8.3 完全平方公式与平方差公式 课件 2023-2024学年沪科版数学七年级下册（53张PPT）

(共53张PPT)
第8章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
沪科版数学七年级下册
一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？
情境引入
a
a
b
b
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
p2 + 2p + 1
m2 + 4m + 4
p2－2p + 1
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = .
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = .
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = .
m2－4m + 4
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a－b)2 = .
a2－2ab + b2
完全平方公式
知识要点
完全平方公式
(a + b)2 = ；
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 这两个公式叫做完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央”
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式.
你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图 2
想一想：
几何解释：
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释：
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
y2
(1) ( y + )2；
= y2
+ y
+
+ ( )2
+ 2 y
解：( y + )2 =
典例精析
例1 运用完全平方公式计算：
解：(2x－3)2 =
= 4x2
(2) (2x－3)2.
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－ 2 (2x) 3
+ 32
－ 12x
+ 9.
思考：
(a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗
(a - b)2 与 (b - a)2 相等吗
(a - b)2 与 a2 - b2 相等吗
为什么
(-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2.
(b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2.
(a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等.
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2.
例2 计算：(x + y + z)2.
解：原式 = [x + (y + z)]2
= x2 + 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz.
方法总结：运用分组和整体思想计算，该等式也称为三数的完全平方公式.
例3 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴ (m＋1)xy＝±2×6x·5y.
∴ m＋1＝±60.
∴ m＝59 或－61.
提醒：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
解：原式 = (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= 10404.
思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？
(1) 1022；
(2) 992.
解：原式 = (100－1)2
= 10000 － 200 + 1
= 9801.
完全平方公式的运用
例4 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因为 a＋b＝7，
所以 (a＋b)2＝49.
所以 a2＋b2＋2ab＝49，
即 a2＋b2＋2×10＝49.
所以 a2＋b2＝29.
故 (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
要熟记完全平方公式哦！
1. 若 a2 + ab + b2 + A = (a - b)2，那么 A =（　　）
A．-3ab B．-2ab C．0 D．ab
A
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样
改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2；
(2) (x－y)2 = x2 －y2；
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2；
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2.
×
×
×
×
x2 + 2xy + y2
x2－2xy + y2
x2 －2xy + y2
4x2 + 4xy + y2
(1) (6a + 5b)2；
= 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x－3y)2 ；
=16x2－24xy + 9y2.
(3) (2m－1)2 ；
= 4m2－4m + 1.
(4) (－2m－1)2 .
= 4m2 + 4m + 1.
3. 运用完全平方公式计算：
4. 若 a + b = 5，ab = - 6，求 a2 + b2，a2 - ab + b2.
5. 已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x - y.
解：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 52 - 2×(-6) = 37，
a2 - ab + b2 = a2 + b2 - ab = 37 - (-6) = 43.
解：因为 x + y = 4，所以 (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 16 ①.
又 x2 + y2 = 8 ②，将 ① - ② 得 2xy = 8 ③.
②－③ 得 x2 + y2 - 2xy = 0，即 (x - y)2 = 0.
解题时常用结论：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab；
4ab = (a＋b)2 - (a - b)2.
故 x - y = 0.
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3. 常用公式变形式：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab；
4ab = (a＋b)2 - (a - b)2.
第8章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
第2课时 平方差公式
沪科版数学七年级下册
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x ＋ 5)
= x2＋5x＋3x＋15
= x2＋8x＋15.
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
复习巩固
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把
这事和邻居们－讲，大家都说：
“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你觉得张老汉是否吃亏了？为什么？
情境导入
① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (5y + z)(5y - z).
算一算：看谁算得又快又准.
合作探究
平方差公式
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4
③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1
④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
= x2 - 12
= m2 - 22
= (2m)2 - 12
= (5y)2 - z2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
(a + b)(a b) = a2 b2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(a – b) (a + b) = a2 b2，
(b + a)( b + a) = a2 b2.
知识要点
平方差公式：
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个
多项式等．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
适当交换
合理加括号
练一练：口答下列各题：
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = _________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
填一填：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a - b)(a + b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
典例精析
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x )(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) 原式 ＝ 52－(6x)2 ＝ 25－36x2.
(2) 原式 ＝ x2－(2y)2 ＝ x2－4y2.
(3) 原式 ＝ (－m)2－n2 ＝ m2－n2.
注意：1. 先把要计算的式子与公式对照；
2. 哪个是 a 哪个是 b
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
练一练
利用平方差公式计算：
将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a + b)(a b) = a2 b2
合作探究
平方差公式的几何验证
a
a
b
b
a + b
a - b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2 - b2
a
b
b
b
(a + b)(a - b)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
a - b
a - b
a
a
a2
b
a
a2 - b2
a
b
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
b
a
a
b
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
自主探究
想一想：
(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899
7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900
平方差公式的运用
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母
表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a 1)(a + 1) = a2 1
典例精析
例2 计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
例3 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
= a4－a2b2 + a2b2
= a4 .
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2 + 6x
= 6x－25.
例4 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算．
例5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
本课开头张老汉的故事你能解释原因了吗？
1.下列式子可用平方差公式计算吗 为什么 如果
能够，怎样计算
(1) (a + b)( a b) ；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b) ；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
( 能 )
(不能)
(a2 b2) =
a2 + b2
2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
不对
改正：x2－4
不对
改正方法①：
(－3a－2)(3a－2) = －[(3a + 2)(3a－2)]
= －(9a2－4)
= －9a2 + 4.
改正方法②：
(－3a－2)(3a－2) = (－2－3a)(－2 + 3a)
= (－2)2－(3a)2
= 4－9a2.
3. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
4. 97×103 = ( )×( ) = ( ).
5. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______.
100－3
100 + 3
1002－32
x = 4
B
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
解：原式 = (2a + 3)(2a－3)
= (2a)2－32
= 4a2－9.
= a2－9b2.
解：原式 = a2－(3b)2
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
6. 利用平方差公式计算：
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
解：原式 = (－2x2 )2－y2
= 4x4－y2.
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
解：原式 = (－5 + 6x)(－5－6x)
= (－5)2－(6x)2
= 25－36x2.
解：(1)原式＝(50 + 1)(50－1)＝502－12
＝ 2500－1 = 2499.
(3)原式＝(9x2－16)－(6x2 + 5x－6)
＝3x2－5x－10.
(1) 51×49；
(3) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2).
(2) 13.2×12.8；
7. 利用平方差公式计算：
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
2. 若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是_____.
解析：A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(22－1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(24－1)(24 + 1)
＝28－1＝256－1＝255．
255
能力拓展：
1. 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).
解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4.
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用
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沪科版数学七年级下册