2023-2024学年湖南省多校联考高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2023-2024学年湖南省多校联考高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若直线经过两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.如图，边长为的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知为函数的零点，且在区间上有且仅有两条对称轴，则可以是( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：，为坐标原点，在抛物线上存在两点，异于原点，直线，，的斜率分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某产品售后服务中心选取了个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量单位：次：
则这组数据的( )
A. 众数是 B. 中位数是
C. 极差是 D. 分位数是
10.如图所示，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 直线到平面的距离为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是( )
A. 数列是递增数列 B. 是数列中的最小项
C. 和是中的最小项 D. 满足的的最大值为
12.已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，则( )
A. 双曲线的标准方程为
B. 若直线的斜率为，则
C. 若点，，依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点
D. 直线过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，的夹角的余弦值为，，，则 ______ ．
14.若空间向量共面，则实数 ______
15.已知数列满足，，且，则 ______ ．
16.已知点是椭圆上异于上下顶点的任意一点，为坐标原点，过点作圆：的切线，切点分别为，，若存在点使得，则椭圆离心率的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求；
若，求的最小值．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项和为，，，．
若，求数列的通项公式；
若，求．
19.本小题分
已知点是双曲线：上任意一点．
求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
已知点，求的最小值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，为侧棱上一点，平面与侧棱交于点，且，与底面所成的角为．
求证：为线段的中点；
求平面与平面的夹角的正弦值．
21.本小题分
给定数列，若满足，对于任意的，，都有，则称为“指数型数列”若数列满足：，；
判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
若，求数列的前项和．
22.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
过点作直线直线的斜率不为与椭圆相交于，两点，过焦点作与直线的倾斜角互补的直线，与椭圆相交于，两点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据复数四则运算法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
分别解不等式可得集合与，进而可得．
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线经过两点，
直线的斜率，
设直线的倾斜角为，，
直线的倾斜角．
故选：．
由直线经过，两点，能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
先根据正余弦的倍角公式化简，再判断．
本题考查三角恒等变换，三角函数的图象，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为直观图的面积为，
所以原四边形的面积为．
故选：．
根据直观图的面积与原图形的面积比为：，计算即可．
本题考查了平面直观图的面积计算问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为：的圆心为，半径为，
过点作，垂足为，如图，
由，可得，则，
所以，可得，
因为直线：可化为，
所以，可得．
故选：．
结合图形得到，再利用点线距离公式列式，解之即可得解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为为函数的零点，且在区间上有且仅有两条对称轴，
所以，得，
由函数的零点为，
得，
所以，，
当时，，
此时．
故选：．
根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得，且可得，由，取可求的值，进而可得结论．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设点，的坐标分别为，且，，
又，两点都在上，
则，
则，，
由，
有，
可得，
有．
故选：．
根据题意，设点，的坐标分别为，，并把，，表示出来，由得值，从而得到．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了斜率公式，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，这组数据按从小到大排列为：，，，，，，，，，，
则众数为，选项A正确；
中位数为，选项B错误；
极差为，选项C正确；
，分位数为，选项D正确．
故选：．
将这组数据按从小到大排列，分别按众数，中位数，极差和百分位数的定义求解即可．
本题考查统计的应用，考查学生数据分析能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题四边形为正方形，平面平面，为的中点，，且，
对于，所以，，故A正确；
对于，易知，平面，平面，
所以平面，又，，
所以平面，
所以直线到平面的距离为，即B错误；
对于，异面直线与所成角即与所成角，因此余弦值为，故C正确；
对于，易知平面，即，
所以与平面所成角的正弦值为，故D正确．
故选：．
根据几何体特征，可利用空间线面位置关系和夹角逐项计算求解即可．
本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面的距离，求线面角，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：因为等差数列的前项和为，公差为，且，，
所以，
所以，因为，所以，数列是递增数列，A正确；
对于：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，B错误；
对于：因为，，所以当或时，取最小值，C正确；
对于：由不等式，
可得，又因为，所以满足的的最大值为，D错误．
故选：．
对于：通过以及来判断；对于：根据数列的单调性来判断；对于：通过以及来判断；对于：通过计算来判断．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：设等轴双曲线的标准方程为，由双曲线的实轴长为，可得，
所以双曲线的标准方程为，故A选项正确；
由上知，设直线的方程为，，两点的坐标分别为，，
联立方程，消去后整理为，
所以，，
所以，故B选项正确；
由点，，依次从左到右排列知，所以，
故不存在直线使得为线段的中点，故C选项错误；
设直线的方程为，联立方程，
消去后整理为，所以，，
点坐标为，直线斜率为，直线斜率为，
若直线过定点，则，即，
而恒成立，
所以直线过定点，故D选项正确．
故选：．
选项A根据等轴双曲线的实轴长为即可求出方程；选项B根据弦长公式求解；选项首先确定，分别在双曲线的左、右支，根据横坐标的范围及中点坐标公式即可做出判断；选项通过验证，，三点共线恒成立得出判断．
本题考查了双曲线的性质，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：向量，的夹角的余弦值为，，，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题可知 ，
即 ，
所以，故 ．
故答案为：．
根据空间向量的共面的坐标表示求解．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，且，
可得，，
，，
，，，
可得数列是最小正周期为的数列，
则．
故答案为：．
计算数列的前几项，推得数列是最小正周期为的数列，进而可得所求值．
本题考查数列的周期性和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，由于，为切点，
由勾股定理得，
又因为点在椭圆上，设
则，
因为，，所以，
故，
因此，即，，
又离心率，解出．
故答案为：．
先得到，设，得到，从而得到不等式，求出离心率．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
17.【答案】解：因为在中，角，，所对的边分别为，，，
，
所以，
即，
即；
由余弦定理有，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
【解析】根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
应用余弦定理结合基本不等式求值即可．
本题考查了正余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，得，
又，得，
解得舍去或，
因此数列的通项公式为；
由，，得，解得或舍，
当时，由得，
则．
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得，，即可得到所求通项公式；
运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得答案．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：双曲线：的渐近线方程为和，
由是双曲线上一点，可得，
则到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是常数；
，
由，可得，即，或，
则当时，取得最小值．
【解析】求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，结合点在双曲线上满足双曲线的方程，化简可得定值；
由两点的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最小值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及两点的距离的最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：因为平面，，平面，所以，，
又，且，，面，
所以平面，则为与平面所成的角，
由，有，所以为中点，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以，所以，
所以为线段的中点；
解：由知，，两两垂直，以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，设平面的法向量为，
则，取，得到，
又，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
【解析】由线面垂直的性质有，，再由线面垂直的判定及线面角的定义得为与平面所成的角，再证平面，最后线面平行的性质证，进而证结论：
构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的正弦值即可．
本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了利用空间向量求平面与平面所成的角，属于中档题．
21.【答案】解：是“指数型数列”．
证明：依题意，由两边同时乘以，
可得，
两边同时加，
可得，
数列是以为首项，公比为的等比数列，
，，
则对于任意的，，
都有，
是“指数型数列”．
由知，，
则，
．
【解析】首先将原式化简整理成，根据等比数列的定义证明为等比数列，再根据等比数列的首项和公比求解的通项公式，最后通过通项公式证明是“指数型数列”；
首先根据求解出，然后根据分组求和求解的前项和即可．
本题主要考查新定义数列的判定，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
22.【答案】解：，可得，
可得椭圆方程为，代入点的坐标有，解得，
故椭圆的标准方程为；
，点为，，
设点，，，的坐标分别，，，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与椭圆方程得，
消去并整理得，
有，
联立直线与椭圆方程得，
消去并整理得，，
有，
，
故的值为．
【解析】根据离心率可得椭圆方程为，代入点坐标计算得到答案；
设出点和直线方程，联立方程消元得到根与系数的关系，计算，代入化简计算得到答案．
本题考査了求椭圆方程，椭圆中的定值问题，考査了数学运算能力，转化能力和综合应用能力，考查了方程思想及转化思想，属于难题．
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