1.4角平分线 自主学习解答题专题提升训练 （含答案）2023-2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》
自主学习解答题专题提升训练（附答案）
1．证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直．
2．如图，已知．

(1)求作的平分线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)说明的依据是__________．
3．如图，在直线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

4．已知：如图，于，于，若，；求证：平分．
5．如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长．
7．如图所示，于点，于点，与交于，且．求证：在的角平分线上．
8．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．
(1)求的度数；
(2)如果 ，，求四边形的周长．
9．如图，是的角平分线，，，与相交于点G．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若，，，求的面积．
10．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于点M，交于点N，若，．
(1)求证：；
(2)求的周长．
11．于，于，若，．

(1)求证：平分．
(2)请你判断、与之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.
(1)若，求的度数；
(2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等.
13．如图，四边形中，，连接，．
(1)如图（1），若，证明：．
(2)如图（2），平分，证明：．
14．如图，在的边上任取一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，顺次连接．

(1)求证：平分；
(2)连接，求证：；
(3)若，则________度．
15．【问题情境】
如图，在中，，于点，是上一点，连接，与相交于点，连接，且．
【探索求证】
（1）求证：垂直平分；
（2）若，求证：平分；
【深入探究】
（3）若，试判断的形状，并说明理由．
16．如图，、都是等边三角形，与交点C，
(1)如图1，求证；
(2)如图2，求证： 平分；
(3)如图2，若，，，求的长．
17．如图，在中，，P是线段上一个动点．
(1)如图1，若平分，交于点F，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，求的长；
(3)如图2，若，过直角顶点C作，并延长交于点E．为的角平分线，连接，当时，求的长．
18．如图1，在中，于M，；
(1)求证：；
(2)如图2，平分，交于E，，点F是延长线上的一点，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作，若，求的长．
19．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：
如图①，在中，平分，，求证：；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(1)根据以上材料，任选一种方法证明：；
(2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明.
20．平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．

(1)如图1，若，，求点B的坐标；
(2)如图2，设交x轴于点D，，若平分，求点B的纵坐标；
(3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示）
参考答案
1．解：已知如图，分别平分且相交于点．
求证：．
证明：，
．
分别平分，
，
，
．
2．（1）解：如图所示，即为所求；

以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于E、F，再分别以E、F为圆心，以大于长的一半为半径画弧，二者交于点C，则射线即为所求；
（2）解：由作图方法可知，
又∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴依据是平分；
3．解：点P所在位置如图所示：

4．证明：∵，，
∴
在和中：
∴，
∴
又∵，，
∴平分
5．证明：∵，，
∴，
∴与都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线．
6．解：∵AC＝AB，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC，
∴ED＝EF＝3．
7．证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴在的角平分线上．
8．（1）解：，且，
，
，
是的角平分线，
，
，
,
．
（2）是的角平分线，且，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形为：．
9．（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴，
∴点D在的垂直平分线上．
又∵，，
∴，
∴，
∴点A在的垂直平分线上．
∴是的垂直平分线；
（2）解；∵，
∴
．
10．（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
是等腰三角形，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
是等腰三角形，
，
，，
．
11．（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，，
平分．
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
．
12．（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，
∴，
∴
（2）证明：过点P作，，，如图，
∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴点到三边，，所在直线的距离相等
13．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图（2），作于F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．（1）证明： ，，，
，
，
平分．
（2）证明：，，，
．
（3）解：，
，
又，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：115．
15．解：探索求证：
（1）证明：，
，
，点，在上，
垂直平分；
（2）证明：，
，
，，即，，
平分；
深入探究：
（3）由（1）知，，
，
是等边三角形，
，，
垂直平分，
是的中点，
，
，
，
，
是等边三角形．
16．解：（1）证明：如图1，∵、都是等边三角形，
∴，，，
∴， 即，
∴，
∴；
（2）如图2，过A作于M，于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴， 而，，
∴A在的平分线上，即平分；
（3）如图，记，的交点为，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∵平分，
∴，而，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
17．（1）证明：，
，
平分，
，
，
；
（2）设，则，
，
，
，
；
（3）延长交于点M，
平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
18．（1）证明：作的平分线，交于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过F作，与的延长线交于点G，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（1）证明：方法一，

∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
方法二：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，在上截取，使得，连接，
　　　　　　　
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，　　　　
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
20．（1）解：如图1中，

作轴于点H，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
则；
（2）解：如图2中，作轴于点，并延长交的延长线于点，

，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
点的纵坐标为；
（3）解：如图3中，连接，作于点，于点，

∵点E在的平分线上，平分，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
由折叠可知：，
，
，
，
．