10.2 平行线的判定 课件 2023-2024学年沪科版数学七年级下册（76张PPT）

(共76张PPT)
10.2 平行线的判定
第1课时 平行线的概念、基本事实及三线八角
第10章 相交线、平行线
与平移
沪科版数学七年级下册
问题 前面我们学过两条直线的什么位置关系？
两条直线相交 (其中垂直是相交的特殊情形).
回顾与思考
生活中两条直线除了相交以外，还有什么其他的情形呢？下面我们一起来体会一下.
摩托车在公路上奔驰
国旗上的线条
生活中的平行线
思考：如图，分别将木条 a、b 与木条 c 钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线. 转动 a，直线 a 从在 c 的左侧与直线 b 相交逐步变为在 c 的右侧与 b 相交. 想象一下，在这个过程中，有没有直线 a 与直线 b 不相交的情况呢？
a
b
c
a
b
c
a
b
c
平行线的定义及表示
在木条转动过程中，存在直线 a 与直线 b 不相交的情形，这时我们说直线 a 与 b 互相平行. 记作“a∥b”.
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
注意：平行线的定义包含三层意思：
(1)“在同一平面内”是前提条件；
(2)“不相交”就是说两直线没有交点；
(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段．
一、平行线的概念
a
b
c
我们通常用“∥”表示平行.
C
B
A
D
a∥b
AB∥CD
a
b
读作：AB 平行于 CD　
读作：a 平行于 b 　
在同一平面内，不重合的两直线的位置关系有平行与相交两种.
二、平行线的表示法
动手画一画：平行线的画法：
（1）放
（2）靠
（3）推
（4）画
平行线的画法、平行线的基本事实及推论
·
A
·
B
(3) 经过点 C 能画出几条直线与直线 AB 平行？
(4) 过点 D 画一条直线与直线 AB 平行，与 (3) 中所画
的直线平行吗？
·
·
C
D
(1) 经过点 C 能画出几条直线？
无数条
1 条
a
b
(2) 与直线 AB 平行的直线有几条？
无数条
平行
合作与交流：
你能对以上结论进行归纳总结吗？
基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于
这条直线.
三、平行线的基本事实及其推论
·
A
·
B
·
·
C
D
a
b
几何语言表达：
c
b
a
平行线基本事实的推论（平行线的传递性）：
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
因为 a∥c，c∥b(已知），
所以 a∥b(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行).
完成下列推理，并在括号内注明理由.
（1）如图所示，因为AB∥DE，BC∥DE（已知），
所以A，B，C 三点 ；
（
）
·
·
·
A
D
E
B
C
在同一直线上
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
练一练
（2）如图所示，因为 AB∥CD，CD∥EF（已知），
所以______∥______.
(
)
C
A
B
D
E
F
AB
EF
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
6
7
5
8
简称“三线八角”.
若再添加一条直线，即直线 CD 和 AB 均被直线 EF 所截，构成了几个角？有什么特点？
C
D
B
A
F
E
4
3
1
2
交流与合作
同位角、内错角、同旁内角
F
活动1 观察∠1 与∠5 的位置关系：
① 在直线 EF 的同旁（右边）
② 在直线 AB、CD 的同一侧（上方）
A
C
B
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
1
5
∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8
图中的同位角还有哪些？
同位角
一、同位角的概念
A. (1)，(2) B. (3)，(4)
C. (1)，(2)，(3) D. (2)，(3) ，(4)
例1 下列图形中，∠1 和∠2 是同位角的有（ ）
1
2
1
2
1
2
1
2
（1） （2） （3） （4）
A
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
变式图形：下图中的∠1与∠2都是同位角关系.
1
2
1
2
1
2
1
2
归纳总结
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动2 观察∠3 与∠5 的位置关系：
① 在直线 EF 的两旁
② 在直线 AB、CD 之间
3
5
∠4 和∠6
图中的内错角还有哪些？
内错角
二、内错角的概念
例2 如图，与∠1 是内错角的是（ ）
1
3
2
4
5
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
B
变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是内错角关系.
图形特征：在形如字母“Z”的图形中有内错角.
1
2
1
1
1
2
2
2
归纳总结
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动3 观察∠4 与∠5 的位置关系
① 在直线 EF 的同旁
② 在直线 AB、CD 之间
4
5
∠3 和∠6
图中还有哪些同旁内角？
同旁内角
三、同旁内角的概念
例3 下列图形中，∠1 和∠2 是同旁内角的有（ ）
1
1
A
B
C
D
1
2
2
2
1
2
A
变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是同旁内角的关系.
图形特征：在形如字母“U”的图形中有同旁内角.　
1
1
1
1
2
2
2
2
归纳总结
角的名称 角的特征 基本 图形 形象记法 相同点 共同特征
同位角
同旁内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
①必有三条直线；
②这三类角都没有公共顶点；
③都表示角之间的位置关系
总结归纳
例4 如图，直线 DE 截 AB ，AC，构成 8 个角，指出所有的同位角，内错角，同旁内角.
解：同位角有：∠1 与∠8，∠2 与∠5，∠3 与∠6，∠4 与∠7；内错角有：∠1 与∠6，∠4 与∠5；同旁内角有：∠1 与∠5，∠4 与∠6.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
典例精析
变式：∠A 与∠8 是哪两条直线被哪条直线所截的角 它们是什么关系的角 ∠A 与∠5 呢 ∠A 与∠4 呢
解：∠A 与∠8 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的内错角.
∠A 与∠5 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的同旁内角.
∠A 与∠4 是直线 AC，DE 被直线AB 所截形成的同位角.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
练一练：识别各组角是同位角、内错角还是同旁内角.
1
2
(1)
同位角
1
2
(2)
1
2
(3)
1
2
(4)
1
2
(5)
1
2
(6)
1
2
(7)
1
2
(8)
1
2
1
2
(9)
(10)
同位角
同位角
同位角
同位角
内错角
同旁内角
例5 如图，直线 DE，BC 被直线 AB 所截.
（1）∠1 与∠2， ∠1 与∠3，∠1 与∠4 各是什么关系的角？
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
解：∠1 与∠2 是内错角，
∠1 与∠3 是同旁内角，
∠1 与∠4 是同位角.
温馨提示：解题之前一定要明确哪两条直线被哪条直线所截.
解：如果∠1 =∠4，由对顶角相等，得∠2 =∠4，
那么∠1 =∠2.
因为∠3 和∠4 互补，即∠4 +∠3 =180°，
又∠1 =∠4，
所以∠1 +∠3 =180°，
即∠1 与∠3 互补.
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
（2）如果∠1 =∠4，那么∠1 与∠2 相等吗？∠1 与∠3
互补吗？为什么？
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 在同一平面内，不相交的两条射线是平行线
B. 在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
C. 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系不是
相交就是平行
D. 不相交的两条直线是平行线
C
2. 下列说法正确的是（　 ）
A. 一条直线的平行线有且只有一条
B. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 经过一点有两条直线与某一直线平行
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D
3. 下列推理正确的是（ ）
A. 因为 a∥d，b∥c，所以 c∥d
B. 因为 a∥c，b∥d，所以 c∥d
C. 因为 a∥b，a∥c，所以 b∥c
D. 因为 a∥b，c∥d，所以 a∥c
C
4. 如图，∠DAB 和∠ABC 的位置关系是 （ ）
A. 同位角 B. 同旁内角
C. 内错角 D. 以上都不对
C
5. 如图，∠1 和∠2 不构成同位角的图形是 （ ）
A
D
B
C
E
D
(1) 如图 1，若 ED，BF 被 AB 所截，则∠1 与____是同位角；
6. 看图填空：
∠2
(2) 如图 2，若 ED，BC 被 AF 所截，则∠3 与____是内错角；
∠4
图1
图2
(3) 如图 3，∠1 与∠3 是 AB 和 AF 被_____所截构成的
角；
DE
内错
(4) 如图 4，∠2 与∠4 是 和 被 BC 所截构成的_____角.
AB
AF
同位
图3
图4
7. 根据地图填空：
学校与游乐场所在的角形成一对（　　　）角；
学校与超市所在的角形成一对（　　　　）角；
学校与飞机场所在的角形成一对（　　　）角.
同位
同旁内
内错
因为 c∥d，所以 a∥d.
（
）
如图，直线 a∥b，b∥c，c∥d，那么 a ∥d 吗？为什么？
a
b
c
d
解： 因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c.
（
）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
能力拓展
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
视频：三线八角微课
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平行线及三线八角
平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
平行线的性质
1. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
2. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行
三线八角
同位角、内错角、同旁内角
10.2 平行线的判定
第2课时 平行线的判定方法
第10章 相交线、平行线
与平移
沪科版数学七年级下册
问题1 两条不重合的直线的位置关系有哪几种？
问题2 怎样的两条直线平行？
问题3 上节课你学了平行线的哪些内容？
相交（包括垂直）和平行两种.
在同一平面内，不相交的两条直线平行.
2. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
1. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
回顾与思考
思考 根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判定这两条直线平行．但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线是否相交来判断是否平行，那么有没有其他判定方法呢？
一、放
二、靠
三、推
四、画
我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法.
●
利用同位角判定两条直线平行
b
A
2
1
a
B
（1）这样的画法可以看作是怎样的图形变换？
（2）画图过程中，什么角始终保持相等？
（3）直线 a，b 位置关系如何？
思考
(4) 将其最初和最终的两种特殊位置抽象成几何图形：
1
2
l2
l1
A
B
(5) 由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的方法吗？
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
因为∠1 =∠2 (已知)，
所以 l1∥l2 (同位角相等，两直线平行).
1
2
l2
l1
A
B
总结归纳
实验验证
点击视频开始播放
→
练习：下图中若∠1 = 55° ，∠2 = 55°，直线 AB、CD 平行吗？为什么？
平行.
同位角相等，两直线平行.
A
C
E
F
B
D
1
2
变式1：
如图，∠1 = 55°， ∠2 = 125°，直线 AB 与 CD 平行吗？为什么
A
C
E
F
B
D
1
2
M
N
平行.
同位角相等，两直线平行.
变式2：
如图，直线 AB 与 CD 被直线 EF 所截，∠1 = 55°，请添加一个条件使得直线 AB 与直线 CD 平行.
∠3 = 55° (答案不唯一).
A
C
E
F
B
D
1
3
2
5
4
你能说出木工师傅用图中的角尺工具画平行线的道理吗？
练一练
同位角相等，两直线平行.
问题1 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？
如图，由 3 = 2，能推得 a∥b 吗？试一试.
解：因为 1 = 3(对顶角相等)，
3 = 2(已知)，
所以 1 = 2.
所以 a∥b(同位角相等，两直线平行).
2
b
a
1
3
利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
因为∠1 = ∠2 (已知)，
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行).
应用格式：
总结归纳
2
b
a
1
问题2 如图，如果 1 + 2 = 180°，能判定 a∥b 吗
解：能. 理由如下：
因为 1 + 2 = 180°（已知），
1 + 3 = 180°（平角的定义），
所以 2 = 3（同角的补角相等）.
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.
c
2
b
a
1
3
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
应用格式：
2
b
a
1
因为∠1 + ∠2 = 180° (已知)，
所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行).
总结归纳
① 因为∠2 =∠6，（已知）
所以 ___∥___ ( ).
② 因为∠3 =∠5（已知），
所以 ___∥___ ( ).
③ 因为∠4 + ___ = 180°（已知），
所以 ___∥___ ( ).
AB
CD
AB
CD
∠5
AB
CD
同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
A
C
1
4
2
3
5
8
6
7
B
D
F
E
典例精析
例1 根据条件完成填空：
① 因为∠1 =_____（已知），
所以 AB∥CE ( ).
② 因为∠1 +_____= 180°（已知），
所以CD∥BF ( ).
③ 因为∠1 +∠5 = 180°（已知），
所以 _____∥____ ( ).
CE
AB
∠2
④ 因为∠4 +_____= 180°（已知），
所以 AB∥CE ( ).
∠3
∠3
1
3
5
4
2
C
F
E
A
D
B
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
练一练 根据图形完成填空：
所以 AB∥MN（内错角相等，两直线平行）.
解：
因为∠MCA = ∠ A（已知），
又因为∠DEC = ∠B（已知），
所以 AB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
所以 DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
例2 如图，已知∠MCA = ∠A，∠DEC = ∠B，那么
DE∥MN 吗？为什么？
A
E
B
C
D
N
M
如图，∠3 = 45°，∠1 与∠2 互余，试说明：AB∥CD.
解：因为∠1 =∠2 (对顶角相等)，
∠1 +∠2 = 90° (已知)，
所以∠1 =∠2 = 45°.
因为∠3 = 45° (已知)，
所以∠ 2 =∠3.
所以 AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
练一练
做一做
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
做一做
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
思考：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，
这两条直线平行吗？为什么？
a
b
c
b⊥a，c⊥a
b∥c
？
合作探究
猜想：垂直于同一条直线的两条直线平行.
在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.
a
b
c
1
2
因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
所以 b∥c
(同位角相等，两直线平行).
所以∠1 =∠2 = 90°
(垂直的定义).
解法1：如图，
验证猜想
因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
所以∠1 =∠2 = 90° (垂直的定义).
所以 b∥c (内错角相等，两直线平行).
a
b
c
1
2
解法2：如图，
在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.
因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
所以∠1 = ∠2 = 90°(垂直的定义).
所以∠1 +∠2 = 180°.
所以 b∥c (同旁内角互补，两直线平行).
a
b
c
1
2
解法3：如图，
在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
几何语言：
因为 b⊥a，c⊥a(已知)，
所以 b∥c(同一平面内，垂直于
同一条直线的两条直线平行).
a
b
c
1
2
归纳总结
例3 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互
相平行的，在地图上量得∠1 = 90°，你能通过度量图
中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说明理由.
解：测出∠2，∠3，∠4，∠5 中任意一个角为 90° 即可验证，
理由是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
1. 如图，可以确定 AB∥CE 的条件是 ( )
A. ∠2 =∠B
B. ∠1 =∠A
C. ∠3 =∠B
D. ∠3 =∠A
C
1
2
3
A
E
B
C
D
2. 如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件
____________________，则 a∥b.
2
1
3
a
b
c
∠2 = 150° 或∠3 = 30°
3. 如图.（1）从∠1 =∠4，可以推出　 ∥ ，
理由是 .
(2) 从∠ABC +∠ = 180°，可以推出 AB∥CD，理由是 .
A
B
C
D
1
2
3
4
5
AB
内错角相等，两直线平行
CD
BCD
同旁内角互补，两直线平行
(3) 从∠ =∠ 2 ，可以推出 AD∥BC，
理由是 .
(4) 从∠5 =∠ ，可以推出 AB∥CD，
理由是 .
3
内错角相等，两直线平行
ABC
同位角相等，两直线平行
A
B
C
D
1
2
3
4
5
理由如下：
因为 AC 平分∠DAB (已知)，
所以∠1 =∠2 (角平分线的定义).
又因为∠1 =∠3 (已知)，
所以∠2 =∠3 (等量代换).
所以 AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
4. 如图，已知∠1 =∠3，AC 平分∠DAB，你能判定
哪两条直线平行？请说明理由.
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
解：AB∥CD.
1. 同位角相等，两直线平行.
2. 内错角相等，两直线平行.
3. 同旁内角互补，两直线平行.
4. 平行于同一条直线的两直线平行.
5. 平行线的定义.
判定两条直线平行的方法有：
谢谢观看
沪科版数学七年级下册