人教版数学九年级上册 21.3 实际问题与一元二次方程第2课时 用一元二次方程解决增长率问题 教案

21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 用一元二次方程解决增长率问题
教学目标
(1)会根据增长率与降低率问题中的等里关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.
(2)感悟“模型思想”和“转化”的数学思想，并能应用模型思想和转化思想，把实际问题抽象为一元二次方程.
(3)培养观察、分析、探究、归纳及概括能力.
教学重点
如何解决增长率与降低率问题.
教学难点
解决增长率与降低率问题的公式，其中a是原有量，x是增长（或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长（或降低)后的量.
教学过程
一、创设情境
教师提问，上节课我们已经利用一元二次方程解决了“传播”问题.它的步骤有哪些？与
列一元一次方程解决实际问题有哪些相同与不同之处？
学生回忆、选一位同学作答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将列方程解应用题的步骤“审、设、列、解、答”写在黑板上，强调“解”中的检验要符台实际，“审”是关键，让学生感受列一元一次方程与一元二次方程解应用题的不同之处.
二、引导探究
探究2:两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
学生读题并思考问题:
1.根据题目中的数里感知一下哪种药品的平均下降率较大？为什么？
2.平均下降额与平均下降率有什么区别？分别怎样求解？
3.本题中有哪些等量关系？
4.如何利用已知的等里关系选取适当的未知数并列出易于解答的方程7
5.方程的两个解如何检验
学生分析:
根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为((5000一3000)÷2=1000（元)；乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600) ÷2=1200(元).
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数).
教师给出下降率的定义，引导学生类比捎售问题中的利润率得出下降率的公式，进而明确下降率与原成本新成本的关系.小组讨论后建立方程模型解决问题并汇报.
特别注意年平均下降率不能用总价率除以2.
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1一x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有
5000(1-x) 2= 3000
解方程，得
x1≈0.225, x2≈l.775.
根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
三、合作交流
1.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率.
2.思考:经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗 应怎样全面地比较对象的变化状况？
3.这种增长率的问题有一定的模式，你发现了吗？
学生运用已积累的解决探究2的经验求解。引导学生对比发现问题的结论，进而明确平均下降额与平均下降率两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。
解:设乙种药品成本的年平均下降率为x,则一年后乙种药品成本为6000(1-x)元，两年后甲种药品成本为6000(1-x)2元，于是有
6000(l一x) 2= 3 600.
解方程，得
x1≈0.225, x2≈1.775.
同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%.
教师组织学生运用已积累的解决问题1的经验归纳平均变化率的公式.并小结:类似地，这种增长率的问题有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为 (增长取+，降低取-).
四、尝试应用
某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，三月份生产化工原料60万吨，求二、三月份平均增长的百分率？
学生读题并思考问题:
1.本题中有哪些等量关系？
2.你想如何利用这些等量关系？怎样列方程？
师生活动:教师启发学生对比、思考，组织学生讨论，引导学生关注方程的解的取舍。
分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000×80%；第二次存，本金就变为1000+ 2000x×80%,其它依此类推.
解:设二、三月份平均增长的百分率为x,
15(1+x)2= 60.
解得
x1=-3(不合题意，舍去)，x2=1=100%.
答:所求的年利率是100%.
五、拓展升华
1.我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司缴税的年平均增长率为__________.
2.某种商品进价为10元/件，当售价为x元/件时，能销售该商品（x+10）件，此时获利是1500元，则该商品的售价为__________元/件.
3.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价为多少时，可使顾客更实惠？
六、课堂小结
教师提出问题:通过本节课的学习，你学习了哪些主要内容？
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容并揭示蕴含的数学思想.
七、作业布置
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