专题2.7 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
2．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
3．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
4．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
5．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【方法点拨】
(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.
(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.
【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·贵州·高二学业考试）直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则ABC垂心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【方法点拨】
①经过两直线，的交点的直线方程为
(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.
②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【例2】（2022·全国·高二专题练习）过原点和直线与的交点的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022·北京高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022·江苏·高二课时练习）过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 两点间的距离公式的应用】
【方法点拨】
平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式
建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三
角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【例3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
【变式3-1】（2021·广西·高二期中）已知，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-2】（2021·福建三明·高二期中）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
【题型4 点到直线的距离公式的应用】
【方法点拨】
(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线
的距离公式求解即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直
线的距离问题来求解.
(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.
【例4】（2022·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点 原点到直线的距离不都为1的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·江苏·高二阶段练习）点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）直线l经过点，且与点和点的距离之比为1：2，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式4-3】（2022·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 两条平行直线间的距离公式的应用】
【方法点拨】
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【例5】（2022·河北·高二阶段练习）已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
【变式5-1】（2022·河南·高二阶段练习）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式5-2】（2022·辽宁·高二开学考试）与两平行线：，：等距离的直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式5-3】（2022·江苏·高二课时练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
【题型6 与距离有关的最值问题】
【方法点拨】
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1， B．， C．， D．1，
【变式6-2】（2022·江苏·高二阶段练习）直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为( )
A．1 B．3 C．4 D．2专题2.7 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型精讲
1．两条直线的交点坐标
(1)两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相
交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.
(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系
设两直线,直线.
2．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
3．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
4．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
5．中点坐标公式
公式：
设平面上两点，线段的中点为，则.
【题型1 求两直线的交点坐标】
【方法点拨】
(1)求两直线的交点坐标，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.
(2)若已知交点坐标求直线方程中的变量，直接代入交点坐标即可.
【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】两直线方程组成方程组，所得解即为两直线交点坐标.
【解答过程】由，可得，则两直线交点坐标为
故选：A.
【变式1-1】（2022·贵州·高二学业考试）直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接解方程求出两直线交点坐标即可.
【解答过程】由解得，则直线与直线的交点坐标为.
故选：A.
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则ABC垂心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，求出AB和BC边上的高所在直线的方程，然后联立方程，求解出交点坐标即为ABC垂心的坐标.
【解答过程】解：因为，，，
所以，，
所以AB边上的高所在直线的方程为x＝1， BC边上的高所在直线的斜率为1，方程为y＝x，
联立，得，
所以垂心的坐标为．
故选：D．
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.
【解答过程】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．
方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.
故选：C．
【题型2 经过两直线交点的直线方程】
【方法点拨】
①经过两直线，的交点的直线方程为
(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.
②联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.
【例2】（2022·全国·高二专题练习）过原点和直线与的交点的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.
【解答过程】由可得，
故过原点和交点的直线为即，
故选：C.
【变式2-1】（2022·北京高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【解答过程】由解得，则直线的交点，
又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.
故选：C.
【变式2-2】（2022·江苏·高二课时练习）过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【解题思路】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．
【解答过程】由解得，故两直线交点为(－1，2)，
故直线方程是：，即．
故选：A．
【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程
【解答过程】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D.
【题型3 两点间的距离公式的应用】
【方法点拨】
平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式
建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三
角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【例3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
【解题思路】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.
【解答过程】因点，，则，
所以A，B两点之间的距离等于3.
故选：C.
【变式3-1】（2021·广西·高二期中）已知，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据两点间距离公式即可求解.
【解答过程】因为，，
所以，
故选：C.
【变式3-2】（2021·福建三明·高二期中）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题联立得，再根据距离公式求解即可.
【解答过程】解：联立方程，解得，
所以，所以
故选：D.
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
【解题思路】由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【解答过程】解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
【题型4 点到直线的距离公式的应用】
【方法点拨】
(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线
的距离公式求解即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
(3)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直
线的距离问题来求解.
(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题.
【例4】（2022·河南·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点 原点到直线的距离不都为1的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分别利用点到直线距离公式即可确定答案.
【解答过程】根据点到直线的距离公式可得，对于A，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，所以A错误；
对于B，点到直线的距离为，
点到直线的距离为，所以B正确；
对于C，点直线的距离为，
点O到直线的距离为，所以选项C错误；
对于D，点到直线的距离为，
点O到直线的距离为，所以选项D错误.
故选:B.
【变式4-1】（2022·江苏·高二阶段练习）点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.
【解答过程】因为点到直线的距离大于5，
所以，解得：或，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）直线l经过点，且与点和点的距离之比为1：2，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
【解题思路】根据直线l是否存在斜率，结据点到直线距离公式分类讨论进行求解即可.
【解答过程】当直线l斜率不存在时，则方程为，显然此时该直线与点和点的距离之比为1：3，不符合题意，
当直线l斜率存在时，设为，则此时方程为：，
因为直线与点和点的距离之比为1：2，
所以有，或，
即，或，即，或，
故选：C.
【变式4-3】（2022·河南·高二阶段练习）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，只需要点M到直线的距离不超过4，则该直线为“切割型直线”，故只需要求各选项的点线距离即可判断.
【解答过程】根据题意，只需要点M到直线的距离不超过4，则该直线为“切割型直线”，
对于A，可化为，故，故A错误；
对于B，易求M到直线距离为，故B错误；
对于C，可化为，故，故C正确；
对于D，可化为，故，故D错误.
故选：C.
【题型5 两条平行直线间的距离公式的应用】
【方法点拨】
第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；
第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；
第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.
【例5】（2022·河北·高二阶段练习）已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．
【解答过程】解：直线与直线平行，
，解得或，
又，所以，
当时，直线与直线距离为.
故选：A.
【变式5-1】（2022·河南·高二阶段练习）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
【解题思路】取直线上的定点，再计算到的距离即可.
【解答过程】取直线上的定点，
则到的距离即到的距离为.
故选：D.
【变式5-2】（2022·辽宁·高二开学考试）与两平行线：，：等距离的直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
【解题思路】设与两直线平行的直线方程为，再根据平行直线间的距离公式求解即可.
【解答过程】设与两直线平行的直线方程为，
又：，：，故，
即，故或，故，
所求直线方程为，即.
故选：A.
【变式5-3】（2022·江苏·高二课时练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【解答过程】直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
【题型6 与距离有关的最值问题】
【方法点拨】
点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取
一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.
最值问题的常用求法有两种：
(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.
(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.
常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；
【解答过程】因为可化为，
所以直线过直线与直线交点，
联立可得
所以直线过定点，
当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，
此时最大值为，
故选：C.
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1， B．， C．， D．1，
【解题思路】利用韦达定理求出，由可求得，再由平行线间的距离公式得到，即可求出两条平行直线之间的距离的最大值和最小值.
【解答过程】因为a，b是方程的两个实根，
所以，，
所以．
又，所以，所以．
由于直线与直线平行，
所以它们之间的距离，
所以，即所求距离的最大值和最小值分别为，．
故选：C．
【变式6-2】（2022·江苏·高二阶段练习）直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】先求得两点的坐标，求得关于对称点的坐标，根据三点共线求得的最大值.
【解答过程】依题意可知，
关于直线的对称点为，，
即求的最大值，
，
当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，
也即的最大值是.
故选：A.
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为( )
A．1 B．3 C．4 D．2
【解题思路】由题意可得，且两直线始终垂直，可得，由基本不等式可得的最大值．
【解答过程】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
∵过定点的直线与过定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点，
∴，∴．
故 (当且仅当时取“”)．
故选：C．
