北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元复习题（含解析）

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元复习题
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B． +x2﹣1＝0
C．2x2﹣x+2＝0 D．4x﹣1＝0
2．方程 的解是（　　）
A． B． C． D． 或
3．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①②③
④⑤⑥
A．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．①⑤⑥
4．将一元二次方程2x2－3x＝1化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（　　）
A．2，－3，－1 B．2，－3，1 C．－2，3，－1 D．－2，－3，1
5．某化肥厂今年一月份某种化肥的产量为20万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥95万吨，设二、三月份平均每月增产的百分率为x，则可列方程（　　）
A．20（1+x）2=95 B．20（1+x）+20（1+x）2=95
C．20+20（1+x）+20（1+x）2=95 D．20（1+x）2=95-20
6．慧慧将方程2x2+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）2＝p的形式，则p的值为（　　）
A．7 B．8 C．3.5 D．4.5
7．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（　　）
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法错误的是（　　）
A．方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程
B．若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0
C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程
D．若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程
二、填空题
9．已知是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围为　 　．
10．已知x＝1是关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根，则方程的另一个根是　 　．
11．已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为　 　三角形．
12．在一次新年聚会.小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为　 　.
三、计算题
13．解方程：
（1）
（2）
四、解答题
14．《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？
15．若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣ ，求方程的另一个根及m的值．
16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
17．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
五、综合题
18．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.
（1）求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？
（2）学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2 元，陶艺耗材的单价在标价的基础降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺耗材和陶艺耗材的数量在原计划基础上分别增加了2.5 %和 ，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求 的值.
19．观察下列一组方程：①x2﹣x=0；②x2﹣3x+2=0；③x2﹣5x+6=0；④x2﹣7x+12=0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
（2）请写出第n个方程和它的根．
20．解答下列问题：
（1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两根x1，x2（b2﹣4ac≥0）．用求根公式写出x1，x2，并证明x1+x2=﹣ ，x1x 2=
（2）若一元二次方程x2+x﹣1=0的两根为m，n，运用（1）中的结论，求 + 的值．
21．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米.
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：ax2+bx+c＝0中，当 时不是一元二次方程，故A不符合题意；
+x2﹣1＝0中，未知数在分母上，故B不是一元二次方程；
2x2﹣x+2＝0是一元二次方程，故C符合题意；
4x﹣1＝0不是一元二次方程，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：先移项，得x2－3x＝0，再提公因式，得x（x－3）＝0，
从而得x＝0或x＝3
故答案为：D.
【分析】先移项，将方程的右边整体移到方程的左边，然后左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，即可求出原方程的解.
3．【答案】C
【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。
①；②；⑤，符合一元二次方程的定义；
③；，，是一元一次方程；
④是二元二次方程；⑥是分式方程；
故选C。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元二次方程的定义，即可完成。
4．【答案】A
【解析】【解答】解： 方程2x2－3x＝1化成一般形式，得2x2－3x-1=0
它的二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-1。
故答案为：A。
【分析】先移项把方程化成一般形式，一元二次方程ax2+bx+c=0中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
5．【答案】C
【解析】【解答】二月份的生产量为20（1+x)，三月份是生产量为20×（1+x)（1+x)，
那么20+20（1+x)+20（1+x)2=95．
故选C．
【分析】等量关系为：一月份产量+一月份的产量×（1+增长率)+一月份的产量×（1+增长率)2=95，把相关数值代入即可．考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意三月份的生产量是在二月份生产量的基础上得到的．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵2x2+4x-7=0，
∴2x2+4x=7，
∴x2+2x= ，
∴x2+2x+1= +1，
∴（x+1）2= ，
则p= =4.5，
故答案为：D．
【分析】先求出x2+2x= ，再利用配方法求出（x+1）2= ，最后求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】当商品第一次降价a%时，其售价为168-168a%=168（1-a%)；
当商品第二次降价a%后，其售价为168（1-a%)-168（1-a%)a%=168（1-a%)2．
∴168（1-a%)2=128．故选B．
【分析】本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：A. 解方程 4x+3=0得x1=1， x2=3，所以A选项的说法不符合题意；
B. 解方程得x1=3， x2=-，当 =3×3，则9m+n=0；当 =×3，则m+n=0，所以B选项的说法符合题意；
C. 解方程得x1=3， x2= ，而m+n=0，则x2=1，所以C选项的说法不符合题意；
D. 解方程得x1= m， x2=n，而3m+n=0，即n= 3m，所以x1=3 x2，所以D选项的说法不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“3倍根方程”的定义逐项判断即可。
9．【答案】
【解析】【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，
所以a的取值范围为．
故答案为：．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此解答即可.
10．【答案】x=3
【解析】【解答】解：∵x＝1是关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根，
设关于x的方程x2+mx+3＝0的另外一个根为x1，
∴1·x1=3，
解得x1=3，
故答案为：x=3 .
【分析】设关于x的方程x2+mx+3＝0的另外一个根为x1，运用根与系数的关系即可求解.
11．【答案】直角或等腰
【解析】【解答】解一元二次方程x2﹣9x+20=0，得：x=4或5，
∵AB=3，AC=5，∴2＜BC＜7，
∵第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，∴BC=4或5，
当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形；
当BC=5时，BC=AC，△ABC是等腰三角形；
故答案为直角或等腰．
【分析】先解方程，再根据三角形的三边关系定理求得第三边的范围，即可得出第三边，再根据勾股定理的逆定理得出该三角形的形状．
12．【答案】x（x-1）=110
【解析】【解答】有 个小朋友参加聚会,则每人送出 件礼物，
由题意得,
故答案为
【分析】根据全部小朋友共互赠了110件礼物，有 个小朋友参加聚会，可列出方程.
13．【答案】（1）解：
x-2=0或3x+2=0，
∴
（2）解：
a=1，b=-1，c=-1，
△=1+4=5>0，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）利用因式分解-提公因式法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可.
14．【答案】解：设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，
依题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0，
解得：x＝36或x＝24（不合题意，舍去），
∴60﹣x＝60﹣36＝24（步），
∴36﹣24＝12（步），
则该矩形的长比宽多12步
【解析】【分析】此题的等量关系为：矩形的长×宽=864，设未知数列方程求出方程的解，然后求出长与宽的差即可。
15．【答案】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得3﹣ +t=﹣6，（3﹣ ）t=m，
所以t=﹣9+ ，
所以m=（3﹣ ）（﹣9+ ）=﹣29+12 ．
【解析】【分析】利用根与系数关系，先利用两根之和，再利用两根之积.
16．【答案】（1）解：设需要降价x元，
解得：
∵商场为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴每件衬衫应降价20元.
（2）解：设利润为W，
∴当时，利润W有最大值为1250.
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元
【解析】【分析】（1）设需要降价x元，根据"每天可售出20件，每件盈利40元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件"，据此列出一元二次方程，解方程即可，最后根据题意选出正确的值即可；
（2）设利润为W，根据题意列出W的解析式，最后根据二次函数的性质即可求解.
17．【答案】 解：由题意得：
200（10-6）+（10-6-x）（200+50x）+（4-6）[600-200-（200+50x）]=1250
整理得x2-2x+1=0
解之：x1=x2=1
∴10-1=9
答：第二周销售的价格为9元。
【解析】【分析】根据纪念品的进价和售价，分别表示出两周 的总利润，根据总利润=1250，建立方程求解即可。
18．【答案】（1）解：设购买一套茶艺耗材需要 元，则购买一套陶艺耗材需要 元，根据题意，得 .
解方程，得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意
.
答：购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元
（2）解：设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为 ，由题意得：
整理，得
解方程，得 ， （舍去）.
的值为95.
【解析】【分析】（1）设购买一套茶艺耗材需要 元，则购买一套陶艺耗材需要 元，根据购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍列方程求解即可；（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为 ，根据两种耗材的总价相等列方程求解即可.
19．【答案】（1）解：由题意可得：k=﹣15，
则原方程为：x2﹣15x+56=0，
则（x﹣7）（x﹣8）=0，
解得：x1=7，x2=8
（2）解：第n个方程为：x2﹣2（n﹣1）x+n（n﹣1）=0，
（x﹣n）（x﹣n+1）=0，
解得：x1=n﹣1，x2=n
【解析】【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值．
20．【答案】（1）证明：∵x= ，
∴x1= ，x2= ，
∴x1+x2= + = =﹣ ．
x1x2= = = = =
（2）解：∵一元二次方程x2+x﹣1=0的两根为m，n，
∴m+n=﹣1，mn=﹣1，
∴ + = = = =﹣3
【解析】【分析】（1）利用求根公式找出x1，x2，将其相加（相乘）整理后即可得出结论；（2）根据根与系数的关系即可得出m+n=﹣1、mn=﹣1，将 + 边形为 ，再代入数据即可得出结论．
21．【答案】（1）24
（2）解：设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10.
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意.
答：边CD的长为10米
（3）解：不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：x2﹣16x+70＝0.
∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米.
【解析】【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）.
故答案为：24.
【分析】（1）由木栏总长为45米可求出BC的长；
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48 3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为27米（AD＝BC），即可求解；
（3）设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝（48 3y）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为210平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac＝ 24＜0，即可求得饲养场的面积不能达到210平方米．
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