专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲
1．点关于点的对称
2．直线关于点的对称
3．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
4．直线关于直线的对称
【题型1 点关于点的对称问题】
【方法点拨】
点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对
称问题.
【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·江苏·高二专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ．
【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ．
【变式1-3】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是 .
【题型2 直线关于点的对称问题】
【方法点拨】
【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【变式2-1】（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线与直线关于原点对称，则的值是
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-3】（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【题型3 点关于直线的对称问题】
【方法点拨】
点关于直线的对称问题有三种情况：
【例3】（2022·全国·高二课时练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（ ）
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【题型4 直线关于直线的对称问题】
【方法点拨】
【例4】（2022·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·江苏·高二专题练习）两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 光的反射问题】
【方法点拨】
光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反
射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l
对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.
【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式5-3】（2022·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 将军饮马问题】
【方法点拨】
将军饮马问题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.
【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲
1．点关于点的对称
2．直线关于点的对称
3．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
4．直线关于直线的对称
【题型1 点关于点的对称问题】
【方法点拨】
点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对
称问题.
【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据中点坐标公式即可求解.
【解答过程】解：设，由题知，点和点的中点为，则
解得：，
所以点的坐标为
故选：B.
【变式1-1】（2022·江苏·高二专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ．
【解题思路】由中点坐标公式求解即可
【解答过程】设点关于点对称的点为，
则点为的中点．
解得．
点关于点对称的点的坐标为．
故答案为：．
【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ．
【解题思路】设出A点关于B点的对称点C的坐标，然后直接代入中点坐标公式计算．
【解答过程】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，
所以，解得．
所以C的坐标为．
故答案为：.
【变式1-3】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是 .
【解题思路】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.
【解答过程】根据中点坐标公式，得，且．
解得，，所以点P的坐标为，
则点到原点的距离．
故答案为：.
【题型2 直线关于点的对称问题】
【方法点拨】
【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。
【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点，
则关于对称点为，
又因为在上，
所以，即，
故选：B.
【变式2-1】（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线与直线关于原点对称，则的值是
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论．
【解答过程】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则
∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点
∴a＝﹣1，b＝﹣9
故选A．
【变式2-3】（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【解题思路】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【解答过程】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
【题型3 点关于直线的对称问题】
【方法点拨】
点关于直线的对称问题有三种情况：
【例3】（2022·全国·高二课时练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【解答过程】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意设对称点坐标为，从而可得，解方程组即可.
【解答过程】设点关于直线对称的点为，
则，解得，故对称的点为.
故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（ ）
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【解题思路】求出AB的中点，根据A，B两点连线的斜率可求出直线l的斜率，即可求出直线方程.
【解答过程】由题意得AB的中点C为(1，1)，又A，B两点连线的斜率为，
所以直线l的斜率为，因此直线l的方程为，即3x－4y＋1＝0．
故选：B．
【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【解题思路】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得，从而求得m+n的值．
【解答过程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称，
∴线段AB的中点C（，）在直线x+2y﹣2＝0上，
∴2+n﹣2＝0．
∴m+2n＝7，
而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4，
解方程组，可得m＝3，n＝2，
∴m+n＝5.
故选：C.
【题型4 直线关于直线的对称问题】
【方法点拨】
【例4】（2022·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.
【解答过程】解：联立方程得，即直线与直线的交点为
设直线的点关于直线对称点的坐标为，
所以，解得
所以直线关于直线对称的直线过点，
所以所求直线方程的斜率为，
所以所求直线的方程为，即
故选：C.
【变式4-1】（2022·江苏·高二专题练习）两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出两直线的交点，在直线上任取一点，求出其关于的对称点，利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】联立方程，解得，
在直线上任取一点，其关于的对称点为，
则直线关于直线对称的直线方程为，即
故选：D.
【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【解答过程】设对称直线方程为，
，解得或（舍去）.
所以所求直线方程为.
故选：B.
【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【解答过程】因为直线：与：，
所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得
即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得，
故所求直线方程为，
故选：A.
【题型5 光的反射问题】
【方法点拨】
光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反
射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l
对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.
【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题可求A关于直线的对称点为及关于直线的对称点为，可得直线的方程，联立直线，即得.
【解答过程】设A关于直线的对称点为，
则，解得，即，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
∴直线的方程为：代入，
可得，故.
故选：C.
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点，利用点斜式可得直线方程.
【解答过程】点关于轴的对称点为，
又反射光线倾斜角为，斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
故选：C.
【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（ ）
A． B． C．4 D．5
【解题思路】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解.
【解答过程】作出点A关于直线的对称点，
连接，交直线于点，
则即为光线经过路程的最小值，
且，
此即光线从A到B所经过的距离为.
故选：B．
【变式5-3】（2022·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.
【解答过程】由题意可知：直线 的方程为 ，直线的方程为，如图：
设关于直线的对称点为，
则,
解得，故，
同理可求关于直线的对称点为,
连接,交于N，
而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，
连接，分别交于,
方程为：，和直线方程联立，
解得H点坐标为,
PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，
连接,
则之间即为动点D点的变动范围，
而 ,
故FD斜率的取值范围是 ，
故选B.
【题型6 将军饮马问题】
【方法点拨】
将军饮马问题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.
【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【解答过程】如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出点关于直线的对称点为，则可得即为“将军饮马”的最短总路程，求出的坐标，即可求出.
【解答过程】如图，点关于直线的对称点为，则即为“将军饮马”的最短总路程，
设，
则，解得，
则，
故“将军饮马”的最短总路程为10.
故选：D.
【变式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求圆心C关于直线的对称点B的坐标，结合图形分析可得.
【解答过程】军营所在区域为，即军营在以为圆心，1为半径的圆内和圆上.
设圆心C关于直线的对称点的坐标为B，
则，解得.
如图，由对称性可知，
所以，当将军去往河边饮马的行走路线所在的直线经过，两点时，“将军饮马”的总路程最短，
因为，所以该直线方程为，即.
故选：B.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【解题思路】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
【解答过程】如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，
则．
由题意可得，解得，即点，
所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，
所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
