第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
基础过关练
1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据不等式的定义来判断即可．
【详解】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
为不等式．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的定义，要判断一个式子是不是不等式，主要看这个式子是否用“”“”“”“”或“”连接，若是，则为不等式，否则就不是不等式．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断即可．
【详解】A．，则，故本选项不合题意；
B．由可设，此时，故本选项符合题意；
C．，所以，故本选项不合题意；
D．，则，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
3．（2023春·广东佛山·八年级期中）若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，逐一判断各个选项即可．
【详解】∵不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，
∴正确，
∴A正确；
∵时，，
∴B错误；
∵，
∴，
∴C错误；
∵，
∴，
∴D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：，两边同时乘以一个小于0的值，可得，故A错误，不符合要求；
，两边同时除以一个小于0的值，可得，故B正确，符合要求；
，两边同时加上，可得，故C错误，不符合要求；
，两边同时乘以一个大于0的值，可得，故D错误，不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：①，②，③，
由③得：④，
把④代入②得：，，
，
，
由③得：，
，
，
，
，即．
故本题选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人
【答案】A
【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：不等式“”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于990人，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号．
7．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）设表示大于的最小整数，如，，下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1；④存在实数，使成立，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据新定义逐个算式分析即可．
【详解】解：①∵表示大于的最小整数，∴，∴不正确；
②∵表示大于的最小整数，∴，∴的最小值是0不正确；
③∵表示大于的最小整数，设(n为整数)，则，，
∴，即的最大值是1，正确；
④∵表示大于的最小整数，∴当x的小数部分为0.5时，，∴存在实数，使，正确．
故选B．
【点睛】此题考查了新定义，正确理解新定义是解本题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）甲在集市上先买了只羊，平均每只元，稍后又买了只，平均每只羊元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与、大小无关
【答案】A
【分析】已知甲共花了元买了只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，即可求解．
【详解】解：根据题意得到，
解得
故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）写出一个不等式，使它的解为，则这个不等式可以是___________．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据要求构造不等式即可．
【详解】解：∵的解集为：，
∴符合条件的一个不等式为：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查不等式的解集，理解不等式解集的含义是求解本题的关键．
10．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）已知不等式，两边同时除以“”得___________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质解答即可．
【详解】解：不等式，两边同时除以“”得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
11．（2023春·福建三明·八年级校考阶段练习）利用不等式的性质填空．若，则c___________0．
【答案】
【分析】根据不等式的方向发生了变化，说明不等式两边乘的是一个负数，即可得出结论．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的两边同乘同一个负数，不等号的方向发生改变，是解题的关键．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）已知不等式，的最小值是；，的最大值是，则___________．
【答案】
【分析】解答此题要理解“”“ ”的意义，判断出和的最值即可解答．
【详解】解：因为的最小值是，；
的最大值是，则；
则，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的定义，解答此题要明确，时，可以等于2；时，可以等于．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为______．
【答案】
【分析】根据超过用“”列不等式即可．
【详解】解：由题意得
．
故答案为：
【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．
14．（2023·全国·九年级专题练习）不等式的基本性质1：若，_________，则，这个性质叫做_________．
不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个_________，所得的不等式仍成立．
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个_________，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须_________，所得的不等式成立．
【答案】 不等式的传递性 数 正数 改变不等号的方向
【分析】直接根据不等式的基本性质填空即可．
【详解】不等式的基本性质1：若，，则，这个性质叫做不等式的传递性．
不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得的不等式仍成立．
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立．
故答案为：，不等式的传递性，数，正数，改变不等号的方向．
【点睛】本题考查不等式的基本性质．熟知不等式的基本性质是解题关键．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）不等式的两边都加上1即可；
（2）不等式两边都减去即可；
（3）不等式两边都乘以2即可；
（4）不等式两边都除以即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，
；
（3），
，
；
（4），
，
．
【点睛】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于x的两个不等式x+1<7 2x与 1+x
(1)若两个不等式解集相同，求a的值；
(2)若不等式x+1<7 2x的解都是 1+x【答案】(1)a=1；
(2)a≥1．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；
（2）根据不等式x+1<7 2x的解都是 1+x【详解】（1）解：由x+1<7 2x得：x＜2，
由 1+x由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，
解得：a=1；
（2）解：由不等式x+1<7 2x的解都是 1+x得到2≤a+1，
解得：a≥1．
【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．
17．（2023春·全国·七年级假期作业）已知-x＜-y，用“＜”或“＞”填空：
(1)7-x________7-y．
(2)-2x________-2y．
(3)2x________2y．
(4)x_______y．
【答案】(1)＜
(2)＜
(3)＞
(4)＞
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴不等号两边都加7，依据不等式的性质1，得7-x＜7-y．
（2）解：∵，
∴不等号两边都乘以2，依据不等式的性质2，得-2x＜-2y．
（3）解：∵，
∴不等号两边都乘以-2；依据不等式的性质3，得2x＞2y．
（4）解：∵，
∴不等号两边都乘以，依据不等式的性质3，得x＞y．
故答案为：（1）＜ （2）＜ （3）＞ （4）＞
【点睛】本题考查了不等式的性质：1、把不等式的两边都加(或减去)同一个数或式子，不等号的方向不变；2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
18．（2022春·全国·八年级假期作业）指出他们的错误在哪里：
(1)甲在不等式－10＜0的两边都乘－1，得到10＜0；
(2)乙在不等式2x＞5x两边同除以x，得到2＞5．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据不等式的性质解答即可；
（2）根据不等式的性质解答即可，注意x的正负．
【详解】（1）解：甲在不等式－10＜0的两边都乘－1，应得到10＞0；
（2）解：乙在不等式2x＞5x两边同除以x，若x＞0，则2＞5（即原不等式不成立），若x＜0，则5＞2．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟知不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变是解答的关键．
19．（2022秋·八年级课时练习）用不等式表示：
(1)a与2的和是正数．
(2)x与y的差小于3．
(3)x，y两数和的平方不小于4．
(4)x的一半与y的2倍的和是非负数．
【答案】(1)a+2＞0
(2)x-y＜3
(3)(x+y)2≥4
(4)x+2y≥0
【分析】结合不等式的定义以及题意列不等式即可．
【详解】（1）因为正数都大于0，
所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0
（2）“x与y的差小于3”可表示为：x-y＜3
（3）因为“不小于3”就是“大于或等于”，
所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4
（4）因为“非负数”就是“正数或0”，
所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：x+2y≥0
【点睛】本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如，像这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于”． 其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．②在不等式“”或“”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．③在列不等式时，一定要注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等．
20．（2021春·七年级课时练习）用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
（1）的3倍大于或等于1；
（2）与3的和不小于6；
（3）与1的差不大于0；
（4）的小于 或等于．
【答案】（1），，见解析；（2），，见解析；（3），，见解析；（4），，见解析
【分析】各题根据题意列出不等式，再按照解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”解出不等式，最后在数轴上画出解集即可．
【详解】解：（1）列不等式为：，
解得：
在数轴上表示为：
（2）列不等式为：，
解得：
在数轴上表示为：
（3）列不等式为：，
解得：
在数轴上表示为：
（4）列不等式为：，
解得：
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查列一元一次不等式，解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来．掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
拓展培优练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）若，，，则的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题．
【详解】解：，
，
∴，
，
，即，
∵
，
∴，
即，
时，的值最小，最小值为6．
故选：C．
【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
2．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】设■，●，▲的质量分别为，根据题意得到，，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：设■，●，▲的质量分别为，
根据题意可得：，，
，
，
，
，
，
●与■的质量比可能为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质及应用，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，得出．
3．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可解答
【详解】解：A、在不等式的两边同时加2，不等式仍成立，即，正确，不符合题意；
B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，正确，不符合题意；
C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，不符合题意；
D.当时，，原判断错误，故本选项符合题意
故选：D.
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（2022秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）若整数满足，则的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】先估算和的值，再估算和的值，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴的值是10，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的意义，根据二次根式的意义进行估算．
5．（2022春·重庆·七年级校联考期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若两个角的和为90°，则这两个角互余
【答案】B
【分析】根据等式的性质判断A正确；根据不等式的性质判断B错误；根据绝对值的定义及性质判断C正确；根据角互余的定义判断D正确．
【详解】解：A、根据等式的性质：等式两边加上同一个数等式依然成立可知若，则，该选项不符合题意；
B、根据不等式的性质：不等式两边同乘一个负数不等号方向改变可知若，则，该选项符合题意；
C、根据绝对值的定义与性质可知若，则，该选项不符合题意；
D、根据角互余的定义可知若两个角的和为90°，则这两个角互余，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到等式的性质、不等式的性质、绝对值的定义与性质及角互余的定义，熟练掌握相关定义与性质是解决问题的关键．
6．（2023·安徽·模拟预测）小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明
【答案】C
【分析】由题干中前两个条件可得小英的得分大于小华的，小亮的大于小明的，再结合第三个条件，进而可出结论．
【详解】解：设小英的得分为a，小亮的得分为b，小明的得分为c，小华的得分为d，
∵小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和，
∴b＋d＝a＋c，
∴b＝a＋c﹣d①
∵小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，
∴a＋b＞c＋d②，
把①代入②，可得：a＋a＋c﹣d＞c＋d，
∴a＞d，
又∵b＋d＝a＋c，
∴b＞c，
∵小华的得分超过小明与小亮的得分和，
∴d＞b＋c，即d＞b，
∴a＞d＞b＞c，
即四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．
7．（2023春·八年级课时练习）某人分两次在市场上买了同一批货物，第一次买了3件，平均价格为每件a元，第二次买了2件，平均价格为每件b元，后来他以每件元的平均价格卖出，结果发现他赔了钱，赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a，b的大小无关
【答案】B
【分析】首先表示出5件货物的平均价格为元，而以每件元的价格把货物全部卖掉，结果赔了钱，所以有＞，然后解不等式求出a和b的关系即可．
【详解】解：∵5件货物的平均价格为 元，
∵以每件元的价格把货物全部卖掉，结果赔了钱，
∴ ＞， 解得：a＞b．
故答案是B．
【点睛】本题主要考查列不等式和不等式的性质，读懂题意、找到关键描述语、列出不等式是解答本题的关键．
8．（2022·全国·七年级假期作业）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则；③若a+b＜0，且，则；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)＞0；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质，倒数的性质，不等式的性质，有理数的运算法则依次判断即可．
【详解】∵0没有倒数，
∴①错误．
∵﹣1＜m＜0，
∴＜0，＞0，
∴②错误．
∵a+b＜0，且，
∴a＜0，b＜0，
∴a+3b＜0，
∴|a+3b|＝﹣a﹣3b．
∴③正确．
∵|m|≥﹣m，
∴|m|+m≥0，
∴④正确．
∵c＜0＜a＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0正确，
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值，倒数，不等式的性质，有理数的运算法则，正确掌握相关法则是求解本题的关键．
9．（2023春·上海·六年级专题练习）如果，那么___
【答案】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：不等式的两边乘2，不等号的方向不变，即，
不等式的两边都减去3，不等号的方向不变，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
10．（2023春·七年级单元测试）若，那么_____（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】>
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵a＜b，
∴-3a＞-3b，
∴-3a-2＞-3b-2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式两边加上同一个数，不等式的方向不变；即可得答案．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知x－y＝4．
（1）当时，则y的取值范围是______．
（2）当，，S＝x＋y，则S的取值范围______．
【答案】
【分析】（1）根据得到，再由解关于的不等式即可；
（2）根据，将变形为，结合得到；将变形为，结合得到，即可得出结论．
【详解】解：（1），
，
，
，即，
故答案为：；
（2），
，，
，
，
，
，
综上所述：S的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用不等式的性质求代数式的范围，结合题中条件，采取恰当的变形是解决问题的关键．
12．（2022春·四川成都·七年级统考期末）卡普耶卡（Kaprekar）数字黑洞猜想：设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数，再用最大数减去最小数，得到的差为b；将b再按照前面的程序重复操作，……如此反复循环，最后会得到数字________．
【答案】495
【分析】任选三个不同数字的三位数，最大数为，最小数为，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程即可发现规律．
【详解】解： 当任选的三个不同数字的三位数为时，
∴最大数为，最小数为
∴最大数减去最小数，得到的差：，
∴它们差的结果为99的倍数．
∵，
∴ ，
∴．
∵，
∴，
∴2，3，4，5，6，7，8，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，
再让这些数字用最大数减去最小数，分别可以得到：
981-189=792，
972-279=693，
963-369=594，
954-459=495，
954-459=495，
所以，都可以得到该黑洞数是495．
故“卡普雷卡尔黑洞数”是495．
故答案为：495．
【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是理解清楚题意．
13．（2023春·江苏·七年级专题练习）我们知道，一个数a的绝对值|a|即数轴上表示这个数的点到原点的距离，而|a|可以写成|a﹣0|，推广到一般情况就是，若两个数a、b分别对应数轴上两个点A、B，则|a﹣b|即A、B两点之间的距离．若x对应数轴上任意一点P，则|x+3|﹣|x﹣5|的最大值是 _____．
【答案】8
【分析】分三种情况去绝对值，计算后再比较即可得到答案．
【详解】解：当x＞5时，|x+3|﹣|x﹣5|＝x+3﹣（x﹣5）＝8，
当﹣3≤x≤5时，|x+3|﹣|x﹣5|＝x+3﹣（5﹣x）＝2x﹣2，
∵﹣3≤x≤5，
∴﹣8≤2x﹣2≤8，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣5|＝﹣x﹣3﹣（5﹣x）＝﹣8，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣5|的最大值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离和的含义，化简绝对值，合并同类项，不等式的性质，解此类题目要学会分类讨论和数形结合的思想方法．
14．（2022春·北京东城·七年级统考期末）为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动．4人为一组，每人自主设定个人目标（单位：次），组内任意2人之间均需接力一场，且每场接力2人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩（2人所做仰卧起坐次数之和）．小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106．若他们设定的个人目标分别记为，，，，其中，且．根据以上信息，得到三个结论：①，；②六场接力成绩由小到大可以依次表示为：，，，，，；③，，，的值分别为46，40，52，54．其中正确结论的序号是______．
【答案】②③/③②
【分析】根据可知最小，最大，所以，，故①错误，由，可知，故②正确，根据，，求出，，，，故③正确，选出正确的选项即可．
【详解】解：∵，
∴最小，最大，
∵六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106，
∴，，故①错误，
∵
∴，故②正确，
∴，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，故③正确，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质列出并求出，，，的值是解答本题的关键．
15．（2023春·八年级课时练习）已知x＞y．
(1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)，理由见解析
(2)m＜0
【分析】（1）由x＞y，两边都乘以可得：－x＜－y，再两边都加上9可得结论；
（2）由可得，再结合x＞y，可得m的取值范围．
【详解】（1）解：∵x＞y，
∴－x＜－y，
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵x＞y，
∴m＜0．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟记“（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．”是解本题的关键．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式．
(1)，两边同加上y．
(2)，两边同乘．
(3)，两边同除以．
(4)，两边同加上，再同除以7．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案；
（2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；
（3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；
（4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得：；
（2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘，可得；
（3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以，可得：；
（4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得，再同时除以7，可得：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
17．（2023春·八年级课时练习）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（，单位：）：
第一次 第二次 第三次 第四次
x
(1)说出这辆出租车每次行驶的方向．
(2)求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
(3)这辆出租车一共行驶了多少路程？
【答案】(1)第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西；
(2)地向东处
(3)
【分析】（1）根据，可得，，，即可；
（2）把路程相加，求出结果，再判断结果的符号即可判断出答案；
（3）求出每个数的绝对值，相加求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，第一次是向东，
∴第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西；
（2）解：根据题意得：
∵，
∴，
∴，
∴，
所以经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是地向东处；
（3）解：∵，
∴，，，
∴
答：这辆出租车一共行驶了的路程．
【点睛】本题主要考查了整式的加减与正负数的实际应用，解题的关键是正确列出算式．
18．（2022春·七年级课前预习）用不等式表示下列数量关系：
(1)a是正数；
(2)x比－3小；
(3)两数m与n的差大于5
【答案】(1)a > 0
(2)x <-3
(3)m-n >5
19．（2023·全国·九年级专题练习）知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a－2＞0；当a＜2时，代数式a－2＜0；当a＝2时，代数式a－2＝0．
(1)基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空：a＋5________0；(a＋7)(a－2)________0；
(2)理解应用：当a＞1时，求代数式＋2a－15的值的大小；
(3)灵活应用：当a＞2时，比较代数式a＋2与＋5a－19的大小关系．
【答案】(1)＞，＞
(2)a2＋2a－15＞－12
(3)当a≥3时，a2＋5a－19≥a＋2；当2＜a＜3时，a2＋5a－19＜a＋2
【分析】（1）当a＞2时，a+5＞2+5=7＞0；a+7＞2+7=9＞0；a-2＞2-2＞0；根据同号得正判断即可．
（2）运用完全平方公式，变形后，运用（1）的性质计算即可．
（3）先对代数式作差后，分差值大于等于零和小于零，讨论计算即可．
【详解】（1）∵a＞2，
∴a＋5＞0；
∵a＞2，
∴a－2＞0，a＋7＞0，
（a＋7）（a－2）＞0，
故答案为：＞，＞．
（2）因为＋2a－15＝－16，
当a＝1时，＋2a－15＝－12，
所以当a＞1时，＋2a－15＞－12．
（3）先对代数式作差，（＋5a－19）－（a＋2）＝＋4a－21＝－25，
当－25＞0时，a＜－7或a＞3．
因此，当a≥3时，＋5a－19≥a＋2；
当2＜a＜3时，＋5a－19＜a＋2．
【点睛】本题考查了不等式的性质及其应用，熟练掌握性质，灵活运用完全平方公式作差计算是解题的关键．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知，据此求解即可；
（2）①根据题意列出算式，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
②根据题意列出不等式，求解此不等式即可．
【详解】解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式，
则，
∴；
（2）①，
∵结果为常数，
∴，
解得；
②由①知丙卡片上的代数式为，要使其为非负数，则，
则，解得．
【点睛】本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式注意按照运算步骤进行即可．
中考链接
1．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜，
∴，∴A选项的结论不成立；
，∴B选项的结论不成立；
，∴C选项的结论不成立；
，∴D选项的结论成立．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【答案】A
【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．
【详解】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴，
∴，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵
∴，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．
3．（2022·山东临沂·统考中考真题）满足的整数的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】先化简并估算的范围，再确定m的范围即可确定答案．
【详解】，
，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．（2022·浙江杭州·统考中考真题）已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误．
【详解】解：A、∵， ，∴．故此选项符合题意；
B、∵， ，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+bC、∵， ，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+cD、∵， ，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，∴a+b故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
5．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点、分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】
【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．
【详解】解：由图可得：，
由不等式的性质得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
6．（2021·江苏南京·统考中考真题）解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】，数轴上表示解集见解析
【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可．
【详解】
去括号：
移项：
合并同类项：
化系数为1：
解集表示在数轴上：
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，数轴上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系数为1的时候，不等号是否要改变方向；正确的计算和在数轴上表示出解集是解题关键．
7．（2021·山西·统考中考真题）（1）计算：．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据不等式的性质3判断并计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键．
1第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
基础过关练
1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东佛山·八年级期中）若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人
7．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）设表示大于的最小整数，如，，下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1；④存在实数，使成立，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023春·全国·八年级专题练习）甲在集市上先买了只羊，平均每只元，稍后又买了只，平均每只羊元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与、大小无关
9．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）写出一个不等式，使它的解为，则这个不等式可以是___________．
10．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）已知不等式，两边同时除以“”得___________．
11．（2023春·福建三明·八年级校考阶段练习）利用不等式的性质填空．若，则c___________0．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）已知不等式，的最小值是；，的最大值是，则___________．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为______．
14．（2023·全国·九年级专题练习）不等式的基本性质1：若，_________，则，这个性质叫做_________．
不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个_________，所得的不等式仍成立．
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个_________，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须_________，所得的不等式成立．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于x的两个不等式x+1<7 2x与 1+x(1)若两个不等式解集相同，求a的值；
(2)若不等式x+1<7 2x的解都是 1+x17．（2023春·全国·七年级假期作业）已知-x＜-y，用“＜”或“＞”填空：
(1)7-x________7-y．
(2)-2x________-2y．
(3)2x________2y．
(4)x_______y．
18．（2022春·全国·八年级假期作业）指出他们的错误在哪里：
(1)甲在不等式－10＜0的两边都乘－1，得到10＜0；
(2)乙在不等式2x＞5x两边同除以x，得到2＞5．
19．（2022秋·八年级课时练习）用不等式表示：
(1)a与2的和是正数．
(2)x与y的差小于3．
(3)x，y两数和的平方不小于4．
(4)x的一半与y的2倍的和是非负数．
20．（2021春·七年级课时练习）用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
（1）的3倍大于或等于1；
（2）与3的和不小于6；
（3）与1的差不大于0；
（4）的小于 或等于．
培优拓展练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）若，，，则的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
2．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2022秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）若整数满足，则的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2022春·重庆·七年级校联考期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若两个角的和为90°，则这两个角互余
6．（2023·安徽·模拟预测）小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明
7．（2023春·八年级课时练习）某人分两次在市场上买了同一批货物，第一次买了3件，平均价格为每件a元，第二次买了2件，平均价格为每件b元，后来他以每件元的平均价格卖出，结果发现他赔了钱，赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a，b的大小无关
8．（2022·全国·七年级假期作业）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则；③若a+b＜0，且，则；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)＞0；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023春·上海·六年级专题练习）如果，那么___
10．（2023春·七年级单元测试）若，那么_____（填“＞”“＜”或“=”）．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知x－y＝4．
（1）当时，则y的取值范围是______．
（2）当，，S＝x＋y，则S的取值范围______．
12．（2022春·四川成都·七年级统考期末）卡普耶卡（Kaprekar）数字黑洞猜想：设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数，再用最大数减去最小数，得到的差为b；将b再按照前面的程序重复操作，……如此反复循环，最后会得到数字________．
13．（2023春·江苏·七年级专题练习）我们知道，一个数a的绝对值|a|即数轴上表示这个数的点到原点的距离，而|a|可以写成|a﹣0|，推广到一般情况就是，若两个数a、b分别对应数轴上两个点A、B，则|a﹣b|即A、B两点之间的距离．若x对应数轴上任意一点P，则|x+3|﹣|x﹣5|的最大值是 _____．
14．（2022春·北京东城·七年级统考期末）为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动．4人为一组，每人自主设定个人目标（单位：次），组内任意2人之间均需接力一场，且每场接力2人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩（2人所做仰卧起坐次数之和）．小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106．若他们设定的个人目标分别记为，，，，其中，且．根据以上信息，得到三个结论：①，；②六场接力成绩由小到大可以依次表示为：，，，，，；③，，，的值分别为46，40，52，54．其中正确结论的序号是______．
15．（2023春·八年级课时练习）已知x＞y．
(1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由；
(2)若，求m的取值范围．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式．
(1)，两边同加上y．
(2)，两边同乘．
(3)，两边同除以．
(4)，两边同加上，再同除以7．
17．（2023春·八年级课时练习）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（，单位：）：
第一次 第二次 第三次 第四次
x
(1)说出这辆出租车每次行驶的方向．
(2)求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
(3)这辆出租车一共行驶了多少路程？
18．（2022春·七年级课前预习）用不等式表示下列数量关系：
(1)a是正数；
(2)x比－3小；
(3)两数m与n的差大于5
19．（2023·全国·九年级专题练习）知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a－2＞0；当a＜2时，代数式a－2＜0；当a＝2时，代数式a－2＝0．
(1)基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空：a＋5________0；(a＋7)(a－2)________0；
(2)理解应用：当a＞1时，求代数式＋2a－15的值的大小；
(3)灵活应用：当a＞2时，比较代数式a＋2与＋5a－19的大小关系．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围．
中考链接
1．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
3．（2022·山东临沂·统考中考真题）满足的整数的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2022·浙江杭州·统考中考真题）已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点、分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）
6．（2021·江苏南京·统考中考真题）解不等式，并在数轴上表示解集．
7．（2021·山西·统考中考真题）（1）计算：．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
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