2023-2024学年河南省焦作十一中高二（上）月考数学试卷（11月份）（含解析）

2023-2024学年河南省焦作十一中高二（上）月考数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则与同向共线的单位向量( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行六面体中，( )
A.
B.
C.
D.
3.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且，则实数等于( )
A. B. C. D.
5.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
6.过点且与直线：平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
7.已知，两点到直线：的距离相等，则( )
A. B. C. 或 D. 或
8.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
9.椭圆的焦点坐标为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.双曲线：的实轴长为( )
A. B. C. D.
11.阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是( )
A. B. C. D.
12.阿基米德公元前年公元前年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.向量，且，则______．
14.已知圆：若圆与圆：有三条公切线，则的值为 ．
15.如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上位于第一象限内的一点，与轴交于点，若，则的离心率为______．
16.已知双曲线：的一条渐近线与直线：平行，则双曲线的离心率是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点，，是等腰三角形，且．
求点的坐标；
求边的中线所在直线的方程．
18.本小题分
已知圆：，直线：．
若直线平分圆，求的值；
若直线被圆截得的弦长为，求的值．
19.本小题分
已知椭圆的焦点分别为，，离心率．
求椭圆的标准方程；
在椭圆上是否存在点，使，若存在，求出坐标．
20.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角的正弦值．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．
证明：平面
若，与平面所成角为，求点到平面的距离．
22.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点．
求的值；
求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量，则与同向共线的单位向量为
．
故选：．
根据共线向量和单位向量的定义计算即可．
本题考查了共线向量和单位向量的定义与应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：为平行四面体，
．
故选：．
根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
本题主要考查向量的加减法法则，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
故向量在向量上的投影向量是：
故选：．
根据投影向量的求解公式计算即可．
本题考查空间向量条件下投影向量的计算，属于中档题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查考查空间向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用空间向量垂直的性质直接求解．
【解答】
解：向量，，且，
，
解得实数．
故本题选C．
5.【答案】
【解析】解：直线，即为，
所以，，，
所以．
故选：．
由一般式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角．
本题考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：所求直线与直线：平行，
可设所求直线为，
所求直线过点，
，解得，
所求直线的方程为．
故选：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，设出所求直线，再结合该直线过点，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离公式，考查方程思想，属于基础题．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】
解：，两点到直线：的距离相等，
，解得或．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：抛物线，
则，即，解得，
所以抛物线的焦点为，准线为，
故抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：．
根据已知条件，将原方程化为标准方程，即可求出焦点与准线，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：椭圆的标准方程为：，
可得，，，
所以椭圆的焦点坐标，．
故选：．
化简椭圆方程为标准方程，然后求解，，推出即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
由双曲线的方程可知的值，从而可得实轴长．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
【解答】
解：由双曲线的方程可知焦点在轴上，
且，即，
所以实轴长，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：
则、，设，
，，
两边平方并整理得：，所以圆的半径为，
面积的最大值是．
故选：．
以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为 轴建系，利用 求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值．
本题考查了轨迹方程的计算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于，的方程组，求解方程组即可得答案．
本题考查椭圆的性质的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
【解答】
解：由题意，设椭圆的方程为，
因为椭圆的离心率为，面积为，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：向量，且，
，解得，，
，
则．
故答案为：．
利用向量垂直和向量平行的性质列方程求出，，利用向量坐标运算法则求出，由此能求出．
本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量平行的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两圆位置关系、相外切、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：圆：，即，
圆的圆心为，半径为，
圆：，圆的圆心为，半径为，
圆与圆有三条公切线，圆与圆相外切，
，
解得．
的值为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，设，由，可得，
从而可得，，；
根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：．
由椭圆的对称性可得，再由，可得，进而可得，，与的关系，再由椭圆的定义可得的值，求出椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质的应用及由三角形中角度关系求边的关系，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程的形式，是中档题．
根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为，结合题意可得，即，由双曲线离心率公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线：的一条渐近线与直线：平行，
，即，
则，
则其离心率，
故答案为：．
17.【答案】解：因为是等腰三角形，且，则
设，
所以，即，
解得：或，
所以或．
设边的中点为，
当时，则，
所以，即，
所以边的中线所在直线的方程为；
当时，则，
所以，即，
所以边的中线所在直线的方程为；
所以边的中线所在直线的方程为或．
【解析】利用直线垂直的性质，结合两点间距离公式列方程可得解；
求出中点坐标，利用点斜式可得方程．
本题考查直线方程的求解，是基础题．
18.【答案】解：圆：，的圆心，直线：若直线平分圆，
可得，解得．
圆：，圆心坐标，半径为．
圆心到直线：的距离为：．
由垂径定理可得：，
解得．
【解析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可求出．
求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径半弦长满足的勾股定理求解即可．
本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．
19.【答案】解：由椭圆的焦点分别为，，离心率．
可设椭圆的标准方程为：．
则，，，
解得，，．
椭圆的标准方程为：．
当点取椭圆短轴的一个端点时，取得最大值，
而，．
因此在椭圆上存在点，使．
设，
则，
解得，
．
【解析】由题意可设椭圆的标准方程为：利用，，，解出即可．
当点取椭圆短轴的一个端点时，取得最大值，而，可得因此在椭圆上是否存在点，使．
设，联立，解出即可．
本题考查了椭圆的定义及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
又，，所以，
则，又平面，
故平面；
解：由可知，，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
解：由可知，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
所以，
故二面角的正弦值为．
【解析】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明；
利用中的结论，由向量的夹角公式求解，即可得到答案；
利用待定系数法求出平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．
21.【答案】解：证明：平面，在平面内，在平面内，
，，
又，，且，均在平面内，
平面，
又在平面内，
，
又底面为平行四边形，
，
又，且，都在平面内，
平面；
由知，与平面所成角即为，故，
又，，
，，
，即，
，．
设点到平面的距离为，
又，
，
即，
解得，
即点到平面的距离为．
【解析】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用等体积法求点到平面的距离，考查逻辑推理及运算求解能力，属于中档题．
先证明平面，可得，再由底面为平行四边形，可得，结合即可得证；
求出各棱长，利用等体积法即可求得点到平面的距离．
22.【答案】解：抛物线：的焦点为，
的方程为，代入
整理得，故，
所以，．
利用抛物线定义可得，，
．
【解析】写出直线方程代入抛物线方程利用韦达定理以及抛物线的性质，求解写出即可．
利用，，及根与系数的关系即可得出．
本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，弦长公式的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
第1页，共1页