，不符合题意.
对于，根据题意，将点代入可得
解得，此时，
易知点均在的图象上，
.
（2）
由（1）知
即
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，为单调递减函数，
的最小值为，
综上可知，的最小值为484万元.
21.（12分）
解：（1）由图可知，
，
最小正周期为，
，
，
又点在的图象上，，即，
，即，
又，且，
.
（2）（方法一）令，则，
的图象的对称轴方程为，
在区间内，的图象有两条对称轴，其方程为，和
（方法二）的最小正周期为，
在区间内，的图象有两条对称轴，其方程为，和，
易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
的图象关于直线对称，
①若，则在区间上的最大值为，
②若，则在区间上的最大值为，
③若，则在区间上的最大值为，
综上所述，
22.（12分）
解：（1）（方法一）为定义在上的奇函数，
，即，
，
，显然有
为奇函数，
实数的值为1.
（方法二）为定义在上的奇函数，
，
，此时为奇函数，符合题设.
（2）（i）任取实数，则，
，
又
，即，
为单调递增函数.
（ii），
令，则，且，
只需不等式恒成立，
即不等式恒成立，
，
为单调递增函数，
，即，
（方法一）不等式（*）即，
欲使不等式成立，则
解得实数的取值范围为.
（方法二）①若，欲使不等式（*）成立，可为任意非零实数；
②若，则不等式等价于，
欲使恒成立，只需即可，，
综上所述，实数的取值范围为.