专题2.8 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）两平行线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．6
2．（3分）（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·江苏·高二课时练习）经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·江苏南京·高二开学考试）点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ）
A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）
5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线，直线与平行且经过点，则，之间距离的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习（文））设，直线恒过定点A，则点A到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（3分）（2022·江苏·高二专题练习）直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（ ）
A．存在、、使之无交点
B．存在、、使之有无穷多交点
C．无论、、如何，总是无交点
D．无论、、如何，总是唯一交点
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022·湖南·高一期末）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）（2022·江苏·高二开学考试）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（ ）
A．4 B． C． D．
12．（4分）（2022·重庆·高二期末）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A． 的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）与直线平行且与它的距离为的直线的方程为．
14．（4分）（2022·河北·高二阶段练习）若点为直线上的动点，则的最小值为 .
15．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线过两直线和的交点，且过点，则直线的两点式方程为 ．
16．（4分）（2022·福建省高二阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·山西·高二阶段练习）已知直线．
(1)若直线在轴上的截距为，求实数的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
18．（6分）（2022·河南·高二阶段练习）已知直线，，．
(1)若这三条直线交于一点，求实数的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求满足的条件．
19．（8分）（2022·河南·高二阶段练习）已知直线．
(1)为何值时，点到直线的距离最大 并求出最大值；
(2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．
20．（8分）（2022·北京高二期中）已知直线.
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若.求a的值；
(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
21．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线：， ，.
(1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程.
(2)当为何值时，原点到直线的距离最大
(3)当时，求直线上的动点到原点距离的最小值，并求此时点的坐标
22．（8分）（2022·上海市高二阶段练习）已知两条直线，
(1)若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程；
(2)若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值；
(3)设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围．专题2.8 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）两平行线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．6
【解题思路】根据平行线间距离公式求解.
【解答过程】方程可化为，
所以两平行线之间的距离为.
故选：C.
2．（3分）（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出BC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可
【解答过程】设过A点中线长即为线段AD.
D为BC中点：，即D（4，2）
∴
故选：B.
3．（3分）（2022·江苏·高二课时练习）经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为，将交点坐标代入方程，即可求出参数的值，即可得解；
【解答过程】解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为；
故选：D.
4．（3分）（2022·江苏南京·高二开学考试）点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ）
A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）
【解题思路】先用两点距离公式求出，再求出直线的方程，再利用点线距离公式求出点到的距离，再用三角形的面积公式代入求解即可.
【解答过程】根据题意，设点的坐标为，则
，故直线为：，即，
故到直线上的距离为：，
又因为，
所以由 得，
解得或，即为或.
故选：B.
5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线，直线与平行且经过点，则，之间距离的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解题思路】判断出直线恒过的定点的坐标，则即为所求距离的最大值.
【解答过程】直线，也即，恒过定点；
显然若直线平行于且过点，则之间距离的最大值为.
又.
故选：.
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习（文））设，直线恒过定点A，则点A到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】把直线与经过的定点求出来，利用数形结合可以得到点到直线的距离最大值即为的长，进而求出结果.
【解答过程】恒过的点为，直线变形为，恒过点，所以点到直线的距离最大值即为的长，其中.
故选：D.
7．（3分）（2022·江苏·高二专题练习）直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由平行线与直线垂直时，平行线间距离最大，从而求得直线的斜率得直线方程．
【解答过程】解：由题意可得，，间的距离最大时，和这两条直线都垂直．
由于的斜率为，故直线的斜率为，
故它的方程是，化简为，
故选：A．
8．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（ ）
A．存在、、使之无交点
B．存在、、使之有无穷多交点
C．无论、、如何，总是无交点
D．无论、、如何，总是唯一交点
【解题思路】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，然后解方程组，即可得出结论.
【解答过程】解：因为与是直线上两个不同的点，直线斜率存在，
所以，即，
并且，
则，
联立，消得，
即，
所以，
所以方程组有唯一解，
即无论、、如何，总是唯一交点.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
【解题思路】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．
【解答过程】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
10．（4分）（2022·湖南·高一期末）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析，分别求出定点到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.
【解答过程】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析．
A．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B．因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；
C．因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”．
故选：BC.
11．（4分）（2022·江苏·高二开学考试）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（ ）
A．4 B． C． D．
【解题思路】根据题意，可分、、和三条直线经过一个点，四种情况分类讨论，即可求解.
【解答过程】由题意，
当三条直线和，
若时，可得；
当时，可得；
当时，则满足，无解；
当三条直线经过一个点时，把和的交点为，
代入直线中，可得，解得或，
综上可得，满足条件的为或或或.
故选：ACD.
12．（4分）（2022·重庆·高二期末）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A． 的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【解题思路】求出 的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【解答过程】当 时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）与直线平行且与它的距离为的直线的方程为 或．
【解题思路】由所求直线与直线平行，设出直线方程为，利用两平行线的距离公式列方程求出，可得答案．
【解答过程】设所求直线方程为，
则，解得或，
故答案为：或.
14．（4分）（2022·河北·高二阶段练习）若点为直线上的动点，则的最小值为 4 .
【解题思路】由题意，根据两点之间的距离公式，问题转化为点到直线上的点的最短距离，由点到直线的距离公式，可得答案.
【解答过程】解：由可化为，
转化为点到点的距离的平方，
因为点为直线上的动点，
由点到直线的距离为，
的最小值为4.
故答案为：.
15．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线过两直线和的交点，且过点，则直线的两点式方程为 ．
【解题思路】联立和求出交点坐标，代入两点式方程即可.
【解答过程】联立解得交点坐标为，
由和得直线的两点式方程为.
故答案为：.
16．（4分）（2022·福建省高二阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 5 .
【解题思路】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．
【解答过程】直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，，
当与直线，垂直时，直线，的距离最大，
且最大值为，
故答案为：5．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·山西·高二阶段练习）已知直线．
(1)若直线在轴上的截距为，求实数的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
【解题思路】（1）根据直线在两坐标轴上截距的定义直接可得；
（2）由两直线平行可得，再根据平行线间距离公式可得解.
【解答过程】解：（1）
直线，令，解得，
所以；
（2）
直线与直线平行可知，解得，
所以，即，满足条件，
所以直线与直线间距离.
18．（6分）（2022·河南·高二阶段练习）已知直线，，．
(1)若这三条直线交于一点，求实数的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求满足的条件．
【解题思路】（1）先由直线方程联立求出交点坐标，再代入直线的方程可求出，
（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形，求出的取值范围，再求出其补集即可.
【解答过程】解：（1）
由
解得代入的方程，得．
（2）
当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．
①联立解得代入，得；
②当与平行时，，
当与平行时，．
综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．
19．（8分）（2022·河南·高二阶段练习）已知直线．
(1)为何值时，点到直线的距离最大 并求出最大值；
(2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．
【解题思路】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m；
（2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程.
【解答过程】解：（1）
已知直线，整理得，
由，故直线过定点，
点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值，
所以为最大值．
∵，
∴的斜率为，得，解得；
（2）
若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，
则设直线为，，则，，
．
（当且仅当时，取“=”），
故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0.
20．（8分）（2022·北京高二期中）已知直线.
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若.求a的值；
(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
【解题思路】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；
（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；
（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解
【解答过程】解：(1)
当a=1时，，
所以两直线的距离为；
(2)
若，
则，
解得；
(3)
原点到直线的距离为
，
当时，.
21．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线：， ，.
(1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程.
(2)当为何值时，原点到直线的距离最大
(3)当时，求直线上的动点到原点距离的最小值，并求此时点的坐标
【解题思路】（1）分直线过的中点，直线与平行两种情况讨论，分别计算可得；
（2）首先求出直线过定点，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，即可求出；
（3）首先求出直线的方程，设，根据两点的距离公式及二次函数的性质求出的最小值，即可求出点的坐标；
【解答过程】解：（1）
解：因为，，所以的中点为，若直线：过的中点为，则，解得，此时直线为，满足条件，
又，所以当时直线的方程为，此时直线与直线平行，满足、两点到直线的距离相等，
综上可得：直线的方程为或；
（2）
解：由，得，
联立，解得，则直线过定点；
由，得，
当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为，
因为，所以，即当时原点到直线的距离最大.
（3）
解：当时，直线：，设，则，所以当时，，此时，
即直线上的动点到原点距离的最小值为，此时点的坐标为；
22．（8分）（2022·上海市高二阶段练习）已知两条直线，
(1)若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程；
(2)若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值；
(3)设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意求出点A、B、P的坐标，利用两点间的距离公式和基本不等式即可求解；
（2）根据题意求出与x轴的交点A坐标，与y轴的交点B坐标，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质即可求解；
（3）当时求出、方程，设直线MN方程，联立方程求出点M坐标，联立方程求出点N坐标，结合图形和三角形面积公式可得，由k得范围即可求解.
【解答过程】解：（1）
由直线，令，
得，直线恒过定点，
则，
当且仅当时，最小值为9．此时直线；
（2）
由直线，知恒过定点，
分别与轴交于两点，且，
故，
又函数在上单调递增，
因为，故当时，面积；
（3）由，可得，均恒过定点，
设直线，由；
，设直线交轴于点，而,
则
，
又，所以，故.
