天津市滨海新区2023-2024学年高一上学期期末检测数学试题（含答案）

滨海新区2023-2024学年度第一学期期末检测卷
高一年级数学
第Ⅰ卷 选择题 （60分）
一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数（，且）的图像恒过定点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
9.沿函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.由于受潮汐的影响，某港口一天中各时刻的水位高低相差很大.如图，已知该港口某天从8时至14时的水深（单位：）与时刻的关系可用函数近似刻画，其中，，.据此可估计该港口当天9时的水深为（ ）
A. B. C. D.
11.若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.若函数（，）的最小正周期为，且.给出下列判断：
①若，则函数的图象关于直线对称
②若在区间上单调递增，则的取值范围是
③若在区间内没有零点，则的取值范围是
④若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则的取值范围是
其中，判断正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共12小题，共90分.
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
13.命题“，”的否定是______.
14.幂函数的图象过点，则______.
15.已知，则的最小值为______.
16.已知，，则用，表示______.
17.已知函数.
（ⅰ）函数的定义域为______；
（ⅱ）若是斜三角形的一个内角，则使不等式成立的的集合为______.
18.已知集合，，其中.
（ⅰ）当时，______；（ⅱ）若，则实数的取值范围为______.
19.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为.
（ⅰ）当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为______；
（ⅱ）若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的.若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为______.
（所有结果保留整数，参考数据：，）
20.设函数
（ⅰ）______；
（ⅱ）若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是______.
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.（本小题分12分）
已知，.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求，的值.
22.（本小题满分12分）
已知二次函数，.
（Ⅰ）若函数是偶函数，求实数的值；
（Ⅱ）若，求不等式的解集；
（Ⅲ）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围.
23.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数主上的单调递减区间；
（Ⅲ）已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
24.（本小题满分13分）
已知，函数.
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.
滨海新区2023-2024学年度第一学期期末检测卷
高一年级数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D A A D C B D C B C
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
13.， 14. 2 15. 4 16. 17.；
18.； 19. 4400；22 20. 0；
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，，
∴
∴
（Ⅱ）
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为函数是偶函数，所以.
所以.
所以.由的任意性，所以，
（Ⅱ）时，.
，解得，
∴不等式的解集为.
（Ⅲ）函数对称轴，抛物线开口方向向上.
因为函数在区间上具有单调性，则满足，或，
解得：，或.
所以实数的取值范围为.
23.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
∵，∴的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
设，
∵，∴，
∵，的单调递减区间是，
且由，得，
所以函数在上的单调递减区间是.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
所以.
函数在上存在零点，
即在上有解.
由（Ⅱ）知在，上单调递增，在上单调递减.
所以在上，，
.
令，.
则，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
24（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）时，
所以
得，所以函数的定义域为.
（Ⅱ）方程，即，即.
∴，化为：，方程的解集中有且只有一个元素，
等价于有且仅有一正根.
（1）若，化为，解得，符合题意；
（2）若，此时.
①令，得，解得，符合题意；
②当，即时，方程有两个解，设为，.
则，.
当时，，此时方程有一正、一负根，符合题意.
当时，，，此时方程有两个正根，不符合题意.
综上，实数的取值范围为，
（Ⅲ）.
当时，.
因为，，所以.
所以，所以，
所以.
所以在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，.
即：，
即：，因为，，
整理得：，令.
因为时，存在，
故只需.
因为，对称轴方程，所以在上单调递增，
所以，故，得.
故实数的取值范围为.