新疆实验中学2022-2023学年高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆实验中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度个单位长度
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.化简的值为( )
A. B. C. D.
6.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为的是( )
A. B. C. D.
10.几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润单位：万元与每月投入的研发经费单位：万元有关已知每月投入的研发经费不高于万元，且，利润率现在已投入研发经费万元，则下列判断正确的是( )
A. 此时获得最大利润率 B. 再投入万元研发经费才能获得最大利润
C. 再投入万元研发经费可获得最大利润率 D. 再投入万元研发经费才能获得最大利润
11.已知函数，且，则下列结论正确的是( )
A. 函数恒过定点
B. 函数的值域为
C. 函数在区间上单调递增
D. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是
12.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论错误的是( )
A. 在上单调递增
B. 最多一个零点
C.
D. 若实数满足，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数恒过定点______ ．
14.函数的最小正周期是______ ．
15.已知，是方程的两根，则 ______ ．
16.设函数的定义域为，若对于内任意两个值，，都有，则称具有性质给定四个函数，则上述函数中具有性质的函数序号是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，且．
求，；
求的值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
当时，求不等式的解集．
19.本小题分
已知函数其中，，，的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且图象上一个最低点为．
求的解析式；
当时，求的值域．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若，，求的值．
21.本小题分
已知函数，且在上的最大值与最小值之和为，记．
求的值；
求的值．
22.本小题分
已知函数，且的反函数为．
求的值；
若函数，问：是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数的取值范围：若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由集合，，能求出．
【解答】
解：集合，
，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：对于，当，时，，故A不正确；
对于，函数为上的增函数，由得，故，所以B正确；
对于，函数为上的增函数，由得，故C不正确；
对于，当，时，故不成立，不正确．
故选：．
通过举反例，判断出项不正确；根据函数的单调性，判断项的正误；利用指数函数、对数函数的性质，判定、的正误，即可得到本题的答案．
本题主要考查利用函数的单调性比较大小、不等式的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度即可．
故选：．
直接利用函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
故．
故选：．
根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由已知结合对数的换底公式进行化简即可求解．
本题主要考查了对数的换底公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
由，得，
又，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
分别解出、，结合充分、必要条件的定义即可求解．
本题在考查三角函数的同角公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
所以．
故选：．
利用二倍角公式化简，求出，再计算的值．
本题考查了二倍角的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为若定义在的奇函数在单调递减，
所以在上单调递减，
因为，
所以，
则可得或，
即或
解得或．
故选：．
结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，正确；
，，正确；
，，错误；
，，错误．
故选：．
利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值，故C正确，A错误．
故选：．
结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解．
本题考查二次函数的最值和基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，即函数恒过定点，A错误；
由可知，，
所以，B正确；
当时，在区间上单调递减，C错误；
若直线与函数的图像有两个公共点，则，即，D正确．
故选：．
结合函数图象变换及指数函数的性质检验各选项即可判断．
本题综合考查了指数函数图象的变换及指数函数的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，
所以在上单调递减，A错误；
根据偶函数的对称性可知，函数有可能有个零点，B错误；
因为且，
所以，C正确；
若，则，即，D错误．
故选：．
结合函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：令，
得，
此时，
故函数恒过点，
故答案为：．
根据恒过定点可得．
本题主要考查指数函数的性质，根据恒过定点是解题的关键，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：中的，
，
则函数的最小正周期．
故答案为：
先求的周期，找出的值，代入周期公式求出的周期，再由即可求出的周期．
此题考查了三角函数的周期性及其求法，能够找出与两函数周期间的关系是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
所以．
故答案为：．
利用韦达定理以及两角和与差的三角函数公式，弦化切化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到韦达定理以及弦化切的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为对于内任意两个值，，都有，
所以函数在内为凸函数或直线类的函数，
图象为直线，满足；
为下凹函数，不满足；
为下凹函数，不满足；
为凸函数，满足．
故答案为：．
根据函数的凹凸性判断即可．
本题考查了函数的凹凸性，掌握初等函数的图象是关键，属于基础题．
17.【答案】解：因为，且，
所以，
所以，；
．
【解析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解；
利用诱导公式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：函数的定义域满足，可得或，
所以函数的定义域为，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为；
因为，
由，
可得，
即，解得．
所以不等式的解集为
【解析】求出函数的定义域，再由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间；
由对数运算性质，可得不等式的解集．
本题考查复合函数的单调性的应用及对数不等式的解法，属于基础题．
19.【答案】解：由题意知，，，
，
又图象上一个最低点为，
，，
，
，
；
，
，
，
，即的值域为．
【解析】由题意知，，，可求得，由图象上一个最低点为，可求得，即可得解；
由题意可得，利用正弦函数的单调性即可求得的值域．
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了整体思想，属于中档题．
20.【答案】解：，
故函数的最小正周期；
若，，
则，即，
因为，
所以，，
所以．
【解析】先用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；
结合同角基本关系及两角和的余弦公式即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：函数，且在上的最大值与最小值之和为，
而函数在上是单调函数，
所以，解得，或舍，
所以，
，
所以
；
由可知，
所以．
【解析】由题意可求得，从而得，再代入计算即可；
利用的结论计算即可．
本题考查了指数函数的性质、指数基本运算，属于中档题．
22.【答案】解：因为，且的反函数为，
所以；
令，
假设函数有零点，则方程有解，即，
解得，
即时，方程有两个不同的根为，
即，
解得，
即时，方程的根，即，解得
综上所述：时，函数的零点，；
时，函数的零点．
【解析】求出的反函数的解析式，再由指数函数的运算性质及对数函数的性质的应用，可得代数式的值；
换元，由函数的零点与方程根之间的关系，可得的不同范围，可得函数的零点．
本题考查分类讨论的思想，函数的反函数的求法，对数运算的性质的应用，函数的零点的求法，属于中档题．
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