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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
一、勾股定理
一、勾股定理
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
（1）勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；
（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.
（3）勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；、、.
二、勾股定理的证明
1、勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.
（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.
（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.
2、证明勾股定理的几种常用方法：
图1 图2 图3
赵爽弦图（图1）：，，化简得
邹元治法（图2）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
即（a+b）2＝c2ab×4，化简得
伽菲尔德的“总统证法”（图3）：S梯形=（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得证：
【题型一】利用勾股定理求直角三角形的边长
【例1.1】在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝5，b＝3，那么斜边c的长为( )
A．3 B．4 C． D．
答案 D
解析 ∵△ABC是直角三角形，两直角边长a＝5，b＝3，
∴斜边c为，
故选：D．
【例1.2】若直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（ ）
A．13 B． C．13或 D．7
【答案】C
【分析】此题要考虑两种情况：当所求的边是斜边时；当所求的边是直角边时．
【详解】由题意得：当所求的边是斜边时，则有=13；
当所求的边是直角边时，则有=．
故选C．
【例1.3】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝( )
A．20 B．25 C．35 D．30
解析 在Rt△ADC中，AD＝16，CD＝12，
∴，
在Rt△ACB中，，
故选：B．
【例1.4】如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是( )
A．线段AB B．线段BC C．线段CD D．线段AD
答案 B
解析 由图可得，，
，
故选：B．
【例1.5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，BD＝DCBC＝6，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DCBC＝6，
在Rt△ABD中，AD8，
故选：C．
【例1.6】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC＝2，求AD的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理计算；
（2）根据勾股定理计算．
【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝75°；
（2）在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴AD＝DC，
由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，
∴AD＝DCAC．
【题型二】勾股定理的证明
【例2.1】将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
解析 证明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴，
∴，
∴a2+b2＝c2．
【例2.2】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b＞a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2＝c2．
证明：如图2，连结DB、DC，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵△ABC≌△DAE，∴∠ABC＝∠DAE，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝ + ＝ ，
∴S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝ ，
∴ ，
∴ ．
解析 证明：如图2，连结DB、DC，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵△ABC≌△DAE，
∴∠ABC＝∠DAE，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠DAE+∠BAC＝90°，
∴，
∵S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝，
∴，
∴c2＝a2+b2．
故答案为：∠DAE，∠BAC，90°，，S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝，c2＝a2+b2．
【题型三】勾股定理与图形的面积
【例3.1】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是( )
A．144 B．194 C．12 D．13
答案 A
解析 由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．故选：A．
【例3.2】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为( )
A．4 B．8 C．12 D．16
答案 A
解析 直角三角形较短的直角边为，
所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故选：A．
【例3.3】如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB＝3，CD＝1，则四边形ABCD的面积是 ．
解析 延长AD、BC交于点E，如图所示，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∠A＝60°，
∴∠E＝30°，
∵AB＝3，CD＝1，
∴AE＝6，CE＝2，
∴，
∴
，
故答案为：．
【例3.4】如图，在方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，的面积是 ，点A到BC边的距离为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据网格求三角形面积，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”．用割补法即可求出的面积，根据勾股定理得出，再根据三角形的面积公式即可求出点A到边的距离．
【详解】解：根据题意可得：
，
根据勾股定理可得：，
设点A到边的距离为h，
，
则，
解得：，
故答案为：，．
【例3.5】如图，每个小正方形的边长都是1．
①在图中画出一个面积是2的直角三角形，并用字母标示顶点；
②在图中画出一个面积是2的正方形，并用字母标示顶点．
【答案】如图所示：
【详解】试题分析：（1）根据直角三角形的面积公式即可得到结果；
（2）根据正方形的面积公式结合勾股定理即可得到结果.
考点：基本作图
1、设直角三角形的两条直角边分别为a＝6和b＝8，斜边长为c( )
A．8 B．10 C．15 D．16
答案 B
解析 ∵直角三角形的两条直角边分别为a＝6和b＝8，
∴斜边长为，
故选：B．
2、如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝( )
A．10 B．13 C．8 D．11
答案 B
解析 在直角三角形BCD中，BC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得BD＝5．
在直角三角形ABD中，BA＝12，BD＝5，根据勾股定理，得AD＝13．
故选：B．
3、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 ∵大正方形的面积是16，∴a2+b2＝16，
又a2+b2＝ab+10，∴ab＝6，
∴(b﹣a)2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣2×6＝4，
即小正方形的面积是4，
故选：C．
4、如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为( )
A． B． C． D．
解析 如图所示：，
∵AE＝4，，BC＝4
即×4×4＝×5×BD，解得．
故选：C．
5、如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（ ）
A．10 B．12 C．24 D．48
【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．
【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°
∴∠AEB＝∠CDE＝30°
∵30°所对的直角边是斜边的一半
∴AE＝6，DE＝8
又∵∠AED＝90°
根据勾股定理
∴AD＝10．
故选：A．
6、如图，其中所有的三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S等于( )
A．25 B．31 C．32 D．40
答案： B
7、已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足，则第三边的长为( )
A． B．或 C．或 D．或或
答案： D
解析 ∵
∴x2﹣4＝0，y2﹣5y+6＝0，解得：x＝2(负值已舍去)，y＝2或y＝3，
当x＝2，y＝2时，第三边长为；
当x＝2，y＝3时，如果x、y都为直角边，第三边长为；
当x＝2，y＝3时，如果y为斜边，第三边长为；
综上所述，第三边的长为或或，
故选：D．
8、“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ， ．
【答案】
【分析】五边形的面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，或五边形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．
【详解】解：如图所示：
①，
②．
故答案为：，．
9、已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm， 则以第三边为边长的正方形的面积为
【答案】7cm2或25cm2．
【分析】分两种情况考虑：当4cm为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积；当第三边为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积．
【详解】解：若4cm为直角三角形的斜边，此时以第三边为边长的正方形的面积为42﹣32=16﹣9=7cm2；
若x为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：x2=32+42=9+16=25，
此时以斜边为边长的正方形的面积为x=25．
综上，以第三边为边长的正方形的面积为7cm2或25cm2．
故答案为：7cm2或25cm2．
10、如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边CD为1画第二个Rt△ACD；再以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边DE长尾1画第三个Rt△ADE；…，以此类推，第n个直角三角形的斜边长是___________.
答案
解析 在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，根据勾股定理得：，
在Rt△ACD中，AC＝，CD＝1，根据勾股定理得：，
在Rt△ADE中，AD＝，DE＝1，根据勾股定理得：，
依此类推，第n个直角三角形的斜边长为．
故选：．
11、在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若a＝b＝5，求c；
（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝b＝5，
∴c；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，∠A＝30°，
∴c＝10，b．
12、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
13、1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．
(1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：
方法1：________；方法2：________．
(2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为，则它的面积可表示为；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即；
（2）由（1）可得，即可．
【详解】（1）解：由题得：梯形面积为；
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即；
故答案为：；
（2）解：由（1）得：，
即．
二、勾股定理的应用
利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.
1、勾股定理应用的类型：
（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；
（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；
（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；
（4)作长为(n＞1，且n为整数)的线段；
（5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.
【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.
2、利用勾股定理作长为的线段(n＞1，且n为整数)
在数轴上表示的步骤：
①利用勾股定理求出长为的线段；
②在数轴上以原点为圆心，以长为的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为
表示的点.
3、两种特殊直角三角形
1、含的直角三角形的三边长度之比为.
证明：设，则，由勾股定理可得，
故.
2、等腰直角三角形的三边长度之比为.
证明：设，则，由勾股定理可得，
故.
【题型一】构造直角三角形求线段长度
【例1.1】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．AD是△ABC角平分线，若AC＝，则线段AD的长( )
A．1 B．2 C． D．3
答案 B
解析 ∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AD．
在Rt△ADC中，由勾股定理知：AD2＝AC2+CD2，即，
∴AD＝2．
故选：B．
【例1.2】已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．
【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．
【解答】解：作AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝30°，
∴ADAC＝1，
在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD，
∵∠B＝45°，
∴∠DAB＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝1，则BC＝1，
∴AB，
【例1.3】如图，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，求BC及S△ABC．
答案
解析 延长BA，过点C作CD⊥BA交于点D，
∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∵AC＝4，∴AD＝2，
∴BD＝4，，
∴，
．
【题型二】利用勾股定理在数轴上表示实数
【例2.1】（1）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A．（要求；不写作法，保留作图痕迹）
（2）若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是______．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）将表示3的点向上平移1个单位，得到点，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求
（2）根据对称性可知点是的中点，设表示的数为，根据即可求得点B对应的数．
【详解】（1）如图，点即为所求
，
点表示的数是
（2）设表示的数为，则
解得
表示的数为
故答案为：
【例2.2】如图，在中，在数轴上，以B点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则D点表示的数是 ．
【答案】
【分析】根据题意运用勾股定理求出AB的长，即可得到答案．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=1，
∴AB=，
∴BD=AB=，
∵B点表示的数是3，
∴点D表示的数为3-．
故答案为：3-．
【例2.3】如图，数轴上点A表示的数为﹣1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B′，则点B′所表示的数为( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 由图可得，AC＝1﹣(﹣1)＝1+1＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，
∴，
∵AB＝AB′，∴AB′＝，
∴点B′所表示的数为﹣1，
故选：A．
【题型三】利用勾股定理解决实际问题
【例3.1】如图示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的C点处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树在折断前的高度为( )
A．5米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．在中，根据勾股定理可求得的长，而树的高度为，的长已知，由此得解．
【详解】解：中，米，米；
由勾股定理，得：米；
∴树的高度为：米；
故选：D．
【例3.2】如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由．
【答案】云梯不能到达城墙的顶端，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出斜边与直角边，再利用勾股定理求出梯子能够到达的墙的最大高度即可．正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解题的关键．
【详解】解：云梯不能到达城墙的顶端．
理由：连接，
由题意，
当时，
在中，，
∴，
∵，
∴云梯不能到达城墙的顶端．
【例3.3】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25）米，
答：此人需向右移动的距离为（）米．
（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收绳，
∴收绳时间，
答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
1、△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC＝BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
故选：C．
2、如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．6m B．8m C．10m D．18m
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（m），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（m）．
故选：C．
3、如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出，进而得出，则，即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：
，
，
∵以长为半径作圆弧交数轴于点P，
∴，
∴点P表示的数为．
故选：C．
4、如图，在△ABC中，AC＝12，∠C＝45°，∠B＝120°，求BC的长．
【分析】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则∠ADC＝90°，由∠C＝45°，可知△ADC为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出，在Rt△ABD中，同理根据勾股定理可求出，再利用BC＝DC﹣DB即可求解．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴AD＝DC，
根据勾股定理可得：AD2+DC2＝AC2，
即 2AD2＝AC2＝122，
解得，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，
在Rt△ABD中，
设BD＝x，则AB＝2x，
根据勾股定理可得：AD2+DB2＝AB2，
即，
解得，
即，
∴．
5、如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；
（2）设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），
故答案为：1.6，3，1；
（2）∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为xm，
则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得：x＝5（m），
即秋千的长度是5m；
（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，
∵DE＝0.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），
由（2）可知，AD＝AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4（m），
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
1、在中，，，（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】利用勾股定理求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，，，
由勾股定理得：，
故选：C．
2、在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是( )
A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对
答案 A
解析 甲得出的结果为：，即a2+b2＝c2，
符合题意；
乙得出的结果为：，
不符合题意；
故选：A．
3、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理，可求得的长度，进而可求得的长度，结合点的坐标，可求得点的坐标．
【详解】根据题意，可知， ，
∴．
又点的坐标为，
∴点的坐标为．
故选：A．
4、如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（ ）
A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m
【分析】设BO＝xm，由勾股定理得AB2＝22+x2，CD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，则22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，求出x＝1.5，即可解决问题．
【解答】解：设BO＝xm，
依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
解得：x＝1.5，
∴AB2.5（m），
即梯子的长度AB为2.5m，
故选：A．
5、如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，
则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，
故选：A．
6、图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 在Rt△AOB中，AB＝1，∠AOB＝30°，∴OB＝2，
在Rt△BOC中．
故选：A．
7、一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（ ）
A．10 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】连接AE交BD于C，
则AC+CE距离和最小，且AC+CE=AE，
过A作AH⊥ED交ED的延长线于H，
∵，
∴，
∴此时桥C到A村和E村的距离和为10，
故选：A．
8、若一个直角三角形两边的长分别为2和，则第三条边的长为 ．
【答案】或1
【分析】分2是直角边长与斜边长两种情况分别求解即可．
【详解】解：当2是直角边长时，第三边长，
当2是斜边长时，第三边长，
故答案为：或1．
9、中，，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】由勾股定理解得的长，再结合直角三角形面积公式解题即可．
【详解】解：如图，
在中， ，，，
由勾股定理得，
故答案为：．
10、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
【分析】如图根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．
【解答】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形1，
S正方形C+S正方形D＝S正方形3，
S正方形A+S正方形B＝S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．
故答案为：256．
11、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，AC＝2，则BD的长度为 。
答案
解析 ∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD，
∵∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，
∴，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，∴BD＝2CD，
∴CD+2CD＝BC＝，∴CD＝，
∴.
12、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．
求：(1)CD的长；(2)BD的长．
答案 (1) 12；(2) 9．
解析 (1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
由勾股定理可得，，
∴AB的长是25；
∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴AC BC＝AB CD，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴20×15＝25CD，
∴CD＝12，
∴CD的长是12．
(2)∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，
由勾股定理可得，
∴BD的长为9．
13、如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【答案】乙船的航速是9海里/时．
【分析】设乙船的航速是x海里/时，先由甲船的速度和航行时间求得，再由平角计算角度差求得，再由和的长度便可由勾股定理求得，再解方程即可；
【详解】解：设乙船的航速是x海里/时，
由甲船的速度和航行时间可得海里，
由乙船的速度和航行时间可得海里，
∵，
∴是直角三角形，
由勾股定理可得，
∴，
∴，
故乙船的航速是9海里/时；
14、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为．
(1)在正方形网格中，画出，使，，；
(2)计算 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据，，分别构造直角边长为2、1和3、2直角三角形即可；
（2）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：因为，
为直角边长分别是2、1的直角三角形的斜边，
，
为直角边长分别是3、2的直角三角形的斜边，作如下图：
即为所求．
（2）解：．
所以的面积是4．
15、如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
答案 (1) ；(2) ．
解析 (1)在Rt△ABC中，
由面积的两种算法可得：，解得．
(2)在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，
在Rt△ADC中AD2＝52﹣(6﹣x)2＝﹣11+12x﹣x2，
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
一、勾股定理
一、勾股定理
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
（1）勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；
（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.
（3）勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；、、.
二、勾股定理的证明
1、勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.
（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.
（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.
2、证明勾股定理的几种常用方法：
图1 图2 图3
赵爽弦图（图1）：，，化简得
邹元治法（图2）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
即（a+b）2＝c2ab×4，化简得
伽菲尔德的“总统证法”（图3）：S梯形=（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得证：
【题型一】利用勾股定理求直角三角形的边长
【例1.1】在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝5，b＝3，那么斜边c的长为( )
A．3 B．4 C． D．
【例1.2】若直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（ ）
A．13 B． C．13或 D．7
【例1.3】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝( )
A．20 B．25 C．35 D．30
【例1.4】如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是( )
A．线段AB B．线段BC C．线段CD D．线段AD
【例1.5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例1.6】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC＝2，求AD的长．
【题型二】勾股定理的证明
【例2.1】将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【例2.2】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b＞a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2＝c2．
证明：如图2，连结DB、DC，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵△ABC≌△DAE，∴∠ABC＝∠DAE，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝ + ＝ ，
∴S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝ ，
∴ ，
∴ ．
【题型三】勾股定理与图形的面积
【例3.1】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是( )
A．144 B．194 C．12 D．13
【例3.2】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为( )
A．4 B．8 C．12 D．16
【例3.3】如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB＝3，CD＝1，则四边形ABCD的面积是 ．
【例3.4】如图，在方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，的面积是 ，点A到BC边的距离为 ．
【例3.5】如图，每个小正方形的边长都是1．
①在图中画出一个面积是2的直角三角形，并用字母标示顶点；
②在图中画出一个面积是2的正方形，并用字母标示顶点．
1、设直角三角形的两条直角边分别为a＝6和b＝8，斜边长为c( )
A．8 B．10 C．15 D．16
2、如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝( )
A．10 B．13 C．8 D．11
3、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4、如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为( )
A． B． C． D．
5、如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（ ）
A．10 B．12 C．24 D．48
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6、如图，其中所有的三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S等于( )
A．25 B．31 C．32 D．40
7、已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足，则第三边的长为( )
A． B．或 C．或 D．或或
8、“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ， ．
9、已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm， 则以第三边为边长的正方形的面积为
10、如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边CD为1画第二个Rt△ACD；再以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边DE长尾1画第三个Rt△ADE；…，以此类推，第n个直角三角形的斜边长是___________.
11、在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若a＝b＝5，求c；
（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．
12、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
13、1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．
(1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：
方法1：________；方法2：________．
(2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
二、勾股定理的应用
利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.
1、勾股定理应用的类型：
（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；
（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；
（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；
（4)作长为(n＞1，且n为整数)的线段；
（5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.
【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.
2、利用勾股定理作长为的线段(n＞1，且n为整数)
在数轴上表示的步骤：
①利用勾股定理求出长为的线段；
②在数轴上以原点为圆心，以长为的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为
表示的点.
3、两种特殊直角三角形
1、含的直角三角形的三边长度之比为.
证明：设，则，由勾股定理可得，
故.
2、等腰直角三角形的三边长度之比为.
证明：设，则，由勾股定理可得，
故.
【题型一】构造直角三角形求线段长度
【例1.1】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．AD是△ABC角平分线，若AC＝，则线段AD的长( )
A．1 B．2 C． D．3
【例1.2】已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．
【例1.3】如图，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，求BC及S△ABC．
【题型二】利用勾股定理在数轴上表示实数
【例2.1】（1）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A．（要求；不写作法，保留作图痕迹）
（2）若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是______．
【例2.2】如图，在中，在数轴上，以B点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则D点表示的数是 ．
【例2.3】如图，数轴上点A表示的数为﹣1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B′，则点B′所表示的数为( )
A． B． C． D．
【题型三】利用勾股定理解决实际问题
【例3.1】如图示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的C点处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树在折断前的高度为( )
A．5米 B．米 C．米 D．米
【例3.2】如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由．
【例3.3】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
1、△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对
2、如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．6m B．8m C．10m D．18m
3、如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）
A．2 B． C． D．
4、如图，在△ABC中，AC＝12，∠C＝45°，∠B＝120°，求BC的长．
5、如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，BF＝ m，BC＝ m，CD＝ m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
1、在中，，，（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
2、在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是( )
A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对
3、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
4、如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（ ）
A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m
5、如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
6、图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为( )
A． B． C． D．
7、一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（ ）
A．10 B． C．12 D．
8、若一个直角三角形两边的长分别为2和，则第三条边的长为 ．
9、中，，，，则的面积为 ．
10、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
11、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，AC＝2，则BD的长度为 。
12、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．
求：(1)CD的长；(2)BD的长．
13、如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
14、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为．
(1)在正方形网格中，画出，使，，；
(2)计算 的面积．
15、如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
