人教版数学九年级上册 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 教案（3课时）

22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)
一、教学目标
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
会画二次函数y=ax2+k的图象.
四、教学难点
掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
五、教学过程
（一）导入新课
情景问题：二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？
还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？教师引导学生试试画画。
（二）讲授新课
在同一直角坐标系中，画出二函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y =2 x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y =2 x2 向上 (0,0) y轴
y =2 x2＋1
y = 2x2－1
(2) 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.
归纳：
二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k> 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k< 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
活动2：探究归纳
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
（三）重难点精讲
例题:：把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？
归纳：
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
（四）归纳小结
（五）随堂检测
1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线。
2、填表：
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k.
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x时，y随x的增大而减小；当x时，函数y有最大值，最大值y是，其图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
板书设计
七、作业布置
课本P33,练习题
练习册有关练习
八、教学反思
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2)
教学目标：
【知识与技能】
1、会用描点法画二次函数的图象。
2、理解抛物线与之间的位置关系。
3、体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法。
【过程与方法】
先画出与的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出图象形状、位置规律。
【情感、态度与价值观】
1、结合探究函数与的图象平移规律的过程继续渗透数形结合思想方法。
2、在探究二次函数性质的过程中，成就学生的成功感，进一步培养学生学习数学的兴趣，增强学生学习的自信心。
教学重难点：
【教学重点】
二次函数的图象和性质。
【教学难点】
把抛物线通过平移后得到抛物线时，确定平移的方向和距离。
教学准备：
【教师准备】
多媒体课件，用于展示问题，引导讨论，展示答案。
【学生准备】
二次函数的基本知识和的平移规律。
教学过程：
活动一：复习引入
问题1：上节课已经学习，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么平移的规律是怎样的？
结合上节课画出的函数图象，根据总结的平移规律，类比函数的图象性质，补充函数的图象性质。并着重分析与的图象性质有什么不同之处？
教师活动：请学生代表回忆平移规律，再让学生补充表格，最后引导学生分析与的图象性质的不同之处。
学生活动：回忆思考、回答平移规律，再补充表格、分析性质的异同点。
【设计意图】因为上节课与本节课的探究思路完全相同，所以通过复习上节课的学习过程进行类比归纳，能够有效地进行知识迁移，有利于学生形成清晰的认知结构。
问题2：函数的图象是否也可以由函数的图象平移而得到？能否根据所画图象，总结出平移规律，类比函数的图象性质，得出函数的图象性质？
教师活动：引出课题和探究思路：二次函数的图象和性质。
学生活动：学生观察猜想、思考交流，初步了解本节课所要研究的问题和思路。
【设计意图】创设问题情境，让学生通过类比已学过知识的研究方式方法，来猜想探究新内容，同时激发学生的好奇心和求知欲。
活动二：探究性质
问题1：在同一直角坐标系中，用描点法分别画出二次函数、、的图象，并考虑它们之间是怎样平移的？
先列表：
然后描点连线，得到、、的图象，如下图所示：
观察函数图象，想一想它们的形状、大小有什么关系？（形状、大小完全相同）如何把函数的图象平移成、的图象？在平移的过程中，函数的哪些性质没有发生变化，哪些没有发生变化？
总结出平移规律：
教师活动：教师充分放手，让学生在方格纸上画图，并用投影展示成果。然后用课件动态地演示描点连线的画图过程和图象之间的平移过程，并在学生观察的基础上，找学生回答它们的特征及联系。
学生活动：学生画图象，结合自己的图象仔细观察分析，得出结论。
【设计意图】通过让学生经历自己亲自动手画图的过程，感受知识发生发展形成过程，有助于对本节知识的理解与认识，能够激发学生的学习兴趣。
问题2：在同一直角坐标系中，用描点法分别画出二次函数、、的图象，并考虑它们之间是怎样平移的？
先列表：
然后描点连线，得到、、的图象，如下图所示：
观察函数图象，想一想它们的形状、大小有什么关系？（形状、大小完全相同）如何把函数的图象平移成、的图象？在平移的过程中，函数的哪些性质没有发生变化，哪些没有发生变化？
总结出平移规律：
教师活动：教师充分放手，让学生在方格纸上画图，并用投影展示成果。然后用课件动态地演示描点连线的画图过程和图象之间的平移过程，并在学生观察的基础上，找学生回答它们的特征及联系。
学生活动：学生画图象，结合自己的图象仔细观察分析，得出结论。
【设计意图】通过让学生经历自己亲自动手画图的过程，感受知识发生发展形成过程，有助于对本节知识的理解与认识，能够激发学生的学习兴趣。
问题3：根据所举特例的图象，结合具体平移的探究过程，思考并归纳抛物线的平移规律。
总结出平移规律：
教师活动：着重引导学生从数的角度和图的角度对应分析，特别说明书写形式的原因。
学生活动：由具体数到字母类比迁移，归纳总结出一般的函数的图象的平移规律。
【设计意图】让学生经历由类比联想、归纳总结、特殊到一般的思维过程，增强学生观察分析、归纳概括和表达能力，培养学生良好的学习习惯。
问题4：结合刚才画出的函数图象，根据总结的平移规律，类比函数的图象性质，归纳总结函数的图象性质。并着重分析与的图象性质有什么不同之处？
教师着重说明函数的顶点是，与实际平移过程中的“左加右减”符号恰好相反。
教师活动：引导学生补充完整表格，结合具体的图象，说明图象平移所引起的解析式的变化和图象性质的变化。
学生活动：独立思考，补充完整表格，然后小组交流哪些图象性质发生变化。
【设计意图】让学生在感性认知的基础上，通过平移规律来探究函数的图象性质，在对比和联系中深化对不同类型二次函数的认识。
活动三：应用新知
例1.画出抛物线，，的草图.
(1)这三个函数图象的对称轴分别是 y轴 、 直线x=-1 、 直线x=1 ，顶点分别是 (0,0) 、 (-1,0) 、 (1,0) ．
(2)函数的图象可以看做的图象经过怎样的变化得到的？（从数的角度和图的角度分别看）
例2.已知:抛物线y=a(x-2)2经过点(1,4).
求:(1)抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)当x=3时的函数值；
(4)当x取何值时，y随x的增大而增大？
解:(1)∵抛物线y=a(x-2)2经过点(1,4)
∴a=4 ∴抛物线的解析式是y=4(x-2)2
(2)对称轴是直线x=2，顶点坐标(2,0)
(3)当x=3时,y=4
(4)当x>2时,y随x的增大而增大
教师活动：教师投影例1和例2，让学生独立完成后，再小组交流。教师引导学生根据平移规律解答。
学生活动：学生独立解决后，与同伴交流。
【设计意图】通过例题的教学，加深对型抛物线平移规律的理解，同时培养学生的应用意识和能力。
活动四：巩固提升
1.变式训练
(1)将抛物线y=2x2向右平移3个单位长度，得到抛物线 y=2(x-3)2 .
(2)抛物线y=2(x+5)2是由y=2x2向 左 平移 5 个单位长度得到的.
(3)抛物线 y=2(x+3)2 向右平移4个单位长度得到抛物线y=2(x-1)2.
2.抛物线y=3(x+2)2的顶点坐标是 (-2,0) ，对称轴是 直线x=-2 ，图象开口向 上 ；当x =-2 时，函数y有最 小 值，最值为 0 ；当x <-2 时，y随x的增大而减小.
3.(1)下列抛物线的顶点坐标为(-1,0)的是( C )
A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=(x+1)2 D.y=(x-1)2
(2).对称轴是直线x=2的抛物线是( D )
A.y=-x2+2 B.y=x2+2 C.y=3(x+2)2 D.y=3(x-2)2
4.变式训练
(1)已知二次函数y=3(x+1)2的图象上有三点A(1,y1),B(2,y2),C(-2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( B )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
(2).已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是 y2>y1>y3 .
5.抛物线y=a(x+1)2经过点(1,-12).
求:(1)a的值；(2)当x在什么范围内取值时，y随x的增大而增大？
解:(1)∵抛物线y=a(x+1)2经过点(1,-12)
∴4a=-12 ∴a=-3
∴抛物线的解析式是y =-3(x+1)2
(2)当x<-1时,y随x的增大而增大
教师活动：教师让学生独立思考，小组交流，回答问题。教师巡视指导，纠错点评。
学生活动：学生独立完成练习后，集体交流评价。
【设计意图】及时巩固所学知识，了解学生学习效果，加深对二次函数性质特征的认识与理解，同时培养学生独立思考的能力。
活动五：课堂小结
你能说一说这节课的收获和体验，让大家与你分享吗？
让学生小组讨论后，选取小组代表分享自己的成果和感受。
活动六：作业布置
必做题：课本的第35页的练习；
选做题：课本的第41页的第5(2)题。
板书设计：
教学反思：
本节课充分利用了多媒体教学的手段，借助PPT课件动态地展示二次函数的图象，让抽象思维不强的学生，更加形象地结合图形，分析说出二次函数y=a(x-h)2的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想。为了突出重点、攻破难点，要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后总结”、“师生共做”，充分体现了教学过程中以学生为主体，老师起主导作用的教学原则。让学生有观察，有思考，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习兴趣，从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备。
先复习二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象的平移规律，然后结合上节课所画图象，以补充表格的形式思考y=ax2+k与y=ax2的图象性质的异同点,引出二次函数y=a(x-h)2的图象性质的探究思路。
在学习二次函数y=a(x-h)2的图象和二次函数y=ax2的图象的平移规律时，由于涉及向左或向右平移引出了加减问题，学生在此容易混淆。尽管让学生结合图象明确地看到，在x后面如果是加就是向左平移的，反之就是向右平移；再就是在看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。先由解析式求出顶点坐标，再看平移的问题。但是还是有一部分同学混淆了，这一部分内容学习得不够理想。
在课堂上，学生回答问题非常积极，可是小组评价还有需要改进的地方。学生回答问题时比较耽误时间，语言组织表达能力欠缺。在以后的教学中应该灵活把握好度，使评价为教学服务而不能因评价而耽误教学。要想提高自己的教学水平，就要及时反思自己教学中存在的不足，在每一节课前充分预想到课堂的每一个细节，想好对应的措施，不断提高自己的教学水平。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)
教学目标：
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋的性质。
重点难点：
重点：确定函数y=a(x－h)2＋的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋的性质是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系
(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的图象有什么关系
(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的)
3．函数y=2(x－1)2＋1的图象与函数y=2(x－1)2的图象有什么关系 函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质
二、试一试
问题1：你能填写下表吗
y=2x2的图象 向右平移1个单位得y=2(x－1)2的图象 向上平移1个单位y=2(x－1)2＋1的图象
开口方向 向上
对称轴 y轴
顶点 (0，0)
问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗
问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质
对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识：
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平移1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做
问题4：你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗
教学要点
1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)
四、课堂练习： P33练习、P35练习
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑
2．谈谈你的学习体会。
六、作业：
1．巳知函数y＝－x2、y＝－x2－1和y＝－(x＋1)2－1
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2得到抛物线y＝－x2－1和抛物线y＝(x＋1)2－1；
(4)试讨论函数y＝－(x＋1)2－1的性质。
2．已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；
(4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质；
3．不画图象，直接说出函数y＝－2x2－5x＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
4．函数y＝2(x－1)2＋的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系
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