1.3线段的垂直平分线 自主学习解答题专题提升训练题 （含答案）2023-2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》
自主学习解答题专题提升训练题（附答案）
1．尺规作图：画出线段AB的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）
2．如图，已知△ABC，请用直尺与圆规作图，将三角形的面积两等分．(不写作法，但要保留作图痕迹)
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=6，△ABD的周长为24．
求△ABC的周长
4．如图在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，若∠A=40°，则
（1）求∠DBC的度数，
（2）若AB=12，BC=7,求△BCD的周长
5．如图，等腰三角形的底边长为4，的面积是16，腰的垂直平分线分别交边于点．若为边的中点，为线段上一动点，求周长的最小值．

6．如图，已知△ABC中∠BAC=135°，点E，点F在BC上，EM垂直平分AB交AB于点M，FN垂直平分AC交AC于点N，BE=12，CF=9．
（1）判断△EAF的形状，并说明理由；
（2）求△EAF的周长．
7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．

(1)在图中作出关于直线l对称的，的面积为_____________；
(2)一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有___________个；
(3)在直线l上找一点Q，使的值最小．
8．如图，在中， 垂直平分交于点D，交于点E，垂直平分交于点F，交于点G.

(1)若，求的周长.
(2)若，求的度数.
9．如图，在四边形中，，点E为上一点，连接相交于点F，．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
10．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点．

(1)求证：点是的中点；
(2)若，，求的长．
11．如图，在中，是边的垂直平分线，且，延长，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：过点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图2，线段的垂直平分线交于点，求点的坐标；
(3)若点在线段上，且，求点的坐标．
13．如图，在中，，的垂真平分线交于点，交于点．
(1)若，则的度数是　　　　度；
(2)探究与的关系，并说明理由；
(3)连接，若，的周长是，求的长．
14．如图，已知垂直平分线段，点是线段延长线上的一点，且，连接，过点作于点，交的延长线于点．
(1)______；（用含的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若，求的面积．
15．已知：如图，在中，，于点D，E是上的一动点，点F在直线上，且．
(1)求证：；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，如果，，当正好平分时，直接写出的长为_____．（用含m的代数式表示）
16．如图，，与相交于点，．

(1)求证垂直平分；
(2)过点作交的延长线于，如果；
①求证是等边三角形；
②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．
17．如图1，在中，点在边上，．

(1)在图、图中，请用直尺和圆规作图：画出关于直线对称的；
(2)利用中画出的图形，求证：；
(3)如图，已知点在边上，且，连接，试探索和之间的数量的关系，写出你的结论并证明．
18．在中，，点D是上一点，，点E是上一点，．

(1)如图1，求证：是等腰三角形．
(2)如图2，过点E作于点F，求证：平分．
(3)如图3，延长交于点G，求证：点C在的垂直平分线上．
19．【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

【性质探究】
（1）如图1，连接筝形的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是： ；图中、的大小关系是： ．
【概念理解】
（2）如图2，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
【应用拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：．
20．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
参考答案
1．解：如图所示：EF即为所求．
2．解：如图：
3．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE=6，
∴AC=12．
∵△ABD的周长为24，
∴AB+BD+AC=AB+BD+CD=AB+BC=24，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=36．
4．解：（1）在中，，，
∴.
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，∴，
∴.
答：的周长为19.
5．解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：10．

6．解：（1）△EAF为直角三角形．
∵EM是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠BAE=∠B．
∵FN是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠C
．∵∠BAC=135°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣135°=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=135°﹣45°=90°，
∴△EAF为直角三角形；
（2）在△EAF中，
∵∠EAF=90°，
∴EF2=AE2+AF2，
∵BE=12，CF=9，
∴EF2=122+92=225，
∴EF=15，
∴△EAF的周长=12+9+15=36．
故答案为（1）△EAF为直角三角形．理由见解析；（2）△EAF的周长=36．
7．（1）解：根据轴对称图形的性质，
如图所示，即为所求：
．
（2）根据垂直平分线的性质，
作线段的垂直平分线，如图：
点、、、、都满足条件，
则网格中满足条件的点P共有5个，
故答案为：5．
（3）连接与直线交于点Q，
由轴对称图形的性质得，
，
则此时值最小，
如图所示，点Q即为所求：

8．（1）解：垂直平分
，
垂直平分
，
的周长
（2）在中，
，
，
垂直平分，
，
垂直平分，
，
，，
9．（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：连接交于点O，
∵，
∴是的垂直平分线，
即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴．
10．（1）证明：，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，即点是的中点；
（2）解：，
，
又，，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
11．（1）证明：如图，连接，
∵是边的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，即．
∴是直角三角形．
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，
解得．
∴．
12．（1）解：∵点A在轴上，直线过点A，
∴点A坐标为
将点和点代入直线，得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵的垂直平分线交于点，
∴点的横坐标为，
将，代入，得，
∴点的坐标为；
（3）解：如图，设点坐标为，
在中，令得，
∴，
∵，，
∴，，，
∵点在线段上，，
∴，
解得：，
当时，，
∴点的坐标为．
13．（1）解： ，，
，
，
垂直平分，
，
，
故答案为：50；
（2）解：，
理由如下：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，的周长是，
∴．
14．（1）解： ，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图，连接．
垂直平分线段，
，
．
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
；
（3）解：垂直平分线段，
，
如图，过点作，交的延长线于点，则．
，
，
．
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
15．（1）证明：如图，设与交与点G，
，于点D，
，
，，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分；
（2）①证明：如图，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
②如图，延长至使得，则垂直平分线，
∴，
∴，
作于G，则此时取最小值，
∵是等边三角形，，
∴，
∴在中，．
17．解：（1）如图，延长，以点为圆心长为半径画弧，交延长线与点，连接，

∴即为所求；
（2）如图，同（）作点关于对称点，连接

∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3），理由：
如图，

设，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
18．解：（1），，
，
，
，
，
∴，
∴，
是等腰三角形；
（2）过点D作，

，
，
∴，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
平分；
（3）由（2），
在中,，
在中,，
∴
，
∴，
∴
∴点在的垂直平分线上．
19．解：（1）∵，，
∴垂直平分，
∵，，
∴；
（2）图中的“筝形”有：四边形、四边形、四边形；
证明四边形是筝形：
由轴对称的性质可知，；
四边形是筝形．
同理：，；
四边形是筝形．
连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是筝形；

（3）证明：如图3中，

由轴对称的性质可知：
，，，，
∴，，
，
，
，
，
．
20．解：（1）如图1，延长至，使，连接，
∵为边上的中线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）如图2中，延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3）结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．