10.1 相交线 课件 2023-2024学年沪科版数学七年级下册（52张PPT）

(共52张PPT)
10.1 相交线
第1课时 对顶角及其性质
第10章 相交线、平行线
与平移
沪科版数学七年级下册
视频引入
点击视频开始播放→
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
观察思考
直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
你发现了什么？
活动：逐渐握紧剪刀刀柄时，随着两个刀柄之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
对顶角的概念
例 1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
D
1
2
C
1
2
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
典例精析
问题：对顶角在数量上又有什么关系呢？如下图中的∠1 与∠3.
猜想：对顶角相等.
C
O
A
B
D
4
3
2
1
思考：你能利用所学知识来验证∠1 与∠3 之间的数量关系吗？
在之前的学习中我们已经知道平角为 180°.
二次根式的双重非负性
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O.
试说明：∠1 =∠3，∠2 =∠4.
解：因为直线 AB 与 CD 相交于点 O，
所以∠1 +∠2 = 180°，
∠3 +∠2 = 180°.
所以∠1 =∠3.
同理可得∠2 =∠4.
应用格式：因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，
所以∠1 =∠3，∠2 =∠4.
想一想：如图所示是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？
对顶角相等
所以∠4 =∠2 = 180°－∠1 = 140°.
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
例2 如图，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度数.
因为∠3 =∠1，
∠1 = 40°，
所以∠3 = 40°.
解：
掌握对顶角的性质是解题的关键!
方法
3. 如图，若 1∶ 2 = 2∶7，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为____________________.
2. 如图，若∠2 是∠1 的 3 倍，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____________________.
1. 如图，若∠1 +∠3 = 60°，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____
________________.
30°，
150°，30°，150°
45°，135°，45°，135°
40°，140°，40°，140°
变式训练：
例3 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，∠1 = 40°，∠BOC = 110°，求∠2 的度数.
解：因为∠1 = 40°，∠BOC = 110°(已知)，
所以∠BOF =∠BOC－∠1
= 110°－40° = 70°.
因为∠BOF =∠2(对顶角相等)，
所以∠2 = 70°(等量代换)．
注意：隐含条件“对顶角相等”.
1. 如图，直线 AB、CD、EF 两两相交，若∠1 +∠5 = 180°，找出图中与∠1 相等的角.
D
B
E
A
C
F
解：由图可知∠1 =∠3 (对顶角相等).
1
2
3
4
5
6
8
7
因为∠8 +∠5 = 180°，且∠1 +∠5 = 180°，
所以∠8 =∠1.
因为 ∠8 =∠6 (对顶角相等)，
所以∠6 =∠1.
变式训练：
综上可知，与∠1 相等的角有∠3，∠6，∠8.
2. 如图，直线 AB、CD、EF、MN 相交，若∠2 =∠5，找出图中与∠2 互补的角.
F
N
C
E
A
B
D
M
1
2
3
4
5
8
6
7
解：因为∠1 和∠3 都是∠2 的补角，
所以∠1 +∠2 = 180°，∠2 +∠3 = 180°.
因为∠6 和∠8 都是∠5 的补角，
所以∠5 +∠6 =180°，∠5 +∠8 = 180°.
所以∠2 +∠6 = 180°，∠2 +∠8 = 180°.
综上可知，与∠2 互补的角有∠1，∠3，∠6，∠8.
因为∠2 =∠5，
1. 下列各图中，∠1，∠2 是对顶角吗？
(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
2
1
不是
是
不是
）
2. 找出图中∠AOE 的补角及对顶角，若没有请画出.
A
B
C
O
D
E
）
F
解：如图，
补角是∠EOB 和∠AOF；
对顶角是∠BOF.
）
3. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
(1) 写出∠AOC，∠BOE 的补角；
(2) 写出∠DOA，∠EOC 的对顶角；
(3) 如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB 的度数.
A
E
D
B
F
C
O
解：(1)∠AOC 的补角是∠AOD 和
∠COB；∠BOE 的补角是
∠EOA 和∠BOF.
(2)∠DOA 的对顶角是∠COB；
∠EOC 的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD =∠AOC = 50°；
∠COB = 180° -∠AOC = 130°.
4. （应用题）在下图中，花坛转角（红色标注的角）按图纸要求为 135°，施工结束后，请你设计检测的方法，检测它是否合格.
解：方法一：检测∠1 是否为 45°；
方法二：检测∠2 是否为 135°.
1
2
拓展题：观察下列各图，寻找对顶角（不含平角) .
(1) 如图 a，图中共有 对对顶角；
(2) 如图 b，图中共有 对对顶角；
(3) 如图 c，图中共有 对对顶角；
(4) 猜测：若有 n 条直线相交于一点，则可形成______对对顶角；
(5) 若有 10 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角.
图 a
图 b
图 c
2
6
12
n(n-1)
90
视频：寻找对顶角
点击视频开始播放→
对顶角的概念
对顶角的性质：对顶角相等
对顶角
10.1 相交线
第2课时 垂线及其性质
第10章 相交线、平行线
与平移
沪科版数学七年级下册
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？
在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当
b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
垂线的概念
问题 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，当∠AOC = 90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和补角的性质可知，当∠AOC = 90° 时，∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°.
两条直线相交所成的 4 个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
垂直的定义：
知识要点
如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD.
读作“AB 垂直于 CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足 (如图中的 O 点).
A
B
C
D
O
l
m
垂直的表示方法：
A
B
C
D
O
符号语言：
① 判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O.
因为∠AOD = 90°（已知），
所以 AB⊥CD（垂直的定义）.
② 性质：若直线 AB⊥CD，垂足为 O，则∠AOD = 90°.
因为 AB⊥CD（已知），
所以∠AOD = 90°（垂直的定义）.
(∠AOC =∠BOC =∠BOD = 90°)
垂线的定义延伸
符号语言：
例1 (1) 如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1=90°，则m n；
(2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =_____°；
(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝____°，∠BOC 的补角为 °.
O
m
n
1
B
C
A
O
⊥
90
72
162
典例精析
图1
图2
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动1：
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动2：
折一折，试一试
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
例2 如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠NOE＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数．
解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠NOE＝40°.
所以∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°.
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.
所以∠AOM 和∠NOC 的度数分别为 50° 和 140°.
问题：
(1) 画已知直线 l 的垂线能画几条
(2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
(3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
垂线的画法及一个基本事实
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
1. 放
l
O
如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
A
无数条
2. 靠
3. 画
…
l
A
B
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
l
M
N
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 作 l 的垂线.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
根据以上操作，你能得出什么结论
关于直线的垂线，有如下基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，
也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”
强调唯一性.
要点归纳
C
D
E
1. 线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？
2. 你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从 A 点向已知直线 l 引一条垂直的线段 AD（即点 A 到直线 l 的垂线段）和几条不垂直的线段 AB，AC，AE.
B
l
A
点到直线的距离
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段 (连接直线外一点与垂足形成的线段) 最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
总结归纳
特别规定：
D
l
A
如图，点 A 到直线 l 的距离是什么？
是垂线段 AD 的长
想一想： 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能
判定两条直线垂直的是( )
A.有两个角相等
B.有两对角相等
C.有三个角相等
D.有四对角互补
C
2. 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
4.找出图中互相垂直的线段：
AO⊥CO
BO⊥DO
A
B
C
D
O
3. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC、BC、CD 中最短的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 线段 AB 是点 B 到直线 AC 的距离
B. 线段 AB 的长度是点 A 到直线 AC 的距离
C. 线段 BD 的长度是点 D 到直线 BC 的距离
D. 线段 BD 的长度是点 B 到直线 AC 的距离
A
B
C
D
D
6. 已知：如图，AB⊥CD，垂足为 O，EF 为过点 O 的一条直线，则∠1 与∠2 的关系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余
C. 互补 D. 互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
B
7. 如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线，
若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是
.
C
A
B
O
E
1
2
D
垂直
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1. 垂线的定义
2. 垂线的画法
3. 垂线的性质（两个基本事实）
(1) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2) 垂线段最短.
4. 点到直线的距离
谢谢观看
沪科版数学七年级下册