专题2.5 直线的方程（二）-重难点题型精讲
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
2．两条直线的位置关系
3．直线系方程
具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类：
4．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从
而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
【题型1 求直线方程】
【方法点拨】
(1)直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形式，进行求解即可.
(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A．或 B．或或
C．或 D．或或
【变式1-1】（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022·全国·高二专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 直线过定点问题】
【方法点拨】
(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得到定点的坐标.
(2)方程法：将已知的方程中含有参数的项放到一起，整理成关于参数的方程，若直
线过定点，则其解就是动直线所过定点的坐标.
【例2】（2021·广东东莞·高二阶段练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）直线所过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·全国·高二专题练习）直线在轴上，轴上的截距的倒数之和为常数，则该直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）下列有关直线的说法中正确的是（ ）．
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】
【方法点拨】
(1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为；过点与直线
垂直的直线方程可设为.
(2)利用互相垂直的直线的斜率之间的关系求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在且
不为零的情况).
【例3】（2022·河南·高二阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·江苏·高二课时练习）若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2021·河南·高三开学考试（文））已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求与已知直线平行的直线方程】
【方法点拨】
(1)一般地，方程中系数A，B决定直线的斜率，因此，与直线平行的直
线方程可设为 ()，这是常用的解题技巧.
当时，直线与重合.
(2)一般地，经过点且与直线平行的直线方程可设为.
(3)利用平行直线的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程.
【例4】（2022·江苏·高二阶段练习）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高二）与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021·广东·高二期中）若直线：与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2021·天津市高二阶段练习）与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 根据两直线平行或垂直求参数】
【方法点拨】
(1)考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解.
(2)已知两直线垂直求解参数时，需要注意斜率是不是零.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知直线过、两点，直线的方程为，如果，则值为（ ）
A．-3 B． C． D．3
【变式5-1】（2022·重庆八中高一期末）已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（ ）
A．2 B． C．－2 D．
【变式5-2】（2022·山东·高二阶段练习）已知条件：直线与直线平行，条件，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】（2021·山西·高二阶段练习（文））若直线与直线垂直，则（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或3
【题型6 直线方程的实际应用】
【方法点拨】
根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，结合实际条件进行求解，注意结果要满
足实际情境.
【例6】（2021秋 徐汇区校级期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝90°，点Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，经测量BC＝70m，CD＝80m，DE＝100m，AE＝60m．
（1）如图建立直角坐标系，求线段AB所在直线的方程；
（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到1m2）
【变式6-1】（2022 封开县校级模拟）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．
（1）求OC所在直线的斜率；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
【变式6-2】（2021春 达州期末）图1是台球赛实战的一个截图．白球在A点处击中一球后，直线到达台球桌内侧边沿点B，反弹后直线到达台球桌内侧另一边沿点C，再次反弹后直线击中桌面上点D处一球．以台球桌面内侧边沿所在直线为坐标轴建立如图2所示的平面直角坐标系．已知A（1，1），B（0.4，0）．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点D的坐标是，求x0.（提示：直线AB与直线BC的斜率互为相反数，DC∥AB．）
【变式6-3】（2022春 惠州期末）t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．
（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；
（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．
①求证：顶点C一定在直线yx上．
②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．专题2.5 直线的方程（二）-重难点题型精讲
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
2．两条直线的位置关系
3．直线系方程
具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类：
4．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从
而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
【题型1 求直线方程】
【方法点拨】
(1)直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形式，进行求解即可.
(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A．或 B．或或
C．或 D．或或
【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.
【解答过程】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即；
②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
综上所述，直线方程为：或或.
故选：B.
【变式1-1】（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线的两点式方程求解即可.
【解答过程】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为，即．
故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高二专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.
【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故选：D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.
【解答过程】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
【题型2 直线过定点问题】
【方法点拨】
(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得到定点的坐标.
(2)方程法：将已知的方程中含有参数的项放到一起，整理成关于参数的方程，若直
线过定点，则其解就是动直线所过定点的坐标.
【例2】（2021·广东东莞·高二阶段练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直线恒过定点，把参数提取公因式，使k的系数为0即可得到答案.
【解答过程】把直线方程整理为，令，故，所以定点为，
故选：C.
【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）直线所过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直线化为点斜式，可以看出直线所过的定点坐标.
【解答过程】直线方程可以化为，则此直线恒过定点，
故选：D.
【变式2-2】（2021·全国·高二专题练习）直线在轴上，轴上的截距的倒数之和为常数，则该直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设直线在轴上，轴上的截距分别为，，可得直线的方程为、，进而可得即可求解.
【解答过程】设直线在轴上，轴上的截距分别为，，且，
所以直线的方程为，
又因为，可得，
所以该直线必过定点．
故选：C．
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）下列有关直线的说法中正确的是（ ）．
A．直线的斜率为 B．直线的斜率为
C．直线过定点 D．直线过定点
【解题思路】讨论和两种情况可得.
【解答过程】直线可化为．
当时，直线的方程可化为，其斜率为，过定点；
当时，直线的方程为，其斜率不存在，过点(，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】
【方法点拨】
(1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为；过点与直线
垂直的直线方程可设为.
(2)利用互相垂直的直线的斜率之间的关系求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在且
不为零的情况).
【例3】（2022·河南·高二阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由垂直关系确定方程斜率，再由点斜式写出直线方程.
【解答过程】由题设，与直线垂直的直线斜率为，且过，
所以，整理得.
故选：B.
【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
【变式3-2】（2022·江苏·高二课时练习）若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】根据所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果.
【解答过程】因为，，故可得所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的斜率，又其过点，
故其方程为，整理得：.
故选：B.
【变式3-3】（2021·河南·高三开学考试（文））已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.
【解答过程】由题设，，
故线段AB的垂直平分线的斜率为2，
又中点为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，
整理得：.
故选：B.
【题型4 求与已知直线平行的直线方程】
【方法点拨】
(1)一般地，方程中系数A，B决定直线的斜率，因此，与直线平行的直
线方程可设为 ()，这是常用的解题技巧.
当时，直线与重合.
(2)一般地，经过点且与直线平行的直线方程可设为.
(3)利用平行直线的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程.
【例4】（2022·江苏·高二阶段练习）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【解答过程】由题意设所求方程为，
因为直线经过点，
所以，即，所以所求直线为.
故选：A.
【变式4-1】（2022·全国·高二）与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由直线平行及直线所过的点，应用点斜式写出直线方程即可.
【解答过程】与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为，整理得．
故选：C.
【变式4-2】（2021·广东·高二期中）若直线：与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由两条直线平行得到斜率，进而通过点斜式求出直线方程.
【解答过程】由题意，的斜率为，则的斜率为，又过点，所以的方程为：.
故选：C.
【变式4-3】（2021·天津市高二阶段练习）与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出直线交于轴交点，再设与直线平行的直线方程，代入点的坐标得解.
【解答过程】设直线交于轴于点，令，则， ，
所求直线与平行，设，把，
代入得 ，
所求直线方程为：，
故选：C.
【题型5 根据两直线平行或垂直求参数】
【方法点拨】
(1)考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解.
(2)已知两直线垂直求解参数时，需要注意斜率是不是零.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知直线过、两点，直线的方程为，如果，则值为（ ）
A．-3 B． C． D．3
【解题思路】先求直线斜率，再根据两直线平行列式求得值.
【解答过程】因为直线过、两点，所以直线斜率为，
因为直线的方程为，所以直线斜率为，
因为，所以
故选：D.
【变式5-1】（2022·重庆八中高一期末）已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（ ）
A．2 B． C．－2 D．
【解题思路】利用两条直线垂直的一般式方程结论列式求解即可.
【解答过程】解：∵直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，
∴，则m＝2，
故选：A．
【变式5-2】（2022·山东·高二阶段练习）已知条件：直线与直线平行，条件，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先求出两条直线平行时对应的的值，再判断两者之间的条件关系.
【解答过程】若直线与直线平行，则，故.
当时，为，
此时直线与直线平行.
当时，为，
此时直线与直线平行.
故若直线与直线平行，则，推不出，
若，则直线与直线平行.
故是的必要不充分条件.
故选：C.
【变式5-3】（2021·山西·高二阶段练习（文））若直线与直线垂直，则（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或3
【解题思路】根据垂直，则 求解.
【解答过程】因为直线与直线垂直，
所以，
解得0或 ，
故选：C.
【题型6 直线方程的实际应用】
【方法点拨】
根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，结合实际条件进行求解，注意结果要满
足实际情境.
【例6】（2021秋 徐汇区校级期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝90°，点Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，经测量BC＝70m，CD＝80m，DE＝100m，AE＝60m．
（1）如图建立直角坐标系，求线段AB所在直线的方程；
（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到1m2）
【解题思路】（1）推导出A（0，20），B（30，0），由此能求出线段AB所在直线的方程．
（2）设Q（x，y），则直线AB的方程为1（0≤x≤30），求出RQ＝100﹣x，PQ＝80﹣y，y＝20（1）＝20，由此能求出当x＝5，y时，才能使草坪的占地面积最大，最大面积为6017m2，此时Q（5，）．
【解答过程】解：（1）由题意得AO＝80﹣60＝20，OB＝100﹣70＝30，
∴A（0，20），B（30，0），
∴线段AB所在直线的方程为：1．
（2）设Q（x，y），则直线AB的方程为1（0≤x≤30），
∵RQ＝100﹣x，PQ＝80﹣y，y＝20（1）＝20，
∴草坪的占地面积为：
S矩形PQRC＝RQ×PQ＝（100﹣x）（80﹣y）
＝（100﹣x）（80﹣20）
＝（100﹣x）（60）
6000
（x﹣5）2
（x﹣5）2+6017．（0≤x≤30），
∴当x＝5，y时，才能使草坪的占地面积最大，最大面积为6017m2，此时Q（5，）．
【变式6-1】（2022 封开县校级模拟）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．
（1）求OC所在直线的斜率；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
【解题思路】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k，求出直线OC的斜率即可；
（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直于AB，所以CD垂直于OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．
【解答过程】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），
∴OC所在直线的斜率为．
（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，
∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．
∴CD所在直线的斜率为．
∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10＝0．
【变式6-2】（2021春 达州期末）图1是台球赛实战的一个截图．白球在A点处击中一球后，直线到达台球桌内侧边沿点B，反弹后直线到达台球桌内侧另一边沿点C，再次反弹后直线击中桌面上点D处一球．以台球桌面内侧边沿所在直线为坐标轴建立如图2所示的平面直角坐标系．已知A（1，1），B（0.4，0）．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点D的坐标是，求x0.（提示：直线AB与直线BC的斜率互为相反数，DC∥AB．）
【解题思路】（1）根据题意，由直线的两点式方程分析可得答案；
（2）根据题意，求出直线BC的方程，进而可得C的纵坐标，又由DC//AB，求出直线CD的方程，由此分析可得答案．
【解答过程】解：（1）由A（1，1），B（0.4，0）知，直线AB的方程是，
化简得直线AB方程为5x﹣3y﹣2＝0；
（2）根据条件，直线BC的斜率为，则直线BC的方程是．
在BC方程中，令x＝0得点C的纵坐标为．
由题意，DC//AB，∴直线CD的方程是，则有，
解得x0．
【变式6-3】（2022春 惠州期末）t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．
（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；
（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．
①求证：顶点C一定在直线yx上．
②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．
【解题思路】对于（1）可先求直线PQ的方程再把点M，点N的坐标代入检验即可得到结论．
对于（2）的①找出点C的坐标看是否适合直线yx．对于（2）的②阴影部分的面积即为三角形的面积减去正方形的面积，作差求最值即可．
【解答过程】解：（1）令过P、Q方程
tx﹣2（t﹣5）y+t2﹣10t＝0，
假设M过PQ，
则t2﹣6t+10＝0，△＝36﹣40＜0，无实根，故M不过直线PQ．
若假设N过直线PQ，
同理得：t2﹣16t+50＝0，t1＝8，t2＝8（舍去），
∵t∈（0，10），当t＝8时，直线PQ过点N（4，5）；
（2）由已知条件可设A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）．
①点C（2a，a），即，
消去a得yx，
故顶点C在直线yx上．
②令阴影面积为S，则s|10﹣t| |t|﹣a2，
∵t＞0，10﹣t＞0，S（﹣t2+10t）﹣a2，
∵点C（2a，a）在直线PQ上，
∴2at﹣2（t﹣5）a＝﹣t2+10t，
∴a（10t﹣t2），
S10a﹣a2，
∴当a时，Smax，
此时顶点A、B、C、D的坐标为A（，0），B（5，0），C（5，），D（，）.
