8.1.3 同底数幂的除法 课件(共43张PPT) 2023-2024学年沪科版数学七年级下册

(共43张PPT)
第8章 整式乘法与因式分解
8.1 幂的运算
第1课时 同底数幂的除法
3.同底数幂的除法
沪科版数学七年级下册
问题 幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即 aman = am＋n (m，n 都是正整数).
回顾与思考
an
底数
幂
指数
情境导入
一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
1012÷109.
(2) 观察这个算式，它有何特点？
我们观察可以发现，1012 和 109 这两个幂的底数相同，
是同底数的幂的形式. 所以我们把 1012÷109 这种运算叫做同底数幂的除法.
(1) 怎样列式？
根据同底数幂的乘法法则进行计算：
28×27＝ 52×53＝
a2×a5＝ 3m－n×3n＝
215
55
a7
3m
（　）×27＝215
（　）×53＝ 55
（　）×a5＝a7 　　
（　　）×3n＝3m
28
a2
52
乘法与除法互为逆运算
215÷27 = ( )
= 215－7
55÷53 = ( )
= 55－3
a7÷a5 = ( )
= a7－5
3m÷3n = ( )
3m－n
28
52
a2
填一填：
通过上述运算你发现了什么规律？
自主探究
3m－n
同底数幂的除法
猜想：am÷an = am－n (m＞n).
验证：am÷an =
m 个 a
n 个 a
= (a · a · ··· · a)
(m－n) 个 a
= am－n.
总结归纳
( a≠0，m，n 是正整数，且 m＞n ).
am÷an = am－n
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例1 计算：
典例精析
解：
例2 计算：
解：
（1）
（2）
例3 已知：am = 3，an = 5. 求：
(1) am-n 的值； (2) a3m-3n 的值.
解：(1) am-n = am÷an = 3÷5 = 0.6.
(2) a3m-3n = a3m÷a3n
= (am)3÷(an)3
= 33÷53 = 27÷125
=
同底数幂的除法可以逆用：am-n = am÷an.
这种思维叫做逆向思维 (逆用运算性质).
例4 如果地球的体积大约是 1×1012 千米3，太阳的体积大约为 1.5×1018 千米3，请问太阳的体积是地球体积的多少倍？
18个10
12个10
6个10
同底数幂的除法的实际应用
1. 计算：
2. 下面的计算对不对？如果不对，请改正.
3. 已知 3m = 2，9n = 10，求 33m－2n 的值.
解：33m-2n = 33m÷32n
= (3m)3÷(32)n
= (3m)3÷9n
= 23÷10
= 8÷10
= 0.8.
4. 地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级的数字表示地震的强度是 10 的若干次幂. 例如，用里克特震级表示地震是 8 级，说明地震的强度是 107. 1992 年 4 月，荷兰发生了 5 级地震，12 天后，加利福尼亚发生了 7 级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
解：由题意得 .
答：加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的 100 倍.
同底数幂的除法
法则
am÷an = am-n (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减
同底数幂的除法法则的逆用：
am-n = am÷an (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n）
第8章 整式乘法与因式分解
8.1 幂的运算
第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法
3.同底数幂的除法
沪科版数学七年级下册
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即
问题 同底数幂的除法法则是什么？
回顾与思考
若 m≤n，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？
根据除法法则，如果 a ≠ 0，m 是正整数，那么 am÷am 等于多少？
am÷am = 1.
问题引导
零次幂
如果把公式 am÷an = am-n (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m>n) 推广到 m = n 的情形，那么就会有
am÷an = am-m = a0.
这启发我们规定
即任何不等于零的数的零次幂都等于 1.
总结归纳
想一想：为何 a 不能等于 0 呢？
例1 已知 (3x - 2)0 有意义，则 x 应满足的条件是_______．
解析：根据零次幂的意义可知：若 (3x－2)0 有意义，则 3x - 2 ≠ 0.
方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于 0，所以解决有关零次幂的意义问题时，可列出关于底数不等于 0 的式子求解即可．
典例精析
例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值.
解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1；
③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1.
故 x 的值为 -1 或 2.
方法总结：乘方的结果为 1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于 1；1 的任何次幂都等于 1；－1 的偶次幂等于 1. 即在底数不等于 0 的情况下要考虑指数等于 0，另外还需考虑底数等于 1 或－1 的情况.
问题：计算：a3÷a5 (a ≠ 0).
解法1
解法2 假如把正整数指数幂的除法法则 am÷an = am-n
(a ≠ 0，m，n 是正整数，m＞n) 中的 m＞n 这个条件去掉，那么 a3÷a5 = a3-5 = a-2.
于是得到：
负整数指数幂
特别地，
总结归纳
如果令公式 am÷an = am-n 中的 m = 0，那么就会有
例3 计算：
解：
典例精析
例4 若 a = ，b = (-1)-1，c = ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
B
解析：a = = = ，b = (-1)-1 = -1，c =
= 1，故 a＞c＞b.
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
例5 把下列各数写成分数的形式：
解：
例6 计算：
解析：分别根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
科学记数法：绝对值大于 10 的数记成 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 是正整数.
忆一忆：
例如，864000 可以写成 .
怎样用科学记数法表示 0.0000864？
8.64×105
想一想：
用科学计数法表示绝对值小于 1 的数
探一探：
因为
所以，0.0000864 = 8.64×0.00001 = 8.64 ×10-5.
类似地，我们可以利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10.
算一算：
10－2 = ___________； 10－4 = ___________；
10－8 = ___________.
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？
一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有_____个 0.
想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？
1 前面有几个零？
0.01
0.0001
0.00000001
通过上面的探索，你发现了什么？
n
用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10.
n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）.
知识要点
例7 用小数表示下列各数：
(1) 2×10－7； (2) 3.14×10－5；
(3) 7.08×10－3； (4) 2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1) 2×10－7＝0.0000002.
(2) 3.14×10－5＝0.0000314.
(3) 7.08×10－3＝0.00708.
(4) 2.17×10－1＝0.217.
1. 用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 006 4；
（3）0.000 0314.
2. 用科学记数法填空：
（1）1 s 是 1 μs 的 1 000 000 倍，则 1 μs＝_______s；
（2）1 mg＝_______kg； （3）1 μm＝_______m；　　　　　
（4）1 nm＝_______μm； （5）1 cm2＝_______ m2；
（6）1 mL＝_______m3.
练一练
3×10-5
3.14×10-5
-6.4×10-6
1×10-6
1×10-6
1×10-6
1×10-3
1×10-4
1×10-6
3. 中国女药学家屠呦呦获 2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下某种疟原虫平均长度为 0.0000015 米，该长度用科学记数法表示为__________米．
1.5×10-6
1. 计算：
1
1
64
2. 把下列各数写成分数的形式：
3. 用小数表示 5.6×10-4.
解：原式 = 5.6×0.0001 = 0.00056.
4. 比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3；
（2）3.01×10－4_______3.10×10－4.
＜
＜
5. 用科学记数法把小数 0.000 009 405 表示成
9.405×10n 的形式，那么 n = .
-6
6.计算：－32＋(－ )－2＋(2023＋π)0－|2－ π|.
＝－9＋9＋1－2＋ π
＝ π－1.
解：－32＋(－ )－2＋(2023＋π)0－|2－ π|
7. 随着微电子制造技术的不断进步，半导体材料的精加工尺寸大幅度缩小，目前已经能够在 350 平方毫米的芯片上集成 5 亿个元件，问 1 个这样的元件大约占多少平方毫米？
解析：因为 350 平方毫米的芯片上集成 5 亿个元件，说明 5 亿个元件所占的面积为 350 平方毫米，要计算 1 个元件所占的面积，可用 350 除以 5 亿．
注意：用科学记数法表示实际生活中的数量时，不能漏掉单位．
整数指数幂
非正整数
指数幂的意义
1. 零指数幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1
2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，a-n＝
科学记数法表示绝对值较小的数
0.00…01
n 个 0
谢谢观看
沪科版数学七年级下册