专题2.6 直线的方程（二）-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将直线变形为，则且，即可求出定点.
【解答过程】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点，
故选：A.
2．（3分）（2022·江苏·高二阶段练习）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【解答过程】由题意设所求方程为，
因为直线经过点，
所以，即，所以所求直线为.
故选：A.
3．（3分）（2022·全国·高二专题练习）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
4．（3分）（2021·福建·高二阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．或 D．
【解题思路】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案．
【解答过程】解：直线，，
若，则，解得：或
当时，与重合，故“” “”，
故“”的必要不充分条件是“或”，
故选：C．
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知，，求出直线与两坐标轴的交点，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.
【解答过程】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
6．（3分）（2022·四川·高二阶段练习（文））有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25min B．35min C．40min D．45min
【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.
【解答过程】由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率，
∴直线方程为，
∴当蜡烛燃尽时，有，即，
故选：B.
7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【解题思路】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【解答过程】由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号,
所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
8．（3分）（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程．
【解答过程】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线
的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率
则的欧拉线的方程为，即
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，下列命题中正确的有（ ）
A．当时，与重合 B．若，则
C．过定点 D．一定不与坐标轴平行
【解题思路】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D．
【解答过程】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确；
当时，有且，解得，故B错误；
因为，所以直线过定点，故C正确；
当时，直线与x轴平行，故D错误；
故选：AC．
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．当时，直线与直线垂直
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【解题思路】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.
【解答过程】对于A项，若直线与直线平行，则或1，故A错误；
对于B项，当时，直线为，斜率为1，而直线斜率为－1，∴两条直线垂直，故B正确；
对于C项，恒成立时，令y＝0，得x＝1，即直线过定点(1，0)，故C正确；
对于D项，当时，直线为，令，令，所以横截距和纵截距互为相反数，故D错误.
故选：BC.
11．（4分）（2022·重庆·高三阶段练习）已知直线，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
【解题思路】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点；
对于选项B，通过斜率相等可以求解；
对于选项C，通过斜率之积等于可以求解；
对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解.
【解答过程】直线，则，
由，得，所以恒过定点，所以A错误；
由可得：，所以，B正确；
由可得：，，所以C错误；
由，当时，，不过第三象限；
当时，，不过第三象限，只需要，解得，
所以的取值范围为，所以D正确；
故选：BD.
12．（4分）（2022·河北·高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角形重心坐标公式进行求解判断即可.
【解答过程】设顶点C的坐标为，所以重心坐标为，
因为欧拉线方程为，所以.
A：当顶点C的坐标为时，显然不满足；
B：当顶点C的坐标为时，显然满足；
C：当顶点C的坐标为时，显然满足；
D：当顶点C的坐标为时，显然不满足，
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且与直线平行，则直线的一般式方程为 .
【解题思路】先利用平行假设直线为，再将代入即可得到答案
【解答过程】解:因为直线与直线平行，所以假设直线为,
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的一般式方程为，
故答案为:.
14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为 ．
【解题思路】由已知得直线恒过的定点，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为，代入可求得答案.
【解答过程】解：因为，所以，
所以直线恒过定点，即，
因为过点A且与直线垂直，
所以设过点A的直线方程为，
所以，即，
所以所求直线方程为，
故答案为：.
15．（4分）（2022·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为 .
【解题思路】设的平分线的倾斜角为，根据斜率公式结合可得，由的范围即可求解.
【解答过程】由题意，可设的平分线的倾斜角为，如图，
则，即.
则或，又，故，
故，
故的平分线所在直线的方程为，
故答案为：
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 .
【解题思路】由题意可得点坐标及，设，利用三角函数分别表示，，由三角恒等变换后求正弦型函数的值域得解.
【解答过程】由题意可知，动直线经过定点，
动直线，即，经过点定点，
m ≠ 0时，动直线和动直线的斜率之积为，两条直线垂直，m = 0时，两条直线也垂直，
又是两条直线的交点，
，.
设，则，，
由且，可得，
，
，
，
，，
，，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．
【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答.
【解答过程】解：依题意，设l与t的关系式为：，是常数，
于是得，解得，
则l与t的关系式为，当时，，
所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m.
18．（6分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知直线过定点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程.
【解题思路】（1）根据两直线垂直，设直线的方程，代入点的坐标，求出参数的值即可；
（2）分直线经过原点和直线不经过原点两种情况讨论，当直线不经过原点设直线的方程为，代入点的坐标，求出参数的值即可；
【解答过程】解：（1）
解：直线与直线垂直，设直线的方程，
将定点代入可得，解得，
故直线的方程为；
（2）
解：①当直线经过原点时，可得直线的方程为：，即，
②当直线不经过原点时，可设直线的方程为，
把点代入可得，解得，可得直线的方程为，
综上所述：所求的直线的方程为：或.
19．（8分）（2022·四川省高一阶段练习（理））已知平行四边形ABCD的三个顶点 ．
(1)求顶点D的坐标；
(2)在中，求边BC的高线所在直线的方程．
【解题思路】（1）利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式进行求解；
（2）求出直线BC的斜率，进而根据垂直关系求出边BC的高线所在直线的斜率，从而利用点斜式写出答案.
【解答过程】解：（1）
设平行四边形的中心为E，E为AC和BD的中点，
其中，则E（4,0），
设D（x,y），则有 ，解得：，故D点的坐标为；
（2）
易知直线BC的斜率为，所以BC的高线所在直线的斜率为，
BC的高线所在的直线方程为，
即.
20．（8分）（2022·河南开封·高二阶段练习）已知直线的方程为，按照下列要求，求直线的方程：
(1)与垂直，且过点；
(2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.
【解题思路】（1）由两线垂直，设所求直线为，根据点在直线上求参数，即可得直线方程；
（2）由两线平行，设所求直线为，求截距并利用三角形面积公式求参数，即可得直线方程.
【解答过程】解：（1）
因为，所以直线可设为.
将点代入方程得，
因此所求的直线方程为.
（2）
因为，所以直线可设为.
令，得，令，得，
所以三角形的面积，解得.
因此直线的方程为或.
21．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若直线与x y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.
【解题思路】（1）整理直线方程得．由且可求；
（2）由（1）知，直线恒过定点，讨论直线与y轴是否有交点，若有交点，只需纵截距小于等于零即可；
（3）设直线的方程，可得，从而可得所求直线的方程．
（1）
【解答过程】（1）证明：整理直线方程得．
由且可得，，
故直线恒过定点，；
（2）
由（1）知，直线恒过定点，
当直线与y轴没有交点时，即，此时直线方程为，符合题意；
当直线与y轴有交点时，，
求出直线的纵截距，其小于等于零即可满足题意，
令，则，，
若直线不经过第二象限，则，∴；
所以m的取值范围为；
（3）
设直线方程为，，
则，①
由题意得，，②
由①②整理得，
解得，，或，，
所求直线的方程为或
即或．
22．（8分）（2021·湖南衡阳·高一期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，，经测量，，，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.
【解题思路】如图，先以边所在直线为轴，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得直线的方程，再设出坐标，由矩形面积公式建立模型，然后利用二次函数的基本性质求其最值．
【解答过程】解：如图，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，.
所以直线的方程为：，即，设，
则矩形的面积为，
化简，得，
配方，，
易得当，时，最大，其最大值为.专题2.6 直线的方程（二）-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·江苏·高二阶段练习）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·全国·高二专题练习）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2021·福建·高二阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．或 D．
5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022·四川·高二阶段练习（文））有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25min B．35min C．40min D．45min
7．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
8．（3分）（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，下列命题中正确的有（ ）
A．当时，与重合 B．若，则
C．过定点 D．一定不与坐标轴平行
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．当时，直线与直线垂直
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11．（4分）（2022·重庆·高三阶段练习）已知直线，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
12．（4分）（2022·河北·高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且与直线平行，则直线的一般式方程为 .
14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为 ．
15．（4分）（2022·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为 .
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度．
18．（6分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知直线过定点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程.
19．（8分）（2022·四川省高一阶段练习（理））已知平行四边形ABCD的三个顶点 ．
(1)求顶点D的坐标；
(2)在中，求边BC的高线所在直线的方程．
20．（8分）（2022·河南开封·高二阶段练习）已知直线的方程为，按照下列要求，求直线的方程：
(1)与垂直，且过点；
(2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.
21．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
(3)若直线与x y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.
22．（8分）（2021·湖南衡阳·高一期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，，经测量，，，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.
