专题2.3 直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
6．辨析直线方程的五种形式
7．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型1 直线的点斜式方程】
【方法点拨】
(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；
【例1】（2022·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程可以表示（ ）.
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022·四川乐山·高二期末（文））过点且斜率为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 直线的斜截式方程】
【方法点拨】
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.
【例2】（2021·全国·高二课时练习）过点与的直线的斜截式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2021·全国·高二课时练习）直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2021·辽宁·高一开学考试）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 直线的两点式方程】
【方法点拨】
已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.
注：①当时，直线方程为 (或).
②当时，直线方程为 (或).
【例3】（2022·全国·高二课时练习）过两点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 直线的截距式方程】
【方法点拨】
(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
【例4】（2022·全国·高二）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为 ( )
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2021·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为．
【变式4-3】（2021·全国·高一课时练习）已知直线经过点和点，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
【题型5 直线的一般式方程】
【方法点拨】
(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），
得出直线方程.
(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方
程.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）直线经过第一、三、四象限，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）若方程表示一条直线，则实数m满足（ ）
A． B．
C． D．且且
【变式5-2】（2022·吉林·高二阶段练习（理））经过点，斜率为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）关于x、y的方程表示的直线（图中实线）可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 由直线的方向向量求直线方程】
【方法点拨】
根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.
【例6】（2022·全国·高二专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2021·全国·高二课时练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022·上海·高三专题练习）过点，且与直线有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2021·全国·高二课时练习）过点 ，且以为方向向量的直线方程为（ ）
A． B．y＝2x+1 C． D．专题2.3 直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(3)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
6．辨析直线方程的五种形式
7．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型1 直线的点斜式方程】
【方法点拨】
(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；
【例1】（2022·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程可以表示（ ）.
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
【解题思路】由点斜式方程的定义可得答案.
【解答过程】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．
故选：D.
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设线段的中点为，连接，可知轴，求出点的坐标，进而可求得直线的点斜式方程.
【解答过程】设线段的中点为，连接，
，则轴，则点，故点，
所以，直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为．
故选：D．
【变式1-2】（2022·四川乐山·高二期末（文））过点且斜率为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】由题意可知所求直线的方程为，即.
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.
【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故选：D．
【题型2 直线的斜截式方程】
【方法点拨】
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.
【例2】（2021·全国·高二课时练习）过点与的直线的斜截式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设所求直线的斜截式方程为，将点、的坐标代入直线方程，求出、的值，即可得解.
【解答过程】设所求直线的斜截式方程为，则，解得，
因此，直线的斜截式方程为.
故选：B.
【变式2-1】（2021·全国·高二课时练习）直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】化方程为斜截式即可.
【解答过程】直线用斜截式表示为，
故选：B．
【变式2-2】（2021·辽宁·高一开学考试）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线与轴交点和与轴交点的坐标，利用面积公式计算即可.
【解答过程】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则，
令，得，所以直线与轴交点坐标为，
令，得，所以直线与轴交点坐标为，
所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
解得.
故选：D.
【变式2-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.
【解答过程】，
直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，
故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.
故选：B.
【题型3 直线的两点式方程】
【方法点拨】
已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.
注：①当时，直线方程为 (或).
②当时，直线方程为 (或).
【例3】（2022·全国·高二课时练习）过两点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两点式方程直接求解即可.
【解答过程】解：∵直线过两点和，
∴直线的两点式方程为＝，整理得.
故选：C.
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.
【解答过程】由题意知不与轴平行，故由直线的两点式方程可得，解得：，
故选：C.
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两点式直线方程即可求解.
【解答过程】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.
故选:C.
【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【解答过程】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为，即．
故选：C．
【题型4 直线的截距式方程】
【方法点拨】
(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.
(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.
【例4】（2022·全国·高二）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【解答过程】解：设直线的方程为，则的面积为①．
因为直线过点，所以②．
联立①②，解得，，
故直线的方程为，
故选：A．
【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为 ( )
A． B．
C． D．
【解题思路】由中点坐标公式得到点的坐标，即可得到直线的两点式方程，由两点式方程转化为截距式方程即可.
【解答过程】解：因为三顶点坐标为，
又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：，
则直线的两点式方程为：，故截距式方程为.
故选：A．
【变式4-2】（2021·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为．
【解题思路】根据已知两点可直接得出.
【解答过程】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为.
故答案为：.
【变式4-3】（2021·全国·高一课时练习）已知直线经过点和点，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
【解题思路】根据直线过求得两点式方程，再转化其他形式即可.
【解答过程】解：
∵直线过，
∴由两点式得．
整理得一般式方程为，
两边同除以，整理得截距式方程为，
由截距式方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为、16．
【题型5 直线的一般式方程】
【方法点拨】
(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），
得出直线方程.
(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方
程.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）直线经过第一、三、四象限，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】数形结合根据斜率与截距列不等式求解即可.
【解答过程】直线经过第一、三、四象限，如图所示，
则，且，则．
故选：B．
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）若方程表示一条直线，则实数m满足（ ）
A． B．
C． D．且且
【解题思路】若表示一条直线，则不能同时为0，即.
【解答过程】当时，m＝1或m＝－1；当时，m＝0或m＝1.
要使方程表示一条直线，则，不能同时为0，
所以，
故选：B.
【变式5-2】（2022·吉林·高二阶段练习（理））经过点，斜率为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可.
【解答过程】解：由题意得，经过点，斜率为的直线方程为，
即.
故选：C.
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）关于x、y的方程表示的直线（图中实线）可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可得直线的斜率为，在轴上的截距为，直线的斜率和它在轴上的截距的乘积为，逐个分析判断即可.
【解答过程】关于x、y的方程表示的是直线，且直线的斜率为，在轴上的截距为，直线的斜率和它在轴上的截距的乘积为，
对于A，直线的斜率和它在轴上的截距都是正数，不满足题意，所以排除A，
对于B，直线的斜率小于1，它在轴上的截距大于小于零，不满足题意，所以排除B，
对于C，直线的斜率和它在轴上的截距都是负数，不满足题意，所以排除C，
对于D，直线的斜率小于，它在轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立，
故选：D.
【题型6 由直线的方向向量求直线方程】
【方法点拨】
根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.
【例6】（2022·全国·高二专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】由方向向量得直线的斜率为－，所以得直线方程为，即．
故选：C.
【变式6-1】（2021·全国·高二课时练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】因为所求直线的方向向量为，所以该直线的斜率为．
又该直线过点，所以所求直线的方程为，即．
故选：C.
【变式6-2】（2022·上海·高三专题练习）过点，且与直线有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用直线的方向向量与直线平行与斜率的关系，即可得出．
【解答过程】由可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率，
由题意可知所求直线的斜率k，
故所求的直线方程为y（x+1）即3x+5y+3＝0．
故选：B．
【变式6-3】（2021·全国·高二课时练习）过点 ，且以为方向向量的直线方程为（ ）
A． B．y＝2x+1 C． D．
【解题思路】求出以为方向向量的直线的斜率，再根据直线过点，用点斜式求直线的方程可得答案.
【解答过程】根据直线的方向向量的概念，得以为方向向量的直线的斜率等于，
再根据直线过点，用点斜式求出直线方程为，即，
故选：A.
