第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
一、互逆命题与互逆定理
1、互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2、互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理.
3、对互逆命题的理解：
①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；
②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.
③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式.
4、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.
二、勾股定理的逆定理
1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
【例】若一三角形的三边长，，，因为，所以这个三角形是直角三角形，且斜边长为.
2、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①先确定最长边，算出最长边的平方；
②计算另两边的平方和；．
③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.
3、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2
结论 a2 + b2 = c2 ∠C=90°
区别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系.
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三、勾股数
1、勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
【注意】
（1）三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
（2）一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
（3）记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
2、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
【题型一】逆命题与逆定理
【例1.1】下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17 B．直角三角形的三条边的比是
C．全等三角形的面积相等 D．若，则
【答案】B
【分析】写出下面命题的逆命题，之后根据等腰三角形，全等三角形的性质，直角三角形的判定，平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：A、等腰三角形的其周长为17，两边长不一定是3和7，是假命题；；
B、若三角形三条边的比是，则三角形一定是直角三角形，是真命题；
C、面积相等的三角形不一定是全等三角形，是假命题；
D、若，则，是假命题．
故选：B．
【例1.2】下列定理中，逆命题是假命题的是（ ）
A．在一个三角形中，等角对等边
B．全等三角形对应角相等
C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D．等腰三角形两个底角相等
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，正确，是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C、逆命题为：等边三角形是有一个角是60度的等腰三角形，正确，是真命题；
D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题；
故选：B．
【例1.3】下列三个定理中，存在逆定理的有（ ）个．
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】写出各个定理的逆命题，判断真假即可．
【解答】解：有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两底角相等，正确，①存在逆定理；
全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的三角形全等，错误，②没有逆定理；
同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，正确，③存在逆定理；
故选：C．
【题型二】勾股定理的逆定理
【例2.1】下列各组数中，能构成直角三角形的一组是( )
A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，15，17
答案 B
解析 A．∵12+22≠32，∴以1，2，3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+12＝()2，∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵72+152≠172，∴以7，15，17为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【例2.2】根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是( )
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 B．a：b：c＝5：3：4
C．a＝，b＝，c＝ D．∠A+∠B＝2∠C
解析 A．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a：b：c＝5：3：4，∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a＝，b＝，c＝，∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°，∴∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝120°，不能求出△ABC的一个角是直角，
即△ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【例2.3】在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 A、三角形的三边为，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【例2.4】在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中：①；②；③；④．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断，即可．
【详解】解：①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，不符合题意；
②由题意知，，则是不符合条件的直角三角形，符合题意；
③由题意知，则是符合条件的直角三角形，不符合题意；
④由题意知，则是符合条件的直角三角形，不符合题意；
即符合要求的只有1个，
故选：A．
【题型三】利用勾股定理逆定理证明直角三角形
【例3.1】已知三角形三边长为a，b，c，如果|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性得出a﹣10＝0，b﹣8＝0，c﹣6＝0，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．
【解答】解：∵|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣10＝0，c﹣8＝0，
∴a＝6，b＝10，c＝8，
∵62+82＝102，即a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形（b为斜边），
故选：B．
【例3.2】若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 ．
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性可得c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，从而可得c2＝a2+b2，a＝b，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．
【解答】解：∵|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，
∴c2＝a2+b2，a＝b，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【例3.3】如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，，则的度数是 ．
【答案】/90度
【分析】根据中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D得，，则，即可得．
【详解】解：∵中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
故答案为：．
【例3.4】如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若点P为线段AC上一点，连接BP，且BP＝CP，求AP的长．
解析 (1)△ABC是直角三角形，理由如下：
在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20，
∵122+162＝400＝202，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)设AP＝x，则BP＝CP＝16﹣x．
在Rt△ABP中，∵AB2+AP2＝BP2，
∴122+x2＝(16﹣x)2，解得x＝3.5，
∴AP的长为3.5．
【例3.5】在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，已知点C的坐标为，AC长为2．
(1)求AB，OC的长．
(2)请判断△OAC的形状，并说明理由．
答案 (1) ；(2)△OAC是直角三角形.
解析 (1)∵点C的坐标为，BC⊥x轴，
∴OB＝3，BC＝，
∴；
(2)△OAC是直角三角形，理由如下：
∵OB＝3，BC＝，BC⊥x轴，
∴OC2＝OB2+BC2＝9+3＝12，
由(1)得AB＝1，
∴OA＝OB+AB＝4，
∵OA2＝16，AC2＝4，
∴16＝4+12，
即OA2＝AC2+OC2，
∴△OAC是直角三角形．
【例3.6】如图，在△ABC中，BC＝2，AC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，且．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：∠BCA＝90°；
(2)求AF的长．
答案 (1)∠BCA＝90°；(2) 5.
解析 (1)证明：∵DE垂直平分AB，，
∴．
∵在△ABC中，BC＝2，AC＝4，，
∴BC2+AC2＝20＝AB2，
∴AC⊥BC，即∠BCA＝90°．
(2)解：∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF＝AF，
∴CF＝BF﹣BC＝AF﹣2．
∵∠ACF＝90°，
∴CF2+AC2＝AF2，
∴(AF﹣2)2+42＝AF2，
∴AF＝5，即AF的长为5．
【题型四】勾股数
【例4.1】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12 B．，， C．52，122，132 D．7，24，25
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股定理逆定理逐个判断即可．
【详解】解： ，不能组成直角三角形，故选项A不符合题意；
，，不是整数，不满足勾股数的定义，故选项B不符合题意；
，不能组成直角三角形，故选项C不符合题意；
，能组成直角三角形，故选项D符合题意．
故选：D．
【例4.2】观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ．
【答案】 11，60，61 ，，
【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数．
【详解】解：①，，，
②，，，
③，，，
，
第组勾股数为：
，，，
第⑤组勾股数为，，，即11，60，61．
故答案为：11，60，61；，，．
【题型五】勾股定理的逆定理实际应用
【例5.1】如图，这是一块农家菜地的平面图，其中BD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，AC＝12m，∠BDC＝90°，则这块地的面积为( )
A．24m2 B．30m2 C．36m2 D．42m2
解析 连接BC，
∵∠BDC＝90°，BD＝4m，CD＝3m，∴BC＝5，
∵AB＝13m，AC＝12m，∴AC2+BC2＝122+52＝169＝132＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴
＝30﹣6＝24．
故选：A．
【例5.2】甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里．
(1)求乙搜救艇的航行方向；
(2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？
解析 (1)根据题意得，OA＝15×2＝30(海里)，OB＝20×2＝40(海里)，
∵AB＝50海里，∴OA2+OB2＝302+402＝502＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，
∴乙搜救艇的航行方向为北偏东40°；
(2)由题意得，AE＝12海里，BF＝16海里，
∴OE＝30﹣12＝18(海里)，OF＝OB﹣BF＝40﹣16＝24(海里)，
∵∠EOF＝90°，
∴ (海里)，
答：甲、乙两艘搜救艇相距30海里．
【例5.3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由A行驶向B，台风的速度为20千米/小时，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C是否受台风影响？若受台风影响，求台风影响该海港持续的时间有多长？
答案 (1) 90°；(2) 7小时．
解析 (1)因为300+24002＝5002，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
(2)海港C受台风影响，理由如下：
过点C作CD⊥AB，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240(km)，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵，
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7(小时)，
答：海港C受台风影响；海港C受台风影响的时间会持续7小时．
1、满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是( )
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝9，BC＝40，AC＝41 D．∠A＝40°，∠B＝50°
答案 A
解析 A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x，
∵(3x)2+(4x)2＝(5x)2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵92+402＝412，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
2、下列各组数是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是( )
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13
答案 B
解析 A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
故选：B．
3、下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．
【解答】解：A、其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；
B、其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；
C、其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；
D、其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．
故选：B．
4、下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应边相等；④同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别写出各个定理的逆命题，根据等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解：有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形有两边相等，正确，①有逆定理；
如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形的逆命题是如果直角三角形的三边a，b，c，则满足a2+b2＝c2，正确，②有逆定理；
全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确，③有逆定理；
同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行、同位角相等，正确，④有逆定理，
故选：D．
5、如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是BC边上的中线，则AD的长度为( )
A．1 B．2 C． D．
答案 D
解析 ∵△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝1，
由勾股定理得，
故选：D．
6、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为( )
A．30 B．24 C．20 D．48
答案 B
解析 延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
∵D为BC的中点，∴DC＝BD，
在△ADB与△EDC中，
∵，∴△ADB≌△EDC(SAS)，
∴CE＝AB＝6．
又∵AE＝2AD＝8，AB＝CE＝6，AC＝10，
∴AC2＝AE2+CE2，∴∠E＝90°，
则S△ABC＝S△ACE＝CE AE＝×6×8＝24．
故选：B．
7、如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是( )
A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2
答案 B
解析 连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴，
∵CD＝8m，AD＝17m，
∴AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
，
∴这块菜地的面积为114m2，
故选：B．
8、下列各组数是勾股数的是 （填序号）．
①6，8，10；②1.5，2，2.5；③，，；④7，24，25；⑤，，
【答案】①④/④①
【分析】根据勾股数的特点判断即可．
【详解】①．，是勾股数；
②．1.5，2，2.5中，1.5，2.5不是正整数，故不是勾股数；
③．，不是勾股数；
④．，是勾股数；
⑤．，且，不是正整数，故不是勾股数．
故答案为：①④．
9、如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】连接，利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形即可．
【详解】解：连接，
由勾股定理得：，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
10、在中，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．解决问题的关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
故答案为：．
11、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于 ．
答案 36
解析 连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴，
在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴．
故答案为：36．
12、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）应用勾股定理，求出CD，再运用勾股定理即可求出AD；
（2）判断出AC2+BC2＝AB2，即可判断△ABC为直角三角形．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：由（1）知：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
13、已知a，b，c满足|a|（c）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）利用已知条件以及绝对值的性质确定a，b，c的值即可；
（2）根据三角形的三边关系判断能构成直角三角形．
【解答】解：（1）∵|a|（c）2＝0，
∴a0，（b﹣5）2＝0，c0，
∴a＝2，b＝5，c＝3；
（2）∵（2）2+（3）≠52，
∴不能构成直角三角形．
14、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域．我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，12分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行60海里，乙巡逻艇每小时航行25海里，乙巡逻艇的航向为南偏西40°．
(1)求甲巡逻艇的航行方向；
(2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
答案 (1) 南偏东50°；(2) 6.5海里．
解析 (1)过点C作CD∥BE，
由题意得：∠CBE＝40°，AF∥BE，AB＝13海里， (海里)，
BC＝25×＝5(海里)，
∴AC2+BC2＝169，AB2＝169，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥BE，
∴∠DCB＝∠CBE＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝50°，
∵AF∥BE，
∴∠FAC＝∠ACD＝50°，
∴甲巡逻艇的航行方向是南偏东50°；
(2)由题意得：
甲巡逻艇航行6分钟的路程 (海里)，
乙巡逻艇航行6分钟的路程＝25×＝2.5(海里)，
∴6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距的距离 (海里)，
∴6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距6.5海里．
1、下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是( )
A．1，2，3 B． C．1，1， D．3，5，6
答案 C
解析 A、∵1+2＝3，∴不能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵，∴，
∴不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵12+12＝2，()2＝2，∴12+12＝()2，
∴能成直角三角形，故C符合题意；
D、∵32+52＝34，62＝36，∴32+52≠62，
∴不能构成直角三角形，故D不符合题意；
故选：C．
2、下列条件中，不能判断为直角三角形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理可判定A、B；根据三角形内角和定理求出中最大的内角的度数即可判断C、D．
【详解】解：A、，
，
故该选项能判断为直角三角形，不符合题意；
B、∵，
设，
∴，
，
故该选项能判断为直角三角形，不符合题意；
C、 ，，
，即
故该选项能判断为直角三角形，不符合题意；
D、 ，
设，
，
，
解得，
故该选项不能判断为直角三角形，符合题意；
故选：D．
3、下列命题：
①两直线平行，内错角相等；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；
③等边三角形是锐角三角形，
其中原命题和它的逆命题都正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】利用平行线的性质、实数的乘法法则、等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等，正确；逆命题为：内错角相等，两直线平行，正确；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；正确；逆命题为：如果ab＞0，那么a＞0，b＞0；不正确；
③等边三角形是锐角三角形，正确；逆命题为：锐角三角形是等边三角形；不正确；
其中原命题和它的逆命题都正确的有1个，
故选：A．
4、已知，，，的对边分别是，，，下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则
C．若为直角三角形，则
D．若，则是直角三角形
【答案】C
【分析】先写出每个命题的逆命题，然后利用直角三角形的性质和判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：A选项的逆命题为：若为直角三角形，则，不成立，不合题意；
B选项的逆命题为：若，则，不成立，不合题意；
C选项的逆命题为：若，则为直角三角形，
∵
∴，故为直角三角形，
∴选项成立，符合题意；
D、选项的逆命题为：若是直角三角形，则，不成立，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握直角三角形的性质和判定方法是解题关键．
5、如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（ ）
A．南偏东30° B．南偏东40° C．南偏东50° D．南偏东60°
【答案】A
【分析】由路程速度时间可得PA、PB长，根据勾股逆定理可知是直角三角形，即，易知乙船的航行方向.
【详解】解：如图
由题意可得
是直角三角形，即，
所以乙船的航行方向是南偏东30°.
故选：A.
【点睛】本题考查了勾股定理在方位角中的应用，灵活利用勾股逆定理判定直角三角形是解题的关键.
6、已知△ABC，AB＝1，BC＝3，AC＝，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是( )
A．1 B． C． D．3
答案 C
解析 ∵AB＝1，BC＝3，AC＝，∴AB2+BC2＝10＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
当BP⊥AC时，BP最小，
∴线段BP长的最小值是，解得．
故选：C．
7、已知△ABC三边长a，b，c满足，则△ABC一定是 三角形．
答案 直角
解析 ∵，∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13，
∵a2+b2＝52+122＝169，c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
8、命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是________，它是________命题．
【答案】在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°；真
【分析】把原命题的结论作为题设，把题设作为结论可得到原命题的逆命题，易知此命题为真命题．
【详解】逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°；
它是真命题．
故答案为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°；真
【点睛】本题考查了写出命题的逆命题及判断命题的真假，知道把一个命题的条件与结论互换得到它的逆命题是关键．
9、已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题目中的数据和勾股定理的逆定理，可以判断该三角形的形状，然后即可求得该三角形的面积；
【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为，，，
因为,
∴该三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
10、如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】
【分析】连接BD，先利用勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四边形ABCD的面积当成两个三角形的面积和来求．
【详解】解：连接BD，
∵点E为AB的中点，于点E，，，
∴EB＝AB＝3，
∴，
∵，即，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．
11、如图，在中，于点，，，，求的度数．
【答案】．
【分析】利用勾股定理求得，，推出，可证明是直角三角形，得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12、如图，四边形是某校在校园一角开辟的一块四边形“试验田”，经过测量得，，，，．
(1)求的长度和的度数；
(2)求四边形“试验田”的面积．
【答案】(1)的长度为，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理求得的度数；
（2）四边形“试验田”的面积等于，求得即可．
【详解】（1）在中，，，
根据勾股定理可得根据勾股定理可得，
即的长度为．
在中，，，，
，
；
（2），
即四边形“试验田”的面积为．
13、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向；
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，
AC＝12012（海里），BC＝505（海里），
∵AB＝13（海里），
∵AC 2+BC 2＝AB 2，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA＝67°，
∴∠CAB＝23°，
∴甲的航向为北偏东67°；
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：1206（海里），
乙巡逻船航行3分钟的路程为：502.5（海里），
3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：6.5（海里）．
14、如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．
(1)求的长度；
(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？
【答案】(1)
(2)符合，理由见解析
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求出；
（2）根据勾股定理的逆定理得即可得答案．
【详解】（1）解：在中，，
由勾股定理得，．
，
．
（2）解：由（1）知，
在中，，
，
由勾股定理的逆定理得，是直角三角形，
，
．
故该车符合安全标准．第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
一、互逆命题与互逆定理
1、互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2、互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理.
3、对互逆命题的理解：
①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；
②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.
③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式.
4、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.
二、勾股定理的逆定理
1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
【例】若一三角形的三边长，，，因为，所以这个三角形是直角三角形，且斜边长为.
2、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①先确定最长边，算出最长边的平方；
②计算另两边的平方和；．
③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.
3、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2
结论 a2 + b2 = c2 ∠C=90°
区别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系.
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三、勾股数
1、勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
【注意】
（1）三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
（2）一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
（3）记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
2、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
【题型一】逆命题与逆定理
【例1.1】下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17
B．直角三角形的三条边的比是
C．全等三角形的面积相等
D．若，则
【例1.2】下列定理中，逆命题是假命题的是（ ）
A．在一个三角形中，等角对等边
B．全等三角形对应角相等
C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D．等腰三角形两个底角相等
【例1.3】下列三个定理中，存在逆定理的有（ ）个．
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型二】勾股定理的逆定理
【例2.1】下列各组数中，能构成直角三角形的一组是( )
A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，15，17
【例2.2】根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是( )
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 B．a：b：c＝5：3：4
C．a＝，b＝，c＝ D．∠A+∠B＝2∠C
【例2.3】在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是( )
A． B． C． D．
【例2.4】在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中：①；②；③；④．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型三】利用勾股定理逆定理证明直角三角形
【例3.1】已知三角形三边长为a，b，c，如果|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
【例3.2】若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 ．
【例3.3】如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，，则的度数是 ．
【例3.4】如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若点P为线段AC上一点，连接BP，且BP＝CP，求AP的长．
【例3.5】在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，已知点C的坐标为，AC长为2．
(1)求AB，OC的长．
(2)请判断△OAC的形状，并说明理由．
【例3.6】如图，在△ABC中，BC＝2，AC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，且．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：∠BCA＝90°；
(2)求AF的长．
【题型四】勾股数
【例4.1】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12 B．，， C．52，122，132 D．7，24，25
【例4.2】观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ．
【题型五】勾股定理的逆定理实际应用
【例5.1】如图，这是一块农家菜地的平面图，其中BD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，AC＝12m，∠BDC＝90°，则这块地的面积为( )
A．24m2 B．30m2 C．36m2 D．42m2
【例5.2】甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里．
(1)求乙搜救艇的航行方向；
(2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？
【例5.3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由A行驶向B，台风的速度为20千米/小时，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C是否受台风影响？若受台风影响，求台风影响该海港持续的时间有多长？
1、满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是( )
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB＝9，BC＝40，AC＝41 D．∠A＝40°，∠B＝50°
2、下列各组数是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是( )
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13
3、下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
4、下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应边相等；④同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是BC边上的中线，则AD的长度为( )
A．1 B．2 C． D．
6、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为( )
A．30 B．24 C．20 D．48
7、如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是( )
A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2
8、下列各组数是勾股数的是 （填序号）．
①6，8，10；②1.5，2，2.5；③，，；④7，24，25；⑤，，
9、如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为 ．
10、在中，，，，则 ．
11、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于 ．
12、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
13、已知a，b，c满足|a|（c）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
14、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域．我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，12分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行60海里，乙巡逻艇每小时航行25海里，乙巡逻艇的航向为南偏西40°．
(1)求甲巡逻艇的航行方向；
(2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
1、下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是( )
A．1，2，3 B． C．1，1， D．3，5，6
2、下列条件中，不能判断为直角三角形的是( )
A． B．
C． D．
3、下列命题：
①两直线平行，内错角相等；
②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；
③等边三角形是锐角三角形，
其中原命题和它的逆命题都正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
4、已知，，，的对边分别是，，，下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则
C．若为直角三角形，则
D．若，则是直角三角形
5、如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（ ）
A．南偏东30° B．南偏东40° C．南偏东50° D．南偏东60°
6、已知△ABC，AB＝1，BC＝3，AC＝，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是( )
A．1 B． C． D．3
7、已知△ABC三边长a，b，c满足，则△ABC一定是 三角形．
8、命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是______________________________，它是________命题（填“真”或“假”）．
9、已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为 ．
10、如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为 ．
11、如图，在中，于点，，，，求的度数．
12、如图，四边形是某校在校园一角开辟的一块四边形“试验田”，经过测量得，，，，．
(1)求的长度和的度数；
(2)求四边形“试验田”的面积．
13、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向；
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
14、如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．
(1)求的长度；
(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？
